2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3

www.ks5u.com 课时分层作业(二十)　‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C.]‎ ‎2．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)‎ A．(±5,0) B．(0，±5)‎ C．(0，±12) D．(±12,0)‎ C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，‎ 故焦点为(0，±12)．]‎ ‎3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1‎ B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.‎ ‎∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.‎ ‎∴b2＝a2－c2＝9.‎ 故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.]‎ ‎4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．1‎ B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]‎ ‎5．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5 B．7‎ C．13 D．15‎ B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．‎ ＋＝1　[由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1.]‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(4,0)，点C在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ 　[由题意知|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10，所以＝＝＝.]‎ ‎8．已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2‎ ‎＝30°，则△F1PF2的面积是________．‎ ‎8－4　[由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，‎ ‎∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.‎ 又由椭圆的定义，知 ‎|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.‎ 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，‎ 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，‎ 即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．‎ ‎∴S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．‎ ‎[解]　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．‎ ‎∵F1A⊥F2A，∴·＝0，‎ 而＝(－4＋c,3)，‎ ＝(－4－c,3)，‎ ‎∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.‎ ‎∴F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎∴2a＝|AF1|＋|AF2|‎ ‎＝＋ ‎＝＋＝4.‎ ‎∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎10．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．‎ ‎[解]　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎11．(多选题)下列说法中错误的是(　　)‎ A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 ABD　[A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4＞|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选ABD.]‎ ‎12．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． A　[易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以＞＞0，即sin α＞cos α＞0.又α∈，所以＜α＜.]‎ ‎13．(一题两空)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．‎ ‎120°　2　[由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，∴|F1F2|＝2.‎ ‎∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.‎ ‎∴cos∠F1PF2＝ ‎＝＝－，又0＜∠F1PF2＜180°，‎ ‎∴∠F1PF2＝120°.‎ 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，‎ 配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，‎ ‎∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴S＝|PF1||PF2|＝2.]‎ ‎14.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.‎ ‎2　[设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，‎ 解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，‎ 连接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，‎ 则|PF1|＝＝＝2，‎ 所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1，‎ 所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.]‎ ‎15．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．‎ ‎[解]　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，‎ 所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.‎ 故∠F1PF2的余弦值等于.‎