2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末联考数学试题

2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末联考数学试题

‎2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末联考数学试题 完卷时间：120分钟 满 分：150分 参考公式：‎ ‎ 球的表面积公式：，，‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 1. 直线的倾斜角是( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎2.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A． ‎“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若，，则 ②若，，，则 ‎ ③若，，则 ④若，，则 ‎ 其中正确命题的序号是 ( )‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎5.已知直线，直线，若，则直线与的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎0‎ x 则5个剩余分数的方差为(　　)‎ A. B. C．36 D.‎ ‎7．已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为(　　)‎ A．20，22.5　　　 B． 22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.75‎ ‎9．三棱锥则二面角的大小为( )‎ A． ‎ B． C． D．‎ 10. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 12. 在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若三点共线 则的值为___________‎ ‎14. 已知圆的圆心在直线，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆的标准方程为____________‎ ‎15. 是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是________‎ ‎16. 利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 17. ‎（本小题满分10分）已知直线与直线的交点为P，点Q是圆上的动点.‎ （1） 求点P的坐标；‎ （2） 求直线PQ的斜率的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2,BC＝3.‎ ‎（1）求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）求与所成角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分） 某中学从高三男生中随机抽取名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：‎ ‎（1）求出频率分布表中的值，并完成下列频率分布直方图；‎ ‎ ‎ ‎（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.‎ ‎20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；‎ ‎(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，侧面底面.‎ ‎ （1）求证：平面平面 ；‎ ‎ （2）若，且二面角等于，‎ 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线：.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；‎ ‎（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，‎ 探究：直线是否过定点.‎ ‎2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C B A B D C B C D D 13、 ‎ 14、 或 ‎ ‎15、 16、‎ 解：（1）由得 ‎ ‎ ‎ ‎（2）由 ‎ ‎ ‎ 设直线PQ的斜率为，‎ 则直线PQ的方程为 ‎ ‎ 由题意可知， 直线PQ与圆有公共点 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、(1)证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是平行四边形．‎ ‎∴点O为B1C的中点． ‎ ‎∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.‎ ‎∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D， ‎ O ‎∴AB1∥平面BC1D. ‎ ‎（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 同理可得， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（注：其它方法酌情给分）‎ ‎19、解：（1）由频率分布表可得， 所以，------ 3分 ‎ ‎ ‎ ‎ ------ 6分 （2） 因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组；第4组；第5组. --------------- 8分 ‎ 设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为.‎ 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：‎ ‎，一共21种. ------------ 10分 记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即包含的基本事件分别为：一共3种，于是 所以， ------------ 12分 ‎20、解：(1)＝＝5，＝＝50 .‎ ‎＝＝6.5，‎ ＝－ ＝50－6.5×5＝17.5， ‎ 因此，所求回归直线方程为：＝6.5x＋17.5. ‎ ‎(2)‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎30.5‎ ‎43.5‎ ‎50‎ ‎56.5‎ ‎69.5‎ 基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， ‎ 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个 所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为. ‎ ‎（注：其它写法酌情给分）‎ ‎21、（1）证明：由可得，‎ ‎ 因为，侧面底面，交线为，底面且 ‎ 则 侧面，平面 ‎ 所以，平面平面 ------------ 4分 ‎（2）解法一：由 侧面可得，，‎ ‎ 则 是二面角的平面角，‎ ‎ 由可得，为等腰直角三角形 ------------ 6分 ‎ 取的中点，连接可得 ‎ 因为平面平面，交线为，平面且 ‎ 所以平面，点到平面的距离为. ------------ 8分 ‎ 因为平面 ‎ 则平面 ‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，.‎ ‎ 设，则 ‎ 在中，；在中， ------------ 10分 ‎ 设直线与平面所成角为 ‎ 即 ‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ----------- 12分 解法二：由 侧面可得，，‎ ‎ 则 是二面角的平面角，‎ ‎ 由可得，为等腰直角三角形， ------------ 6分 ‎ 由 侧面可得，，且 所以平面 ------------8分 设，点到平面的距离为，则 ‎ 由可得， ‎ ‎，解得 ------------10分 设直线与平面所成角为 ‎ 即 ‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ----------- 12分 ‎22、解：（1）设点的坐标为 ‎ 由可得，，整理可得 ‎ ‎ 所以曲线的轨迹方程为. ----------- 3分 ‎（2）依题意，，且，则点到边的距离为 ‎ 即点到直线：的距离 ，解得 ‎ ‎ 所以直线的斜率为. ----------- 6分 ‎（3）依题意，，则都在以为直径的圆上 ‎ 是直线：上的动点，设 ‎ 则圆的圆心为，且经过坐标原点 ‎ 即圆的方程为 ----------- 9分 ‎ 又因为在曲线：上 ‎ 由，可得 即直线的方程为 由且可得， 解得 所以直线是过定点. ----------- 12分