2019届二轮复习　立体几何[解答题突破练]学案（全国通用）

2019届二轮复习　立体几何[解答题突破练]学案（全国通用）

第16练　立体几何[解答题突破练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目难度：中档难度．‎ 考点一　空间中的平行、垂直关系 方法技巧　(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．‎ ‎(2)证明线线垂直的常用方法 ‎①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；‎ ‎②利用勾股定理的逆定理；‎ ‎③利用线面垂直的性质．‎ ‎1．如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.‎ ‎(1)求证：AE∥平面DBC；‎ ‎(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.‎ 证明　(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．‎ 又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，‎ ‎∴DO⊥平面ABC.‎ 又AE⊥平面ABC，‎ ‎∴AE∥DO.‎ 又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，‎ 故AE∥平面DBC.‎ ‎(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ ‎∴DO⊥AB.‎ 又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，‎ ‎∴AB⊥平面DBC.‎ ‎∵DC⊂平面DBC，‎ ‎∴AB⊥DC.‎ 又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，‎ ‎∴DC⊥平面ABD.‎ 又AD⊂平面ABD，‎ ‎∴AD⊥DC.‎ ‎2．(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AB，AB1⊥B1C1.‎ 求证：(1)AB∥平面A1B1C；‎ ‎(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ 证明　(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.‎ 因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，‎ 所以AB∥平面A1B1C.‎ ‎(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，‎ 四边形ABB1A1为平行四边形．‎ 又因为AA1＝AB，‎ 所以四边形ABB1A1为菱形，‎ 因此AB1⊥A1B.‎ 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，‎ 所以AB1⊥BC.‎ 又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，‎ 所以AB1⊥平面A1BC.‎ 因为AB1⊂平面ABB1A1，‎ 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ ‎3．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．‎ ‎(1)证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，‎ 所以OP⊥AC，且OP＝2.‎ 如图，连接OB.‎ 因为AB＝BC＝AC，‎ 所以△ABC为等腰直角三角形，‎ 所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.‎ 因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，‎ OB，AC⊂平面ABC，‎ 所以PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)解　作CH⊥OM，垂足为H，‎ 又由(1)可得OP⊥CH，‎ 因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，‎ 所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，‎ ‎∠ACB＝45°，‎ 所以在△OMC中，由余弦定理可得OM＝，‎ CH＝＝.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎4．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.‎ ‎(1)求三棱锥P－ABC的体积；‎ ‎(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．‎ 解　(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，‎ ‎∴S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝.‎ 由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱锥P－ABC的高，且PA＝1，‎ ‎∴三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.‎ ‎(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.‎ ‎∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AC，‎ ‎∴MN⊥AC.‎ 又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面BMN，‎ ‎∴AC⊥平面MBN.‎ 又∵BM⊂平面MBN，∴AC⊥BM.‎ 在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，‎ 从而NC＝AC－AN＝，‎ 由MN∥PA，得＝＝.‎ 考点二　空间角的求解 要点重组　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．‎ ‎(1)线线角 设l，m所成的角为θ，则 cos θ＝＝.‎ ‎(2)线面角 设直线l与平面α所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈a，u〉|＝.‎ ‎(3)二面角 设α－l－β的平面角为θ，‎ 则|cos θ|＝|cos〈u，v〉|＝.‎ 方法技巧　求空间角的两种方法 ‎(1)按定义作出角，然后利用图形计算．‎ ‎(2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算．‎ ‎5．(2018·诸暨模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝，AB＝2CD＝2，E是CD的中点．‎ ‎(1)证明：AE⊥PB；‎ ‎(2)设F是棱PB上的点，EF∥平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　取AD的中点G，连接PG，BG，‎ 平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，‎ ‎∴PG⊥平面ABCD，∴AE⊥PG.‎ 又∵tan∠DAE＝tan∠ABG，∴AE⊥BG.‎ 又∵PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PBG，‎ ‎∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PB.‎ ‎(2)解　作FH∥AB交PA于点H，连接DH，‎ ‎∵EF∥平面PAD，平面FHDE∩平面PAD＝DH，‎ ‎∴EF∥DH.‎ ‎∴四边形FHDE为平行四边形．‎ ‎∴HF＝DE＝AB，‎ 即H为PA的一个四等分点．‎ 又AB⊥AD，平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，‎ 作DK⊥PA于点K，‎ ‎∴AB⊥DK，DK⊥PA，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴DK⊥平面PAB，‎ ‎∴∠DHK为所求线面角，‎ sin∠DHK＝＝＝.‎ ‎6．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH＝，设D为CC1的中点．‎ ‎(1)求证：CC1⊥平面A1B1D；‎ ‎(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．‎ 方法一　(几何法)‎ ‎(1)证明　因为CC1∥AA1且在正方形AA1B1B中AA1⊥A1B1，‎ 所以CC1⊥A1B1，‎ 取A1B1的中点E，连接DE，HE，‎ 则HE∥BB1∥CC1且HE＝BB1＝CC1.‎ 又D为CC1的中点，‎ 所以HE∥CD且HE＝CD，‎ 所以四边形HEDC为平行四边形，‎ 因此CH∥DE，‎ 又CH⊥平面AA1B1B，‎ 所以CH⊥HE，DE⊥HE，‎ 所以DE⊥CC1，‎ 又A1B1∩DE＝E，A1B1，DE⊂平面A1B1D，‎ 所以CC1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)解　取AA1的中点F，连接CF，作HK⊥CF于点K，‎ 因为CH∥DE，FH∥A1B1，CH∩FH＝H，DE∩A1B1＝E，‎ 所以平面CFH∥平面A1B1D，‎ 由(1)得CC1⊥平面A1B1D，‎ 所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，‎ 所以HK⊥CC1，‎ 又HK⊥CF，CF∩CC1＝C，CF，CC1⊂平面AA1C1C，‎ 所以HK⊥平面AA1C1C，‎ 所以DH与平面AA1C1C所成的角为∠HDK.‎ 在Rt△CFH中，CF＝＝2，KH＝，‎ 在Rt△DHK中，‎ 由于DH＝2，sin∠HDK＝＝，‎ 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.‎ 方法二　(向量法)‎ ‎(1)证明　如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，‎ 则C(0,0，)，C1(，，)，A1(，0,0)，‎ B1(0，，0)，D，‎ 所以＝(，，0)，＝，‎ ＝.‎ 所以·＝0，·＝0，‎ 因此CC1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)解　设平面AA1C1C的法向量为n＝(1，x，y)，‎ 由于＝(，，0)，＝(－，0，)，‎ 则n·＝＋x＝0，‎ n·＝－＋y＝0，‎ 得x＝－1，y＝，‎ 所以n＝.‎ 又＝，‎ 设θ为DH与平面AA1C1C所成的角，‎ 所以sin θ＝＝＝，‎ 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎7．(2018·浙江省杭州市第二中学模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD＝2EF.‎ ‎(1)求证：平面ADE⊥平面BDEF；‎ ‎(2)若二面角C－BF－D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　在△ABD中，∠ABD＝30°，‎ 由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos 30°，‎ 解得BD＝，‎ 所以AD2＋BD2＝AB2，‎ 根据勾股定理得∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥BD.‎ 又因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以AD⊥DE.‎ 又因为BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDEF，‎ 所以AD⊥平面BDEF，‎ 又AD⊂平面ADE，‎ 所以平面ADE⊥平面BDEF，‎ ‎(2)解　方法一　如图，由(1)可得∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，‎ 则∠BDC＝30°，则△BCD为锐角为30°的等腰三角形．‎ CD＝CB＝1, 则CG＝.‎ 过点C作CH∥DA，交DB，AB于点G，H，‎ 则点G为点F在平面ABCD上的投影．连接FG，‎ 则CG⊥BD，DE⊥平面ABCD，则CG⊥平面BDEF.‎ 过点G作GI⊥BF于点I，连接HI，CI，‎ 则BF⊥平面GCI，‎ 即∠GIC为二面角C－BF－D的平面角，‎ 则∠GIC＝60°.‎ 则tan 60°＝，CG＝，则GI＝ .‎ 在直角梯形BDEF中，G为BD的中点，BD＝，GI⊥BF，GI＝，‎ 设DE＝x ，则GF＝x，‎ S△BGF＝·BG·GF＝·BF·GI，‎ 则DE＝.tan∠FCG＝＝，‎ 则sin∠FCG＝，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ 方法二　由题意可知DA，DB，DE两两垂直，以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.‎ 设DE＝h，则D(0,0,0)，B(0，，0)，C，F.‎ ＝，＝，‎ 设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则 所以取x＝，‎ 所以m＝，‎ 取平面BDEF的法向量为n＝(1,0,0)，‎ 由|cos〈m，n〉|＝＝cos 60°，‎ 解得h＝，则DE＝，‎ 又＝，‎ 则||＝，‎ 设CF与平面ABCD所成的角为α，‎ 则sin α＝＝.‎ 故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ ‎8.如图，在四棱锥P－ABCD ，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．‎ ‎(1)求证：PD∥平面OCM；‎ ‎(2)若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．‎ ‎(1)证明　连接OB，设BD与OC的交点为N，连接MN.‎ 因为O为AD的中点，AD＝2，‎ 所以OA＝OD＝1＝BC.‎ 又因为AD∥BC，‎ 所以四边形OBCD为平行四边形，‎ 所以N为BD的中点，‎ 又因为M为PB的中点，‎ 所以MN∥PD.‎ 又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，‎ 所以PD∥平面OCM.‎ ‎(2)解　由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1，‎ 所以△AOB为等边三角形，所以∠BAD＝60°‎ 所以BD＝＝，‎ 即AB2＋BD2＝AD2，即AB⊥BD.‎ 因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD.‎ 又因为BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面BDP，‎ 所以AB⊥平面BDP，‎ 所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°，‎ 所以在Rt△ABP中，可得PB＝.‎ 例　(15分)如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将△DAC沿着对角线AC向上翻折到△PAC的位置，此时PA⊥PB.‎ ‎(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；‎ ‎(2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．‎ 审题路线图 ‎(1)―→―→―→ → ‎(2)方法一　(作角)‎ ―→―→‎ 方法二　(向量法)‎ ―→―→ ‎―→―→ 规范解答·评分标准 ‎(1)证明　因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，‎ 所以PA⊥平面PBC，2分 所以PA⊥BC，‎ 又BC⊥AB，AB∩AP＝A，‎ 所以BC⊥平面PAB，4分 又BC⊂平面ABC，‎ 所以平面PAB⊥平面ABC.6分 ‎(2)解　方法一　如图，作BD⊥PC于点D，连接AD，‎ 由(1)知，PA⊥平面PBC，‎ 所以PA⊥BD，‎ 而BD⊥PC，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 所以∠BAD为直线AB与平面PAC所成的角．9分 在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝，‎ 所以BD＝，又AB＝4，‎ 在Rt△ADB中，sin∠BAD＝＝，13分 所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分 方法二　由(1)知平面PAB⊥平面ABC，‎ 所以在平面PAB内，过点P作PE⊥AB于点E，‎ 则PE⊥平面ABC，‎ 如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行)，‎ 在Rt△PBC中，BC＝3，PC＝4，PB＝，‎ 在Rt△APB中，AP＝3，AB＝4，PE＝，BE＝，‎ 可知A(0，－4,0)，B(0,0,0)，C(－3,0,0)，‎ P，＝(－3,4,0)，＝，10分 则易得平面PAC的一个法向量为m＝，12分 ＝(0,4,0)，所以cos〈，m〉＝＝，‎ 故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15分 构建答题模板 方法一 ‎[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直．‎ ‎[第二步]　作角：利用定义结合垂直关系作出所求角．‎ ‎[第三步]　计算：将所求角放在某三角形中，计算．‎ 方法二 ‎[第一步]　找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备．‎ ‎[第二步]　写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标．‎ ‎[第三步]　求向量：求直线的方向向量或平面的法向量．‎ ‎[第四步]　求夹角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角．‎ ‎1．在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD＝＝2.‎ ‎(1)证明：BD⊥PA；‎ ‎(2)若△PAD为正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明　在直角梯形ABCD中，因为AD＝＝2，BD＝＝2，AB＝4，‎ 所以AD2＋BD2＝AB2，所以BD⊥AD.‎ 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，BD⊂底面ABCD，‎ 所以BD⊥平面PAD，‎ 又PA⊂平面PAD，‎ 所以BD⊥PA.‎ ‎(2)解　方法一　如图，取PD的中点M，连接AM，BM.‎ 因为△PAD为正三角形，所以AM⊥PD.‎ 又由(1)知，BD⊥平面PAD，‎ 所以平面PBD⊥平面PAD，‎ 又平面PAD∩平面PBD＝PD，AM⊂平面PAD，‎ 所以AM⊥平面PBD，‎ 故∠APM即为直线PA与平面PBD所成的角．‎ 故cos∠APM＝，‎ 即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.‎ 方法二　在平面PAD内，过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，取AB的中点N，连接QN，易知，PQ，AQ，QN两两垂直．‎ 以Q为坐标原点，QA，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则P(0,0，)，A(，0,0)，‎ B(－，2，0)，D(－，0,0)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量．‎ 由n·＝0，n·＝0，且＝(0,2，0)，‎ ＝(－，0，－)，‎ 得 取z＝－1，则n＝( ，0，－1)，‎ 又＝(，0，－)，‎ 所以cos〈n，〉＝＝，‎ 因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为.‎ ‎2．设平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF＝∠ABC＝90°，BC＝CD＝AF＝EF＝1，AB＝2.‎ ‎(1)证明： CE∥平面ADF；‎ ‎(2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　∵AB∥CD, AB∥EF，∴CD∥EF.‎ 又∵CD＝EF，‎ ‎∴四边形CDFE是平行四边形．‎ ‎∴CE∥DF，又CE⊄平面ADF，DF⊂平面ADF，‎ ‎∴CE∥平面ADF.‎ ‎(2)解　取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO，EG.‎ ‎∵CD∥EF，‎ ‎∴DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角．‎ ‎∵AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，‎ ‎∴AF⊥平面ABCD.‎ 又∵EG∥AF，‎ ‎∴EG⊥平面ABCD，‎ ‎∴EG⊥BD.连接DG，‎ 在正方形BCDG中，BD⊥CG，‎ 故BD⊥平面ECG.‎ ‎∴平面BDE⊥平面ECG.‎ 在平面CEO中，作CH⊥EO，交直线EO的延长线于点H，得CH⊥平面BDE.‎ ‎∴∠CEH是CE与平面BDE所成的角．‎ 过点G作GQ⊥EO.‎ ‎∵OC＝OG，‎ ‎∴CH＝GQ＝.‎ ‎∵CE＝，‎ ‎∴sin∠CEH＝＝.‎ ‎3．(2018·宁波模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别为AD，CP的中点，AD＝AB＝2CD＝2.‎ ‎(1)证明：直线EF∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　设BC的中点为M，连接EM，FM，‎ 易知EM∥AB，FM∥PB，‎ 因为EM∥AB，EM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ 所以EM∥平面PAB.‎ 同理FM∥平面PAB.‎ 又EM∩FM＝M，EM⊂平面FEM，FM⊂平面FEM，‎ 所以平面FEM∥平面PAB，‎ 又EF⊂平面FEM，‎ 所以直线EF∥平面PAB.‎ ‎(2)解　连接PE，PM，‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，PE⊂平面PAD，‎ 所以PE⊥平面ABCD，PE⊥BC.‎ 又因为EM⊥BC，PE∩EM＝E，‎ 所以BC⊥平面PEM，‎ 所以平面PBC⊥平面PEM.‎ 过点E作EH⊥PM于点H，连接FH，‎ 由平面PBC⊥平面PEM可知，EH⊥平面PBC.‎ 所以直线EF与平面PBC所成的角为∠EFH.‎ 易求得EF＝PC＝，EH＝，‎ 所以sin∠EFH＝＝＝.‎ ‎4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．‎ ‎(1)求证：BF∥平面A′DE；‎ ‎(2)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．‎ ‎(1)证明　取A′D的中点M，连接FM，EM，‎ ‎∵F为A′C的中点，‎ ‎∴FM∥CD且FM＝CD，‎ 又E为AB的中点，且AB∥CD，且AB＝CD，‎ ‎∴BE∥CD且BE＝CD，‎ ‎∴BE∥FM且BE＝FM，‎ ‎∴四边形BFME为平行四边形．‎ ‎∴BF∥EM，‎ 又EM⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，‎ ‎∴BF∥平面A′DE.‎ ‎(2)解　在平面BCDE内作BN⊥DE，交DE的延长线于点N，‎ ‎∵平面A′DE⊥平面BCDE，平面A′DE∩平面BCDE＝DE，BN⊂平面BCDE，‎ ‎∴BN⊥平面A′DE，连接A′N，‎ 则∠BA′N为A′B与平面A′DE所成的角．‎ 易知△BNE∽△DAE，‎ ‎∴＝＝，又BE＝1，‎ ‎∴BN＝，EN＝.‎ 在△A′DE中，作A′P⊥DE，垂足为P，‎ ‎∵A′E＝1，A′D＝2，‎ ‎∴A′P＝，∴EP＝.‎ 在Rt△A′PN中，PN＝PE＋EN＝，A′P＝，‎ ‎∴A′N＝.‎ ‎∴在Rt△A′BN中，tan∠BA′N＝＝，‎ ‎∴直线A′B与平面A′DE所成角的正切值为.‎