2018-2019学年吉林省高中学校高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 吉林省高中学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，，则为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断 ．‎ ‎【详解】‎ 命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有全称量词的命题的否定， 比较基础 ．‎ ‎2．直线过点，且斜率为2，则的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的点斜式方程直接得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由点斜式得，化为一般式得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.‎ ‎3．已知双曲线的一个焦点为，则的离心率为 A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意计算出c值，即可得到的离心率 ‎【详解】‎ 由题知，，，则，所以e=.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解． ‎ ‎4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用,；‎ ‎4．下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是 A． B． C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，选项B中方程表示的曲线是的图像, 选项C中方程表示的是的图像, 选项D中方程表示的曲线是与的图像.‎ ‎【详解】‎ 选项A中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图像不符；‎ 选项B中方程表示的曲线是的图像，与对应图像不符；‎ 选项C中方程表示的是的图像，与对应图像不符；‎ 选项D中方程表示的曲线是与的图像，与对应图像符合.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.‎ ‎5．已知向量，平面的一个法向量，若，则 A．， B．， C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，列出比例式得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，由，得，.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题．‎ ‎6．“，，，依次成等差数列”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，，成等差数列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以 ‎“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则 A．10 B．9 C．1 D．1或9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，利用，可得是三角形的中位线,由，结合双曲线的定义可得，从而可求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 连接，因为，‎ 所以是三角形的中位线，‎ ‎，‎ 由可得，‎ ‎，‎ 或，‎ 又因为，‎ 所以，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义与简单性质、平面向量的线性运算，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是，则它的体积是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断三视图复原的几何体的形状，利用表面积求出几何体的半径，然后求解几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为，由，得，所以此几何体的体积为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．‎ ‎9．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得 ，又，对应项系数相等，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 若，，三点共线，则存在实数使得 成立，所以，可得，所以，可得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则，属于基础题．‎ ‎10．一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，，，，为其上四个点，则以，，，为顶点的三棱锥的体积为 A． B．16 C． D．64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将展开图还原为正方体，利用割补法得到所求几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 将展开图还原为正方体，如图所示.‎ 故以，，，为顶点的三棱锥的体积.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 求解空间几何体体积的常用策略：‎ ‎（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；‎ ‎（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；‎ ‎（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.‎ ‎（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.‎ ‎11．已知点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的面积的最小值为 A．12 B． C．15 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意的面积最小，即最小，利用点到直线距离即可得到此时的长.‎ ‎【详解】‎ 圆是圆心为，半径为的圆，连接，，因为在中，，所以的面积 ，而 ，当取最小值时，最小.又点在直线上，则的最小值即为点到直线的距离，即的最小值为，则的最小值为，故的面积的最小值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积的最小值的求法，考查直线方程、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎12．抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是 A． B．‎ C．是线段的一个三等分点 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线的定义，得，.又，‎ 则，正确.由，可知是直角三角形，是斜边上的中线，所以，而，所以.所以，可知，所以，正确.在中，，可知，所以，正确.由，可知，所以，即是的中点，故不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由直线与直线平行，可得，∴m＝4，‎ 直线可化为xy＝0，∴d．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的一般式方程与平行关系，平行直线间的距离，属基础题．‎ ‎14．过椭圆的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程知，长半轴为，利用椭圆的定义知的周长为，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的方程可化为：，‎ 所以，，又过焦点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的另一个焦点构,‎ 则的周长为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于中档题．‎ ‎15．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间直线夹角公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以与的夹角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直线所成角的向量求法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出cos∠PCQ的值，结合余弦定理可得，由勾股定理可得圆心 到直线的距离，然后利用点到直线距离公式建立k的方程即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故弦长 ，于是圆心到直线的距离为，由，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了垂径定理，数量积运算，余弦定理等知识，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，，，.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，且为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分a=0和两种情况讨论即可；（2）因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假，有解出即可，当假真，有解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，不恒成立，不符合题意；‎ 当时，，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎(2)，，则.‎ 因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，‎ 当真假，有，即；‎ 当假真，有，则无解.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎18．已知直线 ，圆.‎ ‎（1）证明：直线恒定点；‎ ‎（2）当直线与圆相切时，求.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把已知直线l的方程变形为，可得直线l必过直线=0与直线 的交点，故联立两直线的方程组成方程组，求出方程组的解，得到交点坐标为，故不论m取什么实数，直线l恒过定点，得证；‎ ‎(2) 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：将直线的方程整理得，‎ 令，得，‎ 所以直线恒过点.‎ ‎（2）解：将圆的一般方程化为标准方程得，‎ 所以圆的圆心为，半径为2.‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，得，‎ 所以或.‎ 当时，直线的方程为；‎ 当时，直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系问题，以及恒过定点的方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线的交点坐标，圆的标准方程，把直线l的方程适当变形为是解第一问的关键.‎ ‎19．如图，在四面体中，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设为的中点，连接，.易知，从而平面，故平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设为的中点，连接，.‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴在中，，即为等边三角形，‎ ‎∴，∴.‎ 在中，，，‎ ‎∴，且，‎ 于是，可知.‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，令，得，又.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20．已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线交于，两点，且线段的中点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。‎ ‎（2）设出直线斜率，两个交点P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题设知，点到点的距离等于它到直线的距离，‎ 所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线， ‎ 所以所求的轨迹方程为 ‎ ‎（2）由题意已知，直线的斜率显然存在，设直线的斜率为，‎ 则有，两式作差可得 ‎，即得， ‎ 因为线段的中点的坐标为，所以，‎ 则直线的方程为，即，‎ 与联立得，‎ 得， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义，涉及中点问题的点差法的应用及弦长公式，属于中档题。‎ ‎21．如图，在三棱柱中，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，故，从而得证；（2）以为原点，建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量为与平面的法向量为，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，交于点，连接，‎ 由题知，侧面为菱形，所以，‎ 又，，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）解：因为，所以，又，所以.‎ 所以，可知，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，令，得，‎ 所以，‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，直线与相切于点. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，与直线相交于（，，，‎ 均不重合）.证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出a，b，c，即可得到椭圆的方程；（2）将直线：与椭圆方程联立得解得P点坐标，将直线：与直线：方程联立解得点的坐标，从而得到进而得到,从而得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意得.‎ 于是椭圆的方程可表示为.‎ 联立，得.‎ 因为直线：与相切，所以，得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：将直线：与椭圆方程联立得解得 即点的坐标为.‎ 将直线：与直线：方程联立得解得 即点的坐标为，‎ ‎.‎ 将直线：与椭圆方程联立得 代入化简得，‎ ‎，得且.‎ 记，的坐标分别为，，‎ 则，，‎ 所以 .‎ 同理，，‎ 故 ‎，‎ 故，即为定值.‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎