【数学】2019届一轮复习人教A版（文）立体几何解答题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）立体几何解答题学案

热点七 立体几何解答题（文）‎ ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故． ‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎2.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , ‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎3.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【解析】（1）证明：取中点，连 ‎∵，为中点，‎ ‎∴，‎ 又∵是等边三角形，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴平面，平面，‎ ‎∴. : ]‎ ‎4．【2016全国卷3】如图所示,四棱锥中,底面,,,,为线段上一点,,为的中点.‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【解析】（1）取中点,连接、,因为是中点,,且,又,且,所以,且．所以四边形是平行四边形．所以．又平面,平面,所以平面．‎ ‎(2)由(1) 平面．所以．‎ 所以．‎ ‎5．【2016全国卷1】如图所示,已知正三棱锥的侧面是直角三角形,,顶点在平面内的正投影为点,在平面内的正投影为点.连结并延长交于点．‎ ‎（1）求证：是的中点；‎ ‎（2）在题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由）,并求四面体的体积．‎ ‎（2）过作交于,则即为所要寻找的正投影．‎ 理由如下,因为,,故.同理,‎ 又,平面,所以平面,‎ 故即为点在平面内的正投影．‎ 所以.‎ 在中,,,,故由等面积法知.‎ 由勾股定理知,由为等腰直角三角形知,故．‎ ‎6.【2016全国卷2】如图所示,菱形的对角线与交于点,点,分别在,上, ,交于点.将沿折到的位置. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若 ,求五棱锥的体积.‎ ‎【解析】（1）证明：因为四边形为菱形,所以,所以,‎ 所以,所以.又因为,所以,所以．‎ 所以.‎ ‎（2）由得,‎ 由得 ‎ 所以 ‎ 于是故 由（1）知,又,‎ 所以平面,于是 又由,所以平面.‎ 又由得,‎ 五边形的面积 ‎.‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎2014年以平放的三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和求三棱柱的高,突出考查线线,线面垂直的转化,点到面的距离,等面积法的应用以及空间想象能力和计算能力. 2015年全国卷1考查了截面的作法及体积问题,全国卷2考查了面面垂直的证明及三棱锥的侧面积；2016年3套试卷分别涉及到平行、垂直、体积等问题,分别以长方体、三棱锥、四棱锥为载体.从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、几何体的体积,表面积,几何体的高等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容,同时还考查 生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定2014、2015在高考大题都没涉及,2016仅有一套试卷涉及.而在小题中考查,直线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定是高考的热点,故预测2017年高考,可能以斜棱柱为几何背景,第一问以线面垂直或平行为主要考查点,第二问以求体积或表面积为主,也可能利用等积法求距离,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力．‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.直线与平面平行的判定和性质 ‎（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；‎ ‎②面面平行的性质：若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.‎ ‎（2）性质：如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.‎ 注意：在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.‎ ‎2.直线和平面垂直的判定和性质 ‎（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直.‎ ‎（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.‎ ‎3.平面与平面平行 ‎（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行.‎ 注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点,即这些直线都平行于另一个平面.‎ ‎（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.‎ 注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法,注意一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线平行.‎ ‎4.两个平面垂直的判定和性质 ‎（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.‎ ‎②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；‎ 注意：在证明两个平面垂直时,一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线,若不存在这样的直线,则可以通过添加辅助线解决,而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直,一般先用面面垂直的性质定理,即在一个平面内作交线的垂直,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎（2）性质：①如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎②两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.‎ 注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内,二是线垂直于交线,才能有线面垂直.‎ ‎(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即：‎ ‎ ‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1. 线线平行与垂直的证明 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.‎ ‎ 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性. - ‎ ‎2.线面平行与垂直的证明方法 线面平行与垂直位置关系的确定,也是高考考查的热点,在小题中考查关系的确定,在解答题考查证明细节.‎ 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. ‎ 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.‎ 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.‎ 线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.‎ ‎3.面面平行与垂直的证明 ‎（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.‎ ‎（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.‎ 解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证明思路,关键在于对题目中的条件的思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以及如何巧妙进行垂直之间的转化.‎ ‎4.探索性问题 探求某些点的具体位置,使得线面满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在,再去推理,下结论；二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误．‎ ‎2．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．‎ ‎3．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1．【湖南省永州市2018届高三下 期第三次模拟】如图所示，在多面体中， 分别是的中点， ， ， ，四边形为矩形，平面平面， ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正切值.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 平面平面，且，‎ 平面. ‎ 连接，则为在平面上的射影，‎ 与所成的角即为与平面所成的角. ‎ 在中，由得,‎ 在中， ， ，‎ 故直线与平面所成的角的正切值为.‎ ‎2．【四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是菱形，且，点是侧棱的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若，三棱锥的体积是，求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连接，与交于点，连接.‎ 由是菱形，知点是的中点.又∵点是的中点，∴，‎ 而， ，∴.‎ ‎（2）∵，∴， .‎ 又∵，∴，于是.‎ 由已知，得.‎ 令菱形的边长为，则由，可得，‎ ‎∴， .‎ ‎∴ ，‎ 解得，于是.‎ ‎3．【陕西省汉中市2017届高三下 期第二次教 质量检测（4月模拟）】如图,在所有棱长均为2的三棱柱中, 、分别是BC和的中点.‎ ‎（1）求证： ∥平面；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面, ,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（1） 证明：连结AD,由于、分别是BC和的中点,所以∥,且,故四边形是平行四边形,所以∥, ‎ ‎ ‎ 又因为平面, 平面,‎ 所以∥平面 ‎ ‎4．【重庆市2017届高三4月调研测试（二诊）】如图,矩形中, , , 为的中点,将沿折到的位置, ．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点,求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题知,在矩形中, , ,又,‎ 面,面面； ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ ‎5．【2017届湖南省长沙市高三一模】如图,以、、、、为顶点的六面体中, 和均为等边三角形,且平面平面, 平面, ．‎ ‎(Ⅰ)求证: 平面；‎ ‎(Ⅱ)求此六面体的体积． ‎ ‎【解析】(Ⅰ)作,交于,连结．‎ 因为平面平面,‎ 所以平面,‎ 又因为平面,‎ 从而． ‎ 因为是边长为2的等边三角形,‎ 所以,‎ 因此,‎ 于是四边形为平行四边形,‎ 所以,‎ 因此平面． ‎ 而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积 故所求六面体的体积为2 ‎ ‎6．【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】在四棱锥 中,底面是边长为2的菱形, , , , . + ‎ ‎（1）设平面平面,证明： ； [ : XX ]‎ ‎（2）若是的中点,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】(1)因为, 平面, 平面,所以平面.又平面平面,且平面,所以. ‎ ‎(2)因为底面是菱形,所以.因为,且是中点,所以.又,所以面.所以是三棱锥的高. 因为为边长为2的等边的中线,所以.因为为等腰的高线, 所以.在中, , , ,所以,所以. 所以, 因为是线段的中点,所以. 所以.‎ ‎7．【河北省武邑中 2017届高三下 期期中】在三棱柱中,侧棱底面, 为的中点, , , .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎（2）连接,取的中点,连接,如图.‎ ‎, ,‎ 为等边三角形.‎ 侧棱底面,‎ ‎, ,‎ ‎.[ : ]‎ ‎.‎ 在中,‎ ‎,‎ 于是, ,‎ ‎,即,‎ 面,‎ 又,‎ 面,即是三棱锥的高.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎8．【山西省大同市灵丘2017届高三下 期第三次模拟】如图,在正三棱柱中, , , , 分别为, 的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎【解析】（1）如图,连接交于点,连接, ,在正三棱柱中,四边形为平行四边形,所以.‎ 又因为为中点,所以且.‎ 因为为中点,所以且.‎ 所以且,‎ 所以四边形是平行四边形,所以.‎ 因为, 为中点,所以,所以可得.‎ 因为底面,所以,所以可得.‎ 又, 平面,且,所以平面.‎ 因为平面,所以平面平面.‎ ‎（2）四棱锥高为,底面为直角梯形,面积为,得,故几何体的体积为 .‎ ‎9．【广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下 期第一次联合模拟（一模）】如图,在四棱锥中,底面是正方形, 底面, , 分别是的中点.‎ ‎（1）在图中画出过点的平面,使得平面（须说明画法,并给予证明）；‎ ‎（2）若过点的平面平面且截四棱锥所得截面的面积为,求四棱锥的体积. ‎ ‎【解析】（1）如图所示,分别取的中点,连接,因为, ,所以,即四点共面,则平面为所求平面 ‎,因为, 面, 面,所以面.‎ 同理可得： 面,且,所以面.‎ ‎ 10．【四川省资阳市2017届高三4月模拟】如图,在三棱柱中,底面△ABC是等边三角形,且平面ABC, 为的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证：直线∥平面A1CD；‎ ‎(Ⅱ) 若,E是的中点,求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）连接AC1,交A1C于点F, ‎ 则F为AC1的中点,又为的中点,‎ 所以∥DF,‎ 又平面A1CD,又平面A1CD,‎ 所以∥平面A1CD． ‎ ‎ ‎ ‎11．【吉林省梅河口2017届高三一模】如图, 为圆的直径,点在圆上, ,矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.已知, .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设几何体、的体积分别为,求的值. ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图,∵平面平面, ,平面平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面,∴,‎ 又∵为圆的直径,∴,∴平面.‎ ‎∵平面,∴平面平面.‎ ‎【注】也可证明平面.‎ ‎（Ⅱ）解：几何体是四棱锥、是三棱锥,‎ 过点作,交于.‎ ‎∵平面平面,∴平面.‎ 则, .‎ 因此, .‎ ‎12．【河北省唐山市2016-2017 年度高三年级第二次模拟】在四棱锥中, 平面, , , , , 为的中点, 为棱上一点．‎ ‎[ : XX ]‎ ‎（Ⅰ）当为何值时,有平面；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求点到平面的距离．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时,有平面．　‎ 取中点,连接, ,‎ ‎∵, 分别为, 的中点,‎ ‎∴,且.‎ 又∵梯形中, ,且,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴四边形为平行四边形,‎ ‎∴,‎ 又∵平面, 平面,∴平面,‎ 即当时, 平面.‎ ‎ ‎ ‎13．【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟】如图,四棱锥中,底面是矩形,平面底面,且是边长为的等边三角形, 在上,且面.‎ ‎（1）求证: 是的中点；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【解析】(1)证明：连交于,连是矩形, 是中点.又面,且是面与面的交线, 是的中点.‎ ‎ (2)取中点,连.则,由面底面,得面, , .‎ ‎14．【四川省宜宾市2017届高三二诊】如图1,在矩形中, , 是的中点,将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中平面.‎ ‎（I）证明: ； ‎ ‎（II）求三棱锥的体积.‎ ‎（II）由(Ⅰ)可得且为三棱锥的高,由此可得.‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1．已知三棱锥中,⊥面,是的中点,,‎ ‎(Ⅰ)求证：; ‎ ‎ (Ⅱ)若是的中点,则平面将三棱锥分成的两部分的体积之比.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 证明：∵=,是的中点,∴⊥,∵⊥,,∴‎ ‎⊥面, ∴⊥, ∵⊥面, ∴⊥,∵, ∴⊥面,∴⊥; ‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知,⊥,∵⊥面,==2,=4,∴==,==,==, ==, ∴==6,∵,分别为、的中点,∴==,设到面的距离为,∵==,∴=,∴===, ∴==2,∴=. ‎ ‎2. 如图,已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直,且分别为的中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求证：平面⊥平面．‎ ‎【解析】（I）取的中点,连接．在中,．又．在梯形中,又 平面平面．又平面,平面．‎ ‎（II）平面平面,平面平面,在矩形中平面,又．在和中,∽ ,又平面,平面平面⊥平面．‎ ‎3. 如图,在三棱锥中,,,,,、、分别是、、的中点．（I）证明：平面平面； ‎ ‎（II）若,求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（I）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点,∴,∵‎ ‎∴,同理,,∵,∴.‎ ‎（II）解：取的中点,连结、,∵,,∴,∵,∴,在等腰直角三角形中,,是斜边的中点,∴,同理,,∵,∴△是等边三角形,∴,∴.‎ ‎4. 如图,在矩形中,,,将在矩形沿分别将四边形折起,使与重合（如图所示）‎ ‎（Ⅰ）在三棱柱中,取的中点,求证：平面；‎ ‎（Ⅱ） 当为棱中点时,求证：平面.‎ ‎ 5. 如图所示,在边长为12的正方形 中,点在线段上,且,作 ,分别交于点, .作,分别交于点,.将该正方形沿折叠,使得与重合,构成如图的三棱柱. ‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎ ‎