2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）(新版)新人教版

2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）(新版)新人教版

‎2019学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 , ,因为 ,所以“”是“”的充分不必要条件,选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎2. 已知两直线、和平面，若，，则直线、的关系一定成立的是（ ）‎ A. 与是异面直线 B. C. 与是相交直线D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线。‎ 故答案选 ‎3. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】圆，‎ 化成标准方程为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 解得或，故选．‎ - 13 -‎ ‎4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. 90 B. 92 C. 98 D. 104‎ ‎【答案】B ‎【解析】又三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为 底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为，两边底边长分别为，另一腰长为 几何体的表面积 故答案选 ‎5. 椭圆上的一点到左焦点的距离为2，是的中点，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆定义，为的中点，则为的中位线，所以，故选择B. ‎ ‎6. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 13 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即 ，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。‎ ‎7. 已知函数，则下列说法不正确的为（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象 ‎【答案】D ‎【解析】∵ ‎ ‎∴函数的最小正周期，A错误；‎ 的最大值为：，B错误；‎ 由，解得的图象的对称轴为：，故C错误；‎ 将的图象向右平移，得到图象，再向下平移个单位 长度后会得到的图象，而是奇函数．故正确． 故选：D．‎ ‎8. 在中，，，是的中点，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ，则 ‎ 选B.‎ - 13 -‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎9. 已知，命题函数是的增函数，命题：的值域为，且是假命题，是真命题，则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】真，增函数 真，则可以取遍所有正值 又 是假命题，是真命题，则、一真一假：‎ 真假时，，或，解得 假真时，，解得 综上得或 故答案选 点睛：遇到或、且的问题时，分别解出两个命题为真命题时变量的取值范围，再分类谈论一真一假时，得到不等式组，从而求出结果。‎ ‎10. 如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且点到平面的距离为2，则该多面体的体积为（ ）‎ - 13 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】思路解析:分别取AB、CD的中点G、H连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积,进而整个多面体的体积为.‎ ‎11. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，若边上有且只有一个点，使得，则此时二面角的余弦值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为在四棱锥中，平面，底面为矩形，由边上有且只有一个点，使得，可得边上有且只有一个点，使得，则以 为直径的圆与直线 相切，设中点为 ，则 ，可得 平面 ，作 于 ，连接 ，则 是二面角的平面角，设 ,则 ，直角三角形 中，可得 ，，二面角的余弦值为，故选A.‎ ‎12. 设、分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于、两点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，再由 是等腰直角三角形 ‎ ‎，故选D,‎ - 13 -‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合程度高，属于较难题型. 设 ，进而求得 ， 代入 是等腰直角三角形，从而求得离心率.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题：，命题：，若且为真，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】且为真，即假真 而为真命题时，即 所以假时有或 为真命题时，由，解得或 由 得或或 所以的取值范围为 ‎14. 等差数列中，，，等比数列中，，，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解析：等差数列中，‎ 等比数列中 ，，，‎ 解得 故答案为 - 13 -‎ 点睛：在等差数列中等差中项性质：，以及等比数列的等比中项的性质:，利用这些性质，可以简化计算过程。‎ ‎15. 在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解析：‎ 故对角线的长为 ‎16. 在三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：如图所示，问题等价于长方体中，棱长分别为 ，且： ，求 的取值范围.‎ 转化为： ，‎ 据此可得： ，‎ 即的取值范围是.‎ - 13 -‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是等差数列，满足，…，，数列满足，，且为等比数列．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=== 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 - 13 -‎ q3===8，∴q=2，‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），‎ 数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为；‎ 考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和。‎ ‎18. 如图，为正三角形，平面，，且，是的中点.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎19. 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．‎ ‎（1）试求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线：与曲线交于，两点，当时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（）；（2）或 ‎【解析】(1)设点P的坐标，然后根据,坐标化化简后可得动点P的轨迹方程，要注意点P不在x轴上.‎ - 13 -‎ ‎20. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，．　‎ ‎（1）求证：平面 平面；‎ ‎（2）设为上的一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.‎ 试题解析：（I）由，可得，‎ 又 ‎ 从而，底面， ‎ ‎，平面所以平面平面. ‎ ‎（II）由（I）可知为与底面所成角. ‎ 所以，所以 ‎ 又及，可得, ‎ 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，‎ 则. ‎ - 13 -‎ 设平面的法向量.‎ 则由得取 ‎ 同理平面的法向量为 ‎ 所以 又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21. 已知函数，．‎ ‎（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题设知：，即可转化为研究函数最值即可. （2）由题设知，即可转化为研究函数最值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题设知：，‎ ‎∵在上递减，在上递增，∴‎ 又∵在上递减，∴‎ ‎∴有，的范围为 ‎（2）由题设知，‎ ‎∴有，即，∴的范围为 ‎22. 已知，直线：，椭圆：，、分别为椭圆 - 13 -‎ 的左、右焦点．‎ ‎（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，，的重心分别为，，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎.....................‎ 试题解析：（1）解：因为直线 经过，所以,得，‎ 又因为，所以，故直线的方程为 ‎（Ⅱ）解：设．‎ 由，消去得 则由，知 由于，故为的中点，‎ 由，可知 - 13 -‎ 设是的中点，则，由题意可知 即，‎ 即 而 ‎ 所以，即．‎ 又因为且，所以．所以的取值范围是 考点：1．椭圆方程与性质；2．直线与椭圆相交的综合问题 ‎ ‎ ‎ ‎ - 13 -‎