2017-2018学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018 学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月 考数学（文）试题 一、单选题 1．数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是（ ） A. 2 1na n  B. 12n na  C. 2n na  D. 12n na  【答案】B 【解析】试题分析：观察数列的前 6 项知，该数列是以 1 为首项 2 为公比的等比数列， 所以 ．故选 B． 【考点】观察法求数列的通项公式． 2．在 ABC 中， 060A  ， 4 3a  ， 4 2b  ，则（ ） A. 045B  或 0135 B. 0135B  C. 045B  D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得 ，得 ， 结合 得 045B  ，故选 C． 【考点】正弦定理. 3．设 na = 2 1 1 1 1 1 1 2 3n n n n n         （n∈N），则 3a =( ) A. 1 3 B. 1 1 1 1 3 4 5 6    C. 1 9 D. 1 1 1 3 4 9    【答案】D 【解析】因为 2 1 1 1 1 1 1 2 3na n n n n n          . 所以 3 2 1 1 1 1 1 1 3 4 3 3 4 9a          . 故选 D. 4．已知等比数列 na 的各项均为正数，且 2 3 2 69a a a ，则数列的公比 q 为 A. 1 9  B. 1 9 C. 1 3  D. 1 3 【答案】D 【解析】由 2 3 2 69a a a 得 2 2 3 49a a ，所以 2 1 9q  ．由条件可知 q >0，故 1 3q  ．故 选 D. 5．在 ABC ,内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b  且 a b ,则 B  （ ） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= 1 2 sinB， ∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB= 1 2 ， ∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B= 6  【考点】 6．在三角形 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是（ ） A. b=7，c=3，C= 030 B. b=5，c= ，B= 045 C. a=6，b= ，B= 060 D. a=20，b=30，A= 030 【答案】C 【解析】三角形 ABC 中已知 a b A， ， （ A 为锐角），若 a b 或 a bsinA 则三角 形有一个解.A 选项已知 c b C， ， ， ,c b 且 sinc b c ；B 选项已知b c B， ， ， ,b c 且 sinb c B ；C 选项已知b a B， ， ， ,b a 所以有一个解；D 选项已知 a b A， ， ， ,a b 且 sina b A ；故选 C. 【点睛】 已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方 法进行： 例如已知 a b A， ， ， （一）若 A 为钝角或直角，当b a 时，则无解；当 a b 时，有只有一个解； （二）若 A 为锐角，结合下图理解. ①若 a b 或 a bsinA ，则只有一个解. ②若bsinA a b＜ ＜ ，则有两解. ③若 a bsinA＜ ，则无解. a bsinA＜ 无解 a bsinA 一解 bsinA a b＜ ＜ 两解 a b 一解 也可根据 a b， 的关系及 sinsin b AB a  与1 的大小关系来确定. 7．在△ABC 中，若 ，则其面积等于（ ） A. 12 B. C. 28 D. 【答案】D 【解析】 ， ， ，选 D. 8．在 △ ABC 中，b cosA＝a cosB ，则三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 cos cosb A a B ， sin cos sin cosB A A B  ，则 tan tanB A ，则 A B ， 三角形为等腰三角形，选 C. 9．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝( )． A. 2n－1 B. 3 2      n－1 C. 3 2      n－1 D. 1 1 2n 【答案】B 【解析】法一 由 Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)可知, 3Sn=2Sn+1,即 Sn+1= 3 2 Sn, ∴数列{Sn}是首项为 S1=1,公比为 3 2 的等比数列, ∴Sn= 3 2      n-1.故选 B. 法二 由 Sn=2an+1①可知 a2= 1 2 S1= 1 2 , 当 n≥2 时,Sn-1=2an, ② ∴①-②并化简得 an+1= 3 2 an(n≥2), 即{an}从第二项起是首项为 1 2 ,公比为 3 2 的等比数列, ∴Sn=a1+ =1+ 3 2      n-1-1= 3 2      n-1(n≥2),当 n=1 时,满足上式. 故选 B. 法三 特殊值法,由 Sn=2an+1 及 a1=1, 可得 a2= 1 2 S1= 1 2 , ∴当 n=2 时,S2=a1+a2=1+ 1 2 = 3 2 ,观察四个选项得 B 正确.故选 B. 10．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建 算经》卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天起每天比前一天多织相 同量的布），第一天织 5尺布，现在一月（按30天计），共织 420 尺布，则第 2 天织的 布的尺数为（ ） A. 163 29 B. 161 29 C. 81 15 D. 80 15 【答案】A 【解析】设公差为 d,由题意可得：前 30 项和 30S =420=30×5+ 30 29 2  d,解得 d= 18 29 . ∴第 2 天织的布的尺数=5+d= 163 29 . 故选：A. 11．数列{an}满足 an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为（ ） A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830 【答案】D 【解析】由于数列{an}满足 an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5， a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97． 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2， 从第二项开始，依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项，以 16 为公差的等差数列． {an}的前 60 项和为 15×2+（15×8+ ）=1830， 故选 D． 视频 12．已知非零向量 满足 ，且 ，则 的形状是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】试题分析：因为 ，所以 的平分线与 垂直，三角形是等 腰三角形，又因为 ，所以 ，所以三角形是正三角形，故选 D． 【考点】三角形形状的判定． 二、填空题 13 ． 已 知 数 列  na 是 等 差 数 列 ， 且 a2=3 ， 并 且 d=2 ， 则 1 2 2 3 9 10 1 1 1....a a a a a a    =____________ 【答案】 9 19 【解析】因为 2 3a  ，并 2d  ，所以 2 1na n  ， 1 2 2 3 9 10 1 1 1....a a a a a a     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9.... 1 ... 11 3 3 5 17 19 2 3 3 5 17 19 2 19 19                          . 14．在  ABC 中，已知 sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角度数为为 【答案】120° 【解析】试题分析：由 sinA：sinB：sinC=3：5：7， 根据正弦定理 sin sin sin a b c A B C   得：a：b：c=3：5：7， 设 a=3k，b=5k，c=7k，显然 C 为最大角， 根据余弦定理得：cosC= 2 2 2 2 2 29 25 49 1 2 2 3 5 2 a b c k k k ab k k       由 C∈（0，180°），得到 C=120°． 【考点】1.正弦定理；2.余弦定理. 15．△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，若 ， 则 B 的值为________． 【答案】 2 3  【解析】由正弦定理可将  2 0a c cosB bcosC＋ ＋ ＝ 转化为 2 · ·sinAcosB sinC cosB＋ 0sinBcosC＋ ＝ ，即  2 0sinAcosB sin B C＋ ＋ ＝ ，得 2 0sinAcosB sinA＋ ＝ ，又 由 A 为 ABC 内角，可知 0sinA  ，则 1cos B 2 ＝－ ，则 2B 3 ＝ . 三、解答题 16．在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 3 sin cosb A a B . （Ⅰ）求 B ； （Ⅱ）若 3,sin 3sinb C A  ，求 ,a c . 【答案】（Ⅰ） 6B  ;（Ⅱ） 3, 3 3a c  . 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理可对 3 sin cosb A a B 进行化简，即可得到 B 的值；（Ⅱ）利用正弦定理对 sin 3sinC A 进行化简，可得到 3c a ，再利用 B 的 余弦定理，可求出 ,a c 的值. 试题解析：（Ⅰ）由 3 sin cosb A a B 及正弦定理，得 3sin sin sin cosB A A B . 在 ABC 中， 3sin 0, 3sin cos , tan 3A B B B     . 0 , 6B B     . （Ⅱ）由sin 3sinC A 及正弦定理，得 3c a ，① 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   得， 2 2 23 2 cos 6a c ac    ， 即 2 2 3 9a c ac   ，② 由①②，解得 3, 3 3a c  . 17．已知在 ABC 中， D 为 BC 中点， 2 5 3 10cos ,cos5 10BAD CAD    ， （Ⅰ）求 BAC 的值； （Ⅱ）求 AC AD 的值. 【答案】(Ⅰ) 4  ;（Ⅱ） 2 10 .5 【解析】试题分析：（1）先根据题意可得 5 10sin ,sin5 10BAD CAD    ，再由 BAC = BAD CAD   两边同时取余弦即可求解（1）根据三角形正弦定理可得 sinsin 4 BC AC B  ， sin sin BD AD BAD B  ，两式相比即可得 sin 4 sin BC AC BDAD BAD    ，再根据 2BC BD 化简求解即可 试题解析： (Ⅰ) 2 5 3 10cos ,cos ,5 10BAD CAD    在 ABC 中， ,BAD CAD  为锐角， 5 10sin ,sin ,5 10BAD CAD       2 5 3 10 5 10 2cos cos ,5 10 5 10 2BAC BAD CAD          0 ,BAC    .4BAC   （Ⅱ）在 ABC 中 sinsin 4 BC AC B  ,在 ABD 中 sin sin BD AD BAD B  sin 4 sin BC AC BDAD BAD    ,又 2BC BD , 2 10 .5 AC AD   18．已知公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 10 110S  ,且 1 2 4, ,a a a 成等 比数列 （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设数列 nb 满足    1 1 1n n n b a a    ，若数列 nb 前 n 项和 nT ，证明 1 2nT  . 【答案】（Ⅰ） 2na n ；（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前 n 项和求出首项和公 差,进而求出数列 na 的通项公式; (2)利用裂项相消法求和,求得 1 1 112 2 1 2nT n       （Ⅰ）由题意知：    22 2 1 4 1 1 1 10 1 3{ { 110 10 45 110 a a a a d a a d S a d        解 1 2a d  ，故数列 2na n ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知    1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n          ， 则 1 1 1 1 1 1 1...2 1 3 3 5 2 1 2 1nT n n                           1 1 112 2 1 2n       点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数 列加等比数列，（2）裂项相消法求和， 1 n n n cc a a   等的形式，（3）错位相减 法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的 和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以 2 得到数列求和,(5)或是 具有某些规律求和. 19．等差数列 na 中， 2 4a  ， 4 7 15a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 22 na nb n  ，求 1 2 10b b b   的值． 【答案】（1） 2na n  ；（2）2101 【解析】试题分析： (1)有题意首先求得首项和公差，然后结合等差数列的通项公式可得 2na n  ； (2)利用等比数列求和公式可得 1 2 3 nb b b b   的值是 12 2n  ． 试题解析： （1）设等差数列 na 的公差为 d ， 由已知得     1 1 1 4 {  3 6 15 a d a d a d       ，解得 1 3a  ， 1d  ， 所以  1 1 2na a n d n     ； （2）由（1）可得 2n nb  ，则 1 2 3 nb b b b   2 32 2 2 2 n     2 1 2 1 2 n   12 2n  ． 20． 的内角 对的边为 ，向量 与 平行. （1）求角 ； （2）若 ，求 sinB+sinC 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由 与 平行，由向量平行定理可得 转化即得 ，可求得 ；（2）由（1）得 ，代入 得 ， 根据 的取值范围即可求出 的取值范围. 试题解析：（1）由于 与 平行， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ . （2） ， ∵ ，∴ ，∴ . 21．已知数列 na 满足 1 3 ,2a   * 1 3 1n na a n N    （1）求证： 是等比数列； （2）求数列 na 的前项和 nS 【答案】（1）证明见解析 （2） 3 1 2 n n nS   【解析】试题分析：（1）考查用定义法证明等比数列.由条件 * 1 3 1(n na a n N    )转 化可直接推出 1 1 13 ,2 2n na a       因此 1 1 2na      为等比数列；(2)由（1）可得等比 数列 1 2na    的通项公式为 13n ，进而求出数列为 1 13 2 n na   ， na 是等比数列 13n 与常数列 1 2 的和，利用等比数列与常数列的求和公式则即求出 na 的前项和 nS . 试题解析：(1) 由题可知  * 1 1 1 1 13 , 12 2 2n na a n N a          ， 所以 1 1 2na      是以 1 为首项，3 为公比的等比数列. (2) 由(1)知 1 11 13 , 32 2 n n n na a     ， 有  1 11 1 1 3 11 3 3 3 1 32 2 2 2 2 n n n n n nS                                 . 【点睛】 判定或证明一个数列为等比数列可以可以使用定义法、递推法或通项法，本题采用的是 定义法.定义法是通过验证 1n n a qa   （常数）是否成立，来判定数列是否为等比数列， 应注意必须从第 2 项起所有的项都要满足此等式.