北京市西城区第十五中学2020届高三模拟（一）数学试题
2020 年高考模拟高考数学模拟试卷（一）
一、选择题
1.若集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合 A、B，再取其交集得出答案.
【详解】因为集合
解之得
所以
所以
故选 A.
【点睛】本题考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法和交集的求法，属于基础题.
2.已知 、 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.
【详解】对于 A 选项，取 ， ，则 成立，但 ，A 选项错误；
对于 B 选项，取 ， ，则 成立，但 ，即 ，B 选项错
误；
{ }2| 2 0A x x x= + < { }| | | 1B x x= > A B =
{ }| 2 1x x− < < − { }| 1 0x x− < <
{ }|0 1x x< < { }| 1 2x x< <
{ }2| 2 0A x x x= + <
{ }2 0A x x= − < <
{ }1B x x=
{ }1 1B x x x= > < −或
{ }| 2 1A B x x∩ = − < < −
a b R∈ a b>
1 1
a b
< sin sina b> 1 1
3 3
a b <
2 2a b>
1a = 1b = − a b> 1 1
a b
>
a π= 0b = a b> sin sin 0π = sin sina b=
对于 C 选项，由于指数函数 在 上单调递减，若 ，则 ，C 选项正
确；
对于 D 选项，取 ， ，则 ，但 ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判
断，考查推理能力，属于中等题.
3.已知直线 与圆 没有公共点，则实数 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.
【详解】圆 即为 ．
所以圆心为 ，半径为
因为直线 与圆 没有公共点，
所以直线与圆相离
所以 ，解得 ．
∴实数 a 的取值范围为
故选：C
【点睛】设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，当直线与圆相离时有 ，当直线与圆
相切时有 ，当直线与圆相交时有 .
4.设 是单位向量， 是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
3
x
y = R a b> 1 1
3 3
a b <
1a = 2b = − a b> 2 2a b<
2 0x y+ + = 2 2 2 2 0x y x y a+ + − + = a
( ,0]−∞ [0, )+∞ ( )0,2 ( ,2)−∞
2 2 2 2 0x y x y a+ + − + = 2 2( 1) ( 1) 2x y a+ + − = −
( )1,1− 2 a−
2 0x y+ + = 2 2 2 2 0x y x y a+ + − + =
| 1 1 2 | 2 0
2
a
− + + > − > 0 2a< <
( )0,2
r d d r>
d r= d r<
a b a b⊥ ( ) 1a a b⋅ + =
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算可得 ，即可得到答案.
【详解】因为 是单位向量， 是非零向量，则
故“ ”是“ ”的充分必要条件.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算和充分必要条件，难度不大.
5.设 ， 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，对于 A 中，若 ， ，则 或 ，所以不正确；
对于 C 中，若 ， ，则 与 可能平行，相交或在平面 内，所以不正确；
对于 D 中，若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，所以不正确；
对于 B 中，若 ， ， ，，根据线面垂直的性质，可证得 成立，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定
定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为 1，那么该四面
体最长棱的棱长为（ ）
a b⊥
a b
2( ) 1 + 1 0a a b a a b a b a b⋅ + = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⊥
a b⊥ ( ) 1a a b⋅ + =
α β ,m n
m α⊥ m n⊥ / /n α α β⊥ m α⊥ n β⊥
m n⊥
/ /n α m n⊥ m α⊥ / /α β m α⊂ n β⊂ //m n
m α⊥ m n⊥ / /n α n ⊂ α
/ /n α m n⊥ m α α
/ /α β m α⊂ n β⊂ m n
α β⊥ m α⊥ n β⊥ m n⊥
A. B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
根据题意，得该几何体是如图所示的三棱锥 ，
且该三棱锥是放在棱长为 的正方体中，所以，在三棱锥 中，最长的棱长为 ，
且 ，故选 C.
7.数列 是等差数列 ， 是各项均为正数的等比数列，公比 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
2 5 4 2 4 3
A BCD−
4 A BCD− AD
( )2 2 2 2 24 2 4 6AD AE DE= + = + + =
{ }na { }nb 1q > 5 5a b=
3 7 4 6a a b b+ > + 3 7 4 6a a b b+ ≥ +
3 7 4 6a a b b+ < + 3 7 4 6a a b b+ = +
【分析】
分别运用等差，等比数列的中项性质即可得解．
【详解】因为数列 是等差数列 ， 是各项均为正数的等比数列，公比
所以
又因为公比 ，所以
故选 C
【点睛】本题考查了数列的中项性质运用和基本不等式，属于小综合知识考查，属于较为基
础提.
8.A、B 两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比(与 2017 年 6 月比较)增长率如下表：
A 品牌车
型
A1 A2 A3
环比增长
率
-7.29% 10.47% 14.70%
B 品牌
车型
B1 B2 B3
环比增
长率
-8.49% -28.06% 13.25%
根据此表中的数据，有如下关于 7 月份销量的四个结论:①A1 车型销量比 B1 车型销量多；
②A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%；
③B 品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；
④A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于 B 品牌三种车型总销量环比增长率．
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
{ }na { }nb 1q >
3 7 5 52 2a a a b+ = =
4 6 4 6 52 2b b b b b+ ≥ =
3 7 4 6a a b b+ ≤ +
1q > 3 7 4 6a a b b+ < +
1 2 3 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表中数据，对关于 7 月份销量的四个结论，分析正误即可．
【详解】解：根据表中数据，对关于 7 月份销量的四个结论：
对于①，A1 车型销量增长率比 B1 车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；
对于②，A 品牌三种车型中增长率最高为 14.70%，
所以总销量环比增长率不可能大于 14.70%，②错误；
对于③，B 品牌三款车型中有销量增长率为 13.25%，
所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；
对于④，由题意知 A 品牌三种车型总销量环比增长率，
也可能小于 B 品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；
综上所述，其中正确的结论序号是③④．
故选 B．
【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是
基础题．
9.设函数 ，若 在区间 上单调，且
，则 的最小正周期为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先由 在区间 上单调得 ，然后由 可得
为 的一条对称轴， 为 的一个对称中
( ) sin( ), 0, 0f x x Aω ϕ ω= + > > ( )f x ,6 2
π π
2
2 3 6f f f
π π π = = − ( )f x
2
π
2π 4π π
( )f x ,6 2
π π
T
2 6 2
π π− ≤ 2
2 3 6f f f
π π π = = −
7
12x
π= ( ) sin( )f x xω ϕ= + ,03
π
( ) sin( )f x xω ϕ= +
心，所以 ，即可求出
【详解】∵函数 ，若 在区间 上单调，
，即 ，
，
，为 的一条对称轴，
且 即 为 的一个对称中心，
因为
所以 与 为同一周期里相邻的对称轴和对称中心
所以 ，解得 ，
故选：D
【点睛】本题考查的是三角函数的性质，属于中档题.
10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动 综合积分高低决定排名．具
体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2．
表 1 田径综合赛项目及积分规则
项目 积分规则
米跑 以 秒得 分为标准，每少 秒加 分，每多 秒扣 分
跳高 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分
掷实心球 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分
的
1 2 7
4 4 12 3 4
T π π π π
ω= ⋅ = − = ω
( ) sin( ), 0, 0f x x Aω ϕ ω= + > > ( )f x ,6 2
π π
T 1 2
2 6 2 2
π π π π
ω ω∴ − ≤ = ⋅ = , 0 33
π π ωω≤ ∴ < ≤ 2
3T
π≥
2
2 3 6f f f
π π π = = −
2
3 2 T
π π− <
2
72 3
2 12x
π π
π+
∴ = = ( ) sin( )f x xω ϕ= +
6 2( ,0)2
π π+ ,03
π
( ) sin( )f x xω ϕ= +
0 3ω< ≤
7
12x
π= ,03
π
1 2 7
4 4 12 3 4
T π π π π
ω= ⋅ = − = 2 (0,3]ω = ∈
2
2T
π π∴ = =
100 13 60 0.1 5 0.1 5
1.2 60 0.02 2 0.02 2
11.5 60 0.1 5 0.1 5
表 2 某队模拟成绩明细
姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米）
甲
乙
丙
丁
根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】
由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可
【详解】由题，甲各项得分为：100 米跑 60-15=45 分；跳高 60+4=64；掷实心球 60+15=75；
则总分为 45+64+75=184
乙各项得分为：100 米跑 60+20=80 分；跳高 60+10=70；掷实心球 60-5=55，则总分为
80+70+55=205
丙各项得分为：100 米跑 60+5=65 分；跳高 60+6=66；掷实心球 60+10=70，则总分为
65+66+70=201
丁各项得分为：100 米跑 60-5=55 分；跳高 60+2=62；掷实心球 60+5=65，则总分为
55+62+65=182,综上，乙得分最多
故选：B
【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题
二、填空题（共 5 小题）
11.已知复数 z 满足 （i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数 _____.
【答案】
【解析】
13.3 1.24 11.8
12.6 1.3 11.4
12.9 1.26 11.7
13.1 1.22 11.6
(1 ) 2i z i− = z =
1 i− −
【分析】
根据题意，先进行化简求出复数 z，得出答案.
【详解】由题
所以共轭复数：
故答案为
【点睛】本题考查了复数的运算和一些概念，属于基础题.
12.已知点 为抛物线 的焦点，则点 坐标为______；若双曲线
（ ）的一个焦点与点 重合，则该双曲线的渐近线方程是____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据题意直接求出点 F 的坐标，再双曲线 （ ）的一个焦点与点 重合，求
出 a，得出渐近线方程.
【详解】因为点 为抛物线 的焦点，2p=8，p=4
双曲线 （ ）的一个焦点与点 重合，
渐近线方程为：
故答案为 ，
【点睛】本题考查了抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，属于基础题.
13.已知 展开式中 的系数为 ，则实数 a 的值为_____.
【答案】-3
【解析】
【分析】
2 2 (1 ) 11 (1 )(1 )
i i iz ii i i
+= = = − +− − +
1z i= − −
1 i− −
F 2 8y x= F
2 2
2 12
x y
a
− =
0a > F
(2,0) y x= ±
2 2
2 12
x y
a
− = 0a > F
F 2 8y x=
(2,0)F∴
2 2
2 12
x y
a
− = 0a > F
2 2 4, 2a a+ = =
∴ y x= ±
( )2,0 y x= ±
7( )ax x
− 5x 21
利用二项式定理公式 的展开式中的通项 ,再令 7-2r=5，求得 r，
再代入求解 a 的值，可得结果.
【详解】因为 的展开式中的通项
令 7-2r=5，可得 r=1
故答案为-3
【点睛】本题考查了二项式定理，公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.
14.已知函数 ，若对任意的实数 ，都存在唯一的实数 ，
使 ，则实数 的最大值是____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用任意性和存在性原命题可转化为 有且仅有一个解，然后根据性质
和图像求解即可.
【详解】因为 ，且
可得
因为存在唯一的实数 ，使 ，
即 有且仅有一个解，做图像如下：
7ax x
−
( ) 7 2
1 7
r r r
rT a C x −
+ = −
7ax x
−
( )7 7 2
1 7 7
r
rr r r r
r
aT C x a C xx
− −
+
= − = −
1
7 21, 3a C a− ⋅ = ∴ = −
( ) sinf x x= ( , )4 6
α π π∈ − − (0, )mβ ∈
( ) ( ) 0f fα β+ = m
3
4
π
1 2( ) , ( , )2 2f k kβ = ∈
( ) sinf x x= ,4 6
π πα ∈ − −
2 1( ) ( , )2 2f α ∈ − −
( )0,mβ ∈ ( ) ( ) 0f fα β+ =
1 2( ) , ( , )2 2f k kβ = ∈
当两个图像只有一个交点时，由图知，可得
故最大值是
故答案为 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像性质，属于较为基础题.
15.已知函数 其中 且
（1）当 时，若 ，则实数 的取值范围是_____;
(2)若存在实数 使得方程 有两个实根，则实数 的取值范围是___.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)由分段函数，分别讨论 x>1 和 ，解不等式即可.
(2)分类讨论 、 和 ，分析得出结果.
【详解】(1).当 a=2 时，
f(2)=4
当 x>1，f(x)<4， 解得 1
= + ≤
0,a > 1.a ≠
2a = ( ) (2)f x f< x
m ( ) 0f x m− = a
( ,2)−∞ (0,1) (1,2)
1x ≤
0 1a< < 1 2a< < 2a ≥
( ) 2 , 1,
1, 1,
x xf x
x x
>= + ≤
22 4<
1x ≤ ≤
( ,2)−∞
1 , 22
a a a+ = =
当 时，f(x)在 递增，在 递减，
此时 且 恒成立，
故方程 有两个实根，
满足,
当 时，f(x)在 和 递增，
此时
则当 时，方程 有两个实根，
满足，
当 时，f(x)在 和 递增，
此时 ，此时方程 最多一个实根，故不满足题意.
综上
故答案为 ；
【点睛】本题主要考查了函数的概念与性质和指数与指数函数以及分类讨论思想，解题的关
键点在于第二问中能否找出 a 的范围，分的情况，属于较难题型.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.若 的面积为 , ，且 为锐角.
(1) 求 的值；
(2) 求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
分析】
(1)根据面积公式求出 sinA,再求出 cosA,
【
0 1a< < ( ,1]−∞ (1, )+∞
(1) 1 1 ,2
af a= + > > 0xa >
( ) 0f x m− = (0, )m a∈
(0,1)a∈
1 2a< < ( ,1]−∞ (1, )+∞
(1) 1 1,2
af a= + > >
( ,1 )2
am a∈ + ( ) 0f x m− =
(1,2)a∈
2a ≥ ( ,1]−∞ (1, )+∞
1 12
aa ≥ + > ( ) 0f x m− =
(0,1) (1,2)a∈ ∪
( ,2)−∞ (0,1) (1,2)a∈ ∪
ABC
2
2
1, 6b c= = A∠
cos A
sin 2
sin
A
C
6cos 3A = sin 2 2 3
sin 3
A
C
=
(2)先用余弦定理求出边 a，再将式子化简 ，求解即可.
【详解】（1）因为 的面积为 ,
所以 ，所以 ．
因为 中， 为锐角，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，
，所以 ．
由正弦定理 , 所以 .
所以 .
【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础
题.
17.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均是等腰直角三
角形， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】
sin2 2sin cos 2 cossin sin
A A A a AC C c
⋅= = ⋅
ABC
2
2
1 1 2sin 1 6 sin2 2 2ABCS bc A A= = × × × =
3sin 3A =
ABC A∠
2 6cos 1 sin 3A A= − =
ABC
( )22 2 2 2 62 cos 1 6 2 1 6 33a b c bc A= + − = + − × × × = 3a =
=sin sin
a c
A C
sin =sin
A a
C c
sin2 2sin cos 2 2 3 6 2 3cossin sin 3 36
A A A a AC C c
⋅ ×= = ⋅ = × =
V ABC− VAC ⊥ ABC ABC∆ VAC∆
AB BC= 2AC CV= = M N VA VB
//AB CMN
AB VC⊥
VB CMN
2 2
3
【分析】
（Ⅰ）由中位线的性质得出 ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 平
面 ；
（Ⅱ）由已知条件可知 ，然后利用面面垂直的性质定理可证明出 平面 ，
即可得出 ；
（Ⅲ）以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向
量法求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）在 中， 、 分别为 、 的中点，所以 为中位线，所以
.
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（Ⅱ）在等腰直角三角形 中， ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 ；
（Ⅲ）在平面 内过点 作 垂直于 ，由（Ⅱ）知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ， .
， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 .
//MN AB //AB
CMN
VC AC⊥ VC ⊥ ABC
AB VC⊥
C CA CV x y
VB CMN
VAB∆ M N VA VB MN
//MN AB
AB ⊄ CMN MN ⊂ CMN //AB CMN
VAC∆ AC CV= VC AC⊥
VAC ⊥ ABC VAC ABC AC= VC ⊂ VAC
VC ⊥ ABC
AB Ì ABC AB VC⊥
ABC C CH AC VC ⊥ ABC
CH ⊂ ABC VC CH⊥
C C xyz−
( )0,0,0C ( )0,0,2V ( )1,1,0B ( )1,0,1M 1 1, ,12 2N
( )1,1, 2VB = − ( )1,0,1CM = 1 1, ,12 2CN =
CMN ( ), ,n x y z= 0
0
n CM
n CN
⋅ =
⋅ =
0
1 1 02 2
x z
x y z
+ = + + =
令 则 ， ，所以 .
直线 与平面 所成角大小为 ， .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查
了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18.某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进
行回访，调查结果如下表：
汽车型号 I II III IV V
回访客户（人数） 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.
假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型
号汽车的满意率相等.
(1)从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率；
(2)从 I 型号和 V 型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ，求 的分
布列和期望；
(3)用 “ ”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”分别表示 I, II, III,
IV, V 型号汽车让客户满意， “ ”, “ ”, “ ”, “ ”,
“ ” 分别表示 I, II, III, IV, V 型号汽车让客户不满意.写出方差
的大小关系.
【答案】(1) (2)见解析；(3)
【解析】
【分析】
1x = 1y = 1z = − ( )1,1, 1n
= -
VB CMN θ 2 2sin cos , 3
n VB
n VB
n VB
θ
⋅
= = =
⋅
VB CMN 2 2
3
ξ ξ
1 1η = 2 1η = 3 1η = 4 1η = 5 1η =
1 0η = 2 0η = 3 0η = 4 0η =
5 0η =
1 2 3 4 5, , , ,D D D D Dη η η η η
111
320 1 3 2 4 5D D D D Dη η η η η> > = >
（1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率；
（2）由题求出满意的人数为 的分布列，继而求出期望;
（3）根据公式直接得出结果，然后作比较
【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是 ，
满意的客户人数 ，
故所求概率为 ．
（2） .
设事件 为“从 I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，
事件 为“从 V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且 、 为独立事件.
根据题意， 估计为 0.5， 估计为 0.2 .
则 ;
;
.
的分布列为
的期望
（3）由题，I 型号的平均数为 0.5,所以 =
同理 =
同理 =0.24； =0.21； =0.16
所以 ．
ξ
250 100 200 700 350 1600+ + + + =
250 0.5 100 0.3 200 0.6 700 0.3 350 0.2 555× + × + × + × + × =
555 111
1600 320
=
0,1,2ξ =
A
B A B
( )P A ( )P B
( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 1 1 0.5 0.8 0.4P P AB P A P Bξ = = = − − = × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1P P AB AB P AB P AB P A P B P A P Bξ = = + = + = − + −
0.5 0.8 0.5 0.2 0.5= × + × =
( ) ( ) ( ) ( )2 0.5 0.2 0.1P P AB P A P Bξ = = = = × =
ξ
ξ 0 1 2
P 0.4 0.5 0.1
ξ ( ) 0 0.4 1 0.5 2 0.1 0.7E ξ = × + × + × =
1Dη 2 20.5 (1 0.5) 0.5 (0 0.5) 0.25× − + × − =
2Dη 2 20.3 (1 0.3) 0.7 (0 0.3) 0.21× − + × − =
3Dη 4Dη 5Dη
1 3 2 4 5D D D D Dη η η η η> > = >
【点睛】本题考查了概率统计和离散型随机变量的分布列和期望以及方差的求法，属于中档
题.
19.已知函数 f(x)=lnx-a ．
(1)若 a=-1，求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若 f(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) x-y-2=0 (2)
【解析】
【分析】
（1）利用曲线的切线方程公式，求得结果;
（2）由题，进行变形为 f(x) 恒成立，即 f(x) 恒成立，构造新函数，用参变分离
求函数单调性求其最值，求得 a 的范围.
【详解】函数 f(x)的定义域为(0,+ )
（1）a=-1 时，f(x)=lnx- ．, ,
，且 f(1)=-1.
所以曲线 在点(1,f(1))处的切线方程为 y-(-1)=x-1，
即 x-y-2=0.
（2）若 f(x) 恒成立，即 f(x) 恒成立．
设 g(x)=f(x)-x=lnx--a ，只要 即可；
．
①当 a=0 时，令 ，得 x=1.
x, 变化情况如下表：
x (0,1) 1
(1,+ )
+ 0 -
g(x) ↗ 极大值 ↘
2x 2ax+
x≤
[0,1]
x≤ x 0− ≤
∞
2x 2x+ ( ) 1 2 2f x xx
+′ = −
( )1 1f ′ =
( )y f x=
x≤ x 0− ≤
( )2x 2a 1 x+ − ( ) 0maxg x ≤
( ) ( )22 2 1 1ax a xg x x
− + − +′ =
( ) 0g x′ =
( ) ( ),g x g x′
∞
( )g x′
所以 ，故满足题意.
②当 a 时，令 ，得 x=- （舍）或 x=1；
x 变化情况如下表：
x (0,1) 1
(1,+ )
+ 0 -
g(x) ↗ 极大值 ↘
所以 ，令 ，得 .
③当 时，存在 x=2-
满足 g(2- )=ln(2- ) ，
所以 f(x) 不能恒成立，所以 不满足题意.
综上，实数 a 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了曲线的切线问题和导函数的性质（单调性和最值问题），属于中档题.
20.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，左顶点为 A，右顶
点 B 在直线 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的点，直线 交直线 于点 ，当点 运动时，判断以
为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并加以证明．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
【解析】
( ) ( )1 1 0maxg x g= = − <
0> ( ) 0g x′ = 1
2a
( ) ( ),g x g x′
∞
( )g x′
( ) ( )1 1maxg x g a= = − 1 0a − ≤ 0 a 1< ≤
a 0< 1 1a
>
1
a
1
a 0>
0< a 0<
[ ]0,1
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
(c,0)F
: 2l x =
AP l D P BD
2 2x y 14 3
+ =
分析】
（Ⅰ）根据条件解得 a,b 值，（Ⅱ）设点 P（x0，y0），解得 D 点坐标，即得以 BD 为直径的圆
圆心坐标以及半径，再根据直线 PF 方程，利用圆心到直线 PF 距离与半径大小关系作判断.
【详解】（Ⅰ）依题可知 B（a，0），a=2，因为 ，所以 c=1，
故椭圆 C 的方程为 ．
（Ⅱ）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
证明如下：设点 P（x0，y0），则
①当 x0=1 时，点 P 的坐标为（1，± ），直线 PF 的方程为 x=1，
D 的坐标为（2，±2）．
此时以 BD 为直径的圆 与直线 PF 相切．
②当 ≠1 时直线 AP 的方程为 ，
点 D 的坐标为 ，BD 中点 E 的坐标为 ，故
直线 PF 的斜率为 ，
故直线 PF 的方程为 ，即 ，
所以点 E 到直线 PF 的距离
,故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
综上得，当点 P 运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属
中档题题. 直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.
【
c 1e a 2
= = b 3=
2 2x y 14 3
+ =
( )2 2
0 0
0
x y 1 y 04 3
+ = ≠
3
2
2 2( 2) ( 1) 1x y− + − =
0x ( )0
0
yy x 2x 2
= ++
0
0
4yD 2 x 2
+
， 0
0
2y2 x 2
+
， 0
0
2yBE x 2
= +
0
PF
0
yk x 1
= −
( )0
0
yy x 1x 1
= −−
0
0
x 1x y 1 0y
−− − =
0 0
0 0 0 00 0 0
2
2 20 0 00 00 0
0
0
x 1 2y2 1y x 2 4 x 4 xy y 2yd BEx 2 x 2 x 2x 1 x 2y 2 (x 1)1 ( ) 3 (x 1)y 4
−− × −+ − −= = = = =+ + +− + −+ − + −
21.设有限数列 ，定义集合 为数列 的伴随
集合．
（Ⅰ）已知有限数列 和数列 ．分别写出 和 的伴随集合；
（Ⅱ）已知有限等比数列 ，求 的伴随集合 中各元素之和 ；
（Ⅲ）已知有限等差数列 ，判断 是否能同时属于 的伴随集合 ，
并说明理由．
【答案】（Ⅰ）数列 的伴随集合为 ，数列 的伴随集合为 ；
（Ⅱ） （Ⅲ）不能
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由数列 A 的伴随集合定义可得 P，Q 的伴随集合；
（Ⅱ）先证明对任意 i≠k 或 j≠l，则 ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），可得求集合 M
中各元素之和时，每个 ai（1≤i≤n）均出现 n﹣1 次，由等比数列的求和公式，计算可得所求
和；
（Ⅲ）假设 同时属于数列 A 的伴随集合 M．设数列 A 的公差为 d（d≠0），运用等
差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．
【详解】解：（Ⅰ）数列 的伴随集合为 ，数列 的伴随集合为
．
（Ⅱ）先证明对任意 或 ，则 ．
假设 ．
当 且 ，因为 ，则 ，即 ，
所以 ，与 矛盾．
同理，当 且 时，也不成立．
当 且 时，不妨设 ，因为 ，则 ，
1 2: , , , ( )nA a a a n ∗⋅⋅⋅ ∈N { }i jM a a | i j n= + <1≤ ≤ A
: 1,0,1,2P − :1,3,9,27Q P Q
2: 2,2 , ,2 ( )nA n ∗∈N A M S
1 2 2019: , , ,A a a a
50 70, ,3 100 A M
P { }1,0,1,2,3− Q { }4,10,12,28,30,36
1( 1)(2 2)nS n += − −
50 70 3 100
， ，
P { }1,0,1,2,3− Q
{ }4,10,12,28,30,36
i k≠ j l≠ (1 ,1 )i j k la a a a i j n k l n+ ≠ + ≤ < ≤ ≤ < ≤
( )1 ,1i j k la a a a i j n k l n+ = + ≤ < ≤ ≤ < ≤
i k= j l≠ i j k la a a a+ = + j la a= 2 2j l=
j l= j l≠
i k≠ j l=
i k≠ j l≠ i k< i j k la a a a+ = + 2 2 2 2i j k l+ = +
所以 ，
左边为奇数，右边为偶数，所以 ，
综上，对任意 或 ，则
所以求集合 中各元素之和时，每个 均出现 次，
所以
（Ⅲ）假设 同时属于数列 的伴随集合 ．
设数列 的公差为 ，则
即
②-①得， ，
③-①得， ，
两式相除得， ，
因为 ，
所以 ，
，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，与 矛盾，
1 2 2 2j i k i l i− − −+ = +
1 2 2 2j i k i l i− − −+ ≠ +
i k≠ j l≠ (1 ,1 )i j k la a a a i j n k l n+ ≠ + ≤ < ≤ ≤ < ≤
M ( )1ia i n≤ ≤ 1n −
( )( )21 2 2 2nS n= − + + + ( ) ( ) ( )( )12 1 2
1 1 2 21 2
n
nn n +
−
= − = − −−
50 70, ,3 100 A M
A ( )0d d ≠
1 1
2 2
3 3
0,
50 ,3
7 ,100
i j
i j
i j
a a
a a
a a
+ =
+ =
+ =
( )
( )
( )
1 1 1
1 2 2
1 3 3
2 2 0,
502 2 ,3
72 2 ,100
a i j d
a i j d
a i j d
①
②
③
+ + − =
+ + − =
+ + − =
( ) ( )( )2 2 1 1
50- = 3i j i j d+ +
( ) ( )( )3 3 1 1
7- =100i j i j d+ +
( ) ( )
( ) ( )2 2 1 1
3 3 1 1
5000= 21
i j i j
i j i j
+ − +
+ − +
*
1 1 2 2 3 3, , , , ,i j i j i j N∈
( ) ( )2 2 1 1- 5000i j i j k+ + =
( ) ( ) ( )3 3 1 1- 21 , 0i j i j k k Z k+ + = ∈ ≠
( ) ( )2 2 1 1- 5000i j i j+ + ≥
1 1 2 21 , , , 2019i j i j≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1- 2019 2018 2 1 4034i j i j+ + ≤ + − + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1- 1 2 2018 2019 4034i j i j+ + ≥ + − + = −
( ) ( )2 2 1 1- 4034i j i j+ + ≤ ( ) ( )2 2 1 1- 5000i j i j+ + ≥
所以 不能同时属于数列 的伴随集合 ．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，
考查分类讨论首项和运算能力、推理能力，属于难题．
50 70, ,3 100 A M
