数学（文）卷·2018届天津市和平区高三上学期期末考试（2018

数学（文）卷·2018届天津市和平区高三上学期期末考试（2018

和平区2017—2018学年度第一学期高三期末质量调查试卷 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．9 B．7 C．-3 D．-7‎ ‎4．已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）‎ A．56 B．72 C．84 D．90‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．已知是虚数单位，则复数 ．‎ ‎10．某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数 ．‎ ‎11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎12．已知函数，若，则的值为 ‎13．已知，则的最小值为 ．‎ ‎14．已知数列的通项，若数列的前项和为，则 ．（用数字作答）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．在中，角所对的边分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎16．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：‎ 根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率.‎ ‎（Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；‎ ‎（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？‎ ‎17．如图，在五面体中，四边形是矩形，，‎ ‎，，，为的中点，为线段上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：平面平面.‎ ‎18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和.‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.‎ ‎20．已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在上恒成立；‎ ‎（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.‎ 和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（文）‎ 期末质量调查试卷参考答案 一、选择题 ‎1-4:CABD 5-8:BDAC 二、填空题 ‎9． 10．60 11．‎ ‎12．-1 13．4 14．480‎ 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 由余弦定理，得 ‎.‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得.‎ ‎∵在中，为锐角，且，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由，及公式，‎ ‎∴的面积.‎ ‎16．解：（Ⅰ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于80，‎ 所求概率为：.‎ ‎（Ⅱ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，‎ 所求概率为：.‎ ‎（Ⅲ）甲一天生产30件产品，其中：‎ 三等品的件数为，‎ 二等品的件数为，‎ 一等品的件数为；‎ 乙一天生产40件产品，其中：‎ 三等品的件数为，‎ 二等品的件数为，‎ 一等品的件数为.‎ 则.‎ ‎∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.‎ ‎17．证明：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接.‎ ‎∵在中，为的中点，为的中点.‎ ‎∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）连接.‎ ‎∵四边形是矩形，，‎ ‎∴，且.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴，.‎ ‎∵在中，，，，‎ ‎∴.‎ ‎∵在中，，，，‎ ‎∴是直角三角形.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅲ）∵在中，，‎ ‎∴为等边三角形.‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴.‎ 同理，由为等边三角形，可得.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，得，，‎ 由，，得，，‎ ‎∴.‎ ‎∴的通项公式，的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，‎ 故.‎ 则.‎ 令，①‎ 则，②‎ 由②-①，得.‎ ‎∴.‎ ‎19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，‎ 则有.‎ 由，得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，‎ 则.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，‎ 设直线的斜率为，依题意，‎ 则直线的方程为，直线的方程为.‎ 设，，，，‎ 由得，‎ 则，，‎ ‎.‎ 由整理得，则.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 综合（1）（2），为定值.‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵，，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎∵，即，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）证明：设，‎ ‎.‎ 令，则有.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎∴，即在上恒成立.‎ ‎（Ⅲ）设，其中，‎ ‎.‎ 令，则有.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎∴.‎ ‎，‎ 设，其中，则，‎ ‎∴在内单调递减，，‎ ‎∴，故，而.‎ 结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，‎ ‎∴方程在区间内实根的个数为2.‎