河南省顶级名校2019-2020学年下学期高二六月模拟考试数学理科试题

河南省顶级名校2019-2020学年下学期高二六月模拟考试数学理科试题

‎ ‎ ‎2019~2020学年高二摸底考试 数学（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知向量，，且，则（ ）‎ A. B.15 C.16 D.225‎ ‎4.已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：）存在着较强的线性相关关系，某地观测人员根据下表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，‎ ‎（次数/分钟）‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎（）‎ ‎25‎ ‎27.5‎ ‎29‎ ‎32.5‎ ‎36‎ 则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.钟南山表示，我国在新冠疫苗的研发方面走在世界前列，目前已有5款新冠疫苗进入了二期临床试验.其中，国药集团研发的2款新冠疫苗均已完成二期临床试验，现从这5款新冠疫苗中随机抽取2款，则至少有1款来自国药集团研发的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为（ ）‎ A.6 B.14 C.16 D.38‎ ‎9.已知为等差数列，，，若表示不超过的最大整数，如：，，，则数列的前10项和为（ ）‎ A.22 B.23 C.24 D.25‎ ‎10.已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，直线交椭圆于点（点位于第一象限），若与的面积相等，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数图象的两个相邻最高点依次为，，‎ ‎ ‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则有下列结论：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数图象的一个对称中心；‎ ‎③直线与函数图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A.②③ B.①③ C.①② D.①②③‎ ‎12.在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，过，，三点作该正方体的截面，设是底面内的一个动点，若，则与所成角的正弦值的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的图象在点处的切线方程是________.‎ ‎14.设等比数列的公比为2，前项和为，则________.‎ ‎15.若的展开式中的系数为32，则________.‎ ‎16.已知双曲线的左焦点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且（为坐标原点），则的离心率为________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 的内角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）若，，求的面积；‎ ‎ ‎ ‎（2）若，求.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，，，，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设二面角的大小为，求的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，当与的面积之和取得最小值时，求直线的方程.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 出于“健康、养生”的生活理念，某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲、乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值（取值范围为）划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：‎ ‎ ‎ 将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.‎ ‎（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口L型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；‎ ‎（2）M炊具有限公司生产的T和L型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线过点且倾斜角为，曲线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎（1）以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线所截得的线段的长度.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，不等式的解集是.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎2019~2020学年高二摸底考试·数学（理科）‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1.D因为集合，又，所以.故选D.‎ ‎2.C因为，所以对应的点，位于第三象限.故选C.‎ ‎3.B因为，所以，解得，所以，则 ‎ ‎ ‎.故选B.‎ ‎4.C易知，即；，即；，即，所以.故选C.‎ ‎5.B由题意，得，，则；当时，.故选B.‎ ‎6.A由函数解析式，易知，所以函数为奇函数，排除D选项；根据解析式分母不为0可知，定义域为，所以轴右侧虚线的方程为，‎ 当时，，排除C选项； 当时，，排除B选项.故选A.‎ ‎7.C从5款新冠疫苗中随机抽取2款，共有种情况，至少有1款为国药集团硏发的有种情况，所以至少有1款来自于国药集团研发的概率为.故选C.‎ ‎8.C程序运行过程如下：‎ ‎，；，；，；，，跳出循环，输出的值为16.故选C.‎ ‎9.D设等差数列的公差为.因为所以解得所以，所以数列的前10项依次为0，1，1，2，2，3，3，4，4，5，所以数列的前10项和为.故选D.‎ ‎10.A根据题意作出图象如下：‎ ‎ ‎ 由如图可知点，.联立解得或所以点的坐标为.因为，，所以根据直线截距式方程可得直线的方程为，即.因为与面积相等，所以线段的中点在直线上，所以，，则该椭圆的离心率.故选A.‎ ‎11.A由题意，函数的最小正周期为，则，所以.将点代入中，得，则，得 ‎.又，所以，所以.将函数的图象向左平移个单位长度，得到，即.‎ 对于①，当时，不取最值，故①错误；‎ 对于②，当时，，所以点是函数的一个对称中心，故②正确；‎ 对于③，当时，，所以函数的图象与有6个交点，设各个交点坐标依次为，，，，，， 则，解得，‎ ‎ ‎ 故③正确.故选A.‎ ‎12.B设底面的中心为，过，，三点的正方体的截面，即为平面四边形.由 ‎，，得平面截面.若与截面平行，则必在上.由，得就是与所成的角.当运动到点时，最小，所以.‎ 故选B.‎ ‎13. 因为，所以切线的斜率为，又，故所求切线方程是，即.‎ ‎14. 因为数列为等比数列，所以，所以，所以.‎ ‎15.2 ，令，解得，则的系数为，解得.‎ ‎16. 设的右焦点为，不妨设直线与渐近线交于点.在直角三角形中，由点到直线的距离，得，再结合，得；由为的中位线，得，再由双曲线的定义，得，从而，.在直角三角形中，，化简，得，所以.‎ ‎17.解：（1）由及正弦定理，得，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，‎ 故可设，，，‎ 则由余弦定理得，‎ 所以.‎ ‎18.（1）证明：在中，，所以，即.‎ 因为，，，所以.‎ 所以，即.‎ 又，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形.‎ 取的中点，连接，则.以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.设平面的法向量为且，.‎ 由，得，‎ 取，则.‎ ‎ ‎ 由四边形为菱形，得；‎ 又平面，所以.‎ 又，所以平面，‎ 所以平面的法向量为.‎ 所以.‎ 故.‎ ‎19.解：（1）的焦点为，‎ 依题意有，解得.‎ 所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为，‎ 所以点，易知直线的斜率存在，且不为零，设其方程为，点，.‎ 因为，即，‎ 所以.‎ 联立，消去，得，‎ 则，，.‎ 根据题意，作图如下：‎ ‎ ‎ 则 ‎，‎ 当且仅当，即或时，与的面积之和取最小值.‎ 当时，，，直线的方程为；‎ 当时，，，直线的方程为，‎ 以上两种情况均满足，所以与的面积之和取最小值时直线的方程为或.‎ ‎20.（1）证明：，‎ 令，则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以是的极小值点，也是的最小值点，‎ 所以，即，‎ 故，即成立.‎ ‎（2）解：函数的定义域为，.‎ ‎ ‎ 若，，则在上无零点.‎ 若，恒成立，则在上增函数，‎ 又，，‎ 所以在上有一个零点，故在上有一个零点.‎ 若，当时，；当时，；‎ 所以在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以是的极小值点，也是的最小值点，‎ 即.‎ ‎①当时，，此时在上没有零点.‎ ‎②当时，，此时在上有一个零点.‎ ‎③当时，，根据（1），得，又，‎ 所以在和上各有一个零点.‎ 此时，在上有两个零点.‎ 综上，当或时，有一个零点；当时，没有零点；‎ 当时，有两个零点.‎ ‎21.解：（1）根据频率分布直方图，‎ 车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为；‎ 乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为.‎ 随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则 ‎；；‎ ‎；.‎ 所以.‎ ‎（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中T型号的一级品多，理由如下：‎ ‎ ‎ 设生产的这1000口双耳平底锅中T型的有口，L型的有口，‎ 则生产口T型双耳平底锅的利润为，‎ 生产口L型双耳平底锅的利润为.‎ 由，即，又，‎ 解得，.‎ 由于T型双耳平底锅一级品的概率为0.08，L型双耳平底锅一级品的概率为0.06，‎ 所以T型双耳平底锅一级品的估计值等于，‎ L型双耳平底锅一级品的估计值等于，‎ 因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中T型号的一级品多.‎ ‎22.解：（1）因为曲线的参数方程为，（为参数），‎ 所以其普通方程为.‎ 将，代入可得曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）因为直线过点且倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为，（为参数）.‎ 将直线的参数方程代入曲线的方程中，可得.‎ 设，为方程的两个根，则，.‎ 所以直线被曲线所截得的线段的长度为.‎ ‎23.（1）解：当时，.‎ 由，得，所以；‎ 当时，，‎ ‎ ‎ 由，得，所以.‎ 综上可知，.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 所以，，即，，‎ 所以，‎ 故.‎