【数学】2018届一轮复习人教A版选修4－2　矩阵与变换学案

【数学】2018届一轮复习人教A版选修4－2　矩阵与变换学案

选修4－2　矩阵与变换)‎ 第1课时　线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)193～196页)‎ 掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．‎ ‎　　掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题．‎ ‎1. (2016·淮安清江中学质检)已知矩阵M＝，MX＝Y且Y＝，求矩阵X.‎ 解：设X＝，则＝＝，所以由得x＝0，y＝1，故X＝.‎ ‎2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m，k的值．‎ 解：＝， 解得 ‎3. 已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点(1，1)，(－1，2)分别变换成(1，1)，(－2，4)，求矩阵M.‎ 解：设M＝，则＝，即 由题意可得＝，即 联立两个方程组，解得 即矩阵M＝.‎ ‎4. (2016·南京三模)已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．‎ 解：设曲线C上的任意一点P(x，y)在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)，‎ 则＝，即x＋2y＝x′，x＝y′，‎ 所以x＝y′，y＝.‎ 代入x2＋2xy＋2y2＝1，‎ 得y′2＋2y′·＋2＝1，‎ 即x′2＋y′2＝2，所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎5. 求使等式＝M成立的矩阵M.‎ 解：设M＝，＝，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎∴ ＝，∴ ‎∴ ∴ M＝.‎ ‎1. 二阶矩阵与平面向量 ‎(1) 矩阵的概念 在数学中，把形如，，这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．‎ ‎(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ‎① [a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]；‎ ‎② ＝.‎ ‎2. 几种常见的平面变换 ‎(1) 当M＝时，则对应的变换是恒等变换．‎ ‎(2) 由矩阵M＝或M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．‎ ‎(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．‎ ‎(4) 当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．‎ ‎(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．‎ ‎(6) 由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．‎ ‎3. 线性变换的基本性质 ‎(1) 设向量α＝，则λα＝.‎ ‎(2) 设向量α＝，β＝，则α＋β＝.‎ ‎(3) A是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A(λα)＝λAα，A(α＋β)＝Aα＋Aβ.‎ ‎(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．‎ ‎4. 二阶矩阵的乘法 ‎(1) A＝，B＝，则AB＝ ‎(2) 矩阵乘法满足结合律：(AB)C＝A(BC)．‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　二阶矩阵的运算)‎ ‎,　　　　　1)　(2016·宿迁期中)已知矩阵A＝，B＝，向量α＝.若Aα＝Bα，求实数x，y的值．‎ 解：Aα＝，Bα＝，‎ 由Aα＝Bα，得 解得x＝－，y＝4.‎ 变式训练 ‎(2016·南通全真模拟)已知矩阵A＝，B＝，满足AX＝B，求矩阵X.‎ 解：设X＝，‎ 由＝，得 解得此时X＝.‎ ‎,　　　　　　　　　2　求变换前后的点的坐标与曲线方程)‎ ‎,　　　　　2)　(1) (2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标；‎ ‎(2) (2016·南通密卷)设M＝，N＝，试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的曲线方程．‎ 解：(1) 设B′(x，y)，‎ 依题意，由＝，得A′(1，2)．‎ 则＝(2，2)，＝(x－1，y－2)．‎ 记旋转矩阵N＝，‎ 则＝，‎ 即＝，解得 所以点B′的坐标为(－1，4)．‎ ‎(2) MN＝＝，‎ 设(x，y)是曲线y＝sin x上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．‎ 则＝，‎ 所以即 代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′.‎ 即曲线y＝sin x在矩阵MN 变换下的曲线方程为y＝2sin 2x.‎ 变式训练 ‎(2016·南通、扬州、泰州、淮安三模)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线x＋y－b＝0(a，b∈R)，求a＋b的值．‎ 解：设P(x，y)是直线x＋y－2＝0上任意一点，‎ 由＝，得(x＋ay)＋(x＋2y)－b＝0，即x＋y－＝0.‎ 由条件得＝1，－＝－2，解得 所以a＋b＝4.‎ ‎,　　　　　　　　　3　根据变换前后的曲线方程求矩阵)‎ ‎,　　　　　3)　已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x－y＋‎2a＝0.‎ ‎(1) 求实数a的值；‎ ‎(2) 求A2.‎ 解：(1) 设直线l上一点M0(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l′上点M(x，y)，‎ 则＝＝，‎ 所以 代入l′方程得(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋‎2a＝0，‎ 即(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0.‎ 因为(x0，y0)满足x0－y0＋4＝0，‎ 所以＝4，解得a＝2.‎ ‎(2) 由A＝，‎ 得A2＝＝.‎ ‎(2016·扬州期末)已知直线l：x＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x－y＝1，求矩阵A.‎ 解：(1) 设直线l：x＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A的变换作用下，变换为点M′(x′，y′)．‎ 由＝＝，得 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′－y′＝1，‎ 即(mx＋ny)－y＝1.‎ 依题意解得所以A＝.‎ ‎,　　　　　　　　　4　平面变换的综合应用)‎ ‎,　　　　　4)　已知M＝，N＝，向量α＝.‎ ‎(1) 验证：(MN)α＝M(Nα)；‎ ‎(2) 验证这两个矩阵不满足MN＝NM.‎ 证明：(1) 因为MN＝＝，‎ 所以(MN)α＝＝.‎ 因为Nα＝＝ ‎，‎ 所以M(Nα)＝＝，‎ 所以(MN)α＝M(Nα)．‎ ‎(2) 因为MN＝，NM＝，‎ 所以这两个矩阵不满足MN＝NM.‎ 在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)．求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．‎ 解：因为＝，＝，＝，所以A，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S△A′B′C′＝A′C′|yB′|＝.‎ ‎1. (2016·苏锡常镇二模)已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T对应的矩阵M.‎ 解：设M＝，‎ 由题意，得＝，‎ ‎∴ 解得 即M＝.‎ ‎2. 已知曲线C：xy＝1，若矩阵M＝对应的变换将曲线C变为曲线C′，求曲线C′的方程．‎ 解：设曲线C上一点(x′，y′)对应于曲线C′上一点(x，y)，‎ ‎∴ ＝，‎ ‎∴ x′－y′＝x，x′＋y′＝y，‎ ‎∴ x′＝，y′＝，∴ x′y′＝·＝1，‎ ‎∴ 曲线C′的方程为y2－x2＝2.‎ ‎3. (2017·省扬中等七校联考)已知a，b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a，b.‎ 解：设＝，则 ‎∵ 2x0－y0＝3，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.‎ 即(－2－b)x＋(‎2a－3)y＝3.‎ 此直线即为2x－y＝3，‎ ‎∴ 解得 ‎4. (2016·南通密卷)已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N.‎ ‎(1) 写出矩阵M，N；‎ ‎(2) 若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．‎ 解：(1) M＝，N＝.‎ ‎(2) NM＝，由＝，得 由题意得y′＝x′，则3x＝－2y，‎ 所以直线l的方程为3x＋2y＝0.‎ ‎1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)，设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1，B1，C1，△A1B‎1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．‎ 解：由题设得MN＝＝.‎ 由＝，＝，‎ ＝，‎ 可知A1(0，0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．‎ 计算得△ABC的面积是1，△A1B‎1C1的面积是|k|，‎ 则由题设知|k|＝2×1＝2.‎ 所以k的值为－2或2.‎ ‎2. (2016·前黄、溧阳高中联考)已知点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3，4)，求点A的坐标．‎ 解：＝，‎ 设A(a，b)，则由＝，得 所以即A(－2，3)．‎ ‎3. 设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足＝M，求二阶矩阵M.‎ 解：依题设有＝，‎ 令A＝，则M＝A4，‎ A2＝＝.‎ M＝A4＝(A2)2＝＝.‎ ‎4. 变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.求函数 y＝x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．‎ 解：∵ M1＝，M2＝，‎ ‎∴ M‎2M1＝＝，‎ 设函数y＝x2的图象一点(x′，y′)依次在T1，T2变换的作用下对应于一点(x，y)，‎ 由＝，得即 代入y＝x2得，y－x＝y2，即x＋y2－y＝0.‎ 故函数y＝x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程为x＋y2－y＝0.‎ 几种特殊的变换 反射变换：‎ M＝：点的变换为(x，y)→(x，－y)，变换前后关于x轴对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(－x，y)，变换前后关于y轴对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(－x，－y)，变换前后关于原点对称；‎ M＝：点的变换为(x，y)→(y，x)，变换前后关于直线y＝x对称．‎ 投影变换：‎ M＝：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)→(x，0)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)→(0，y)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(x，x)；‎ M＝：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(y，y)；‎ M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→.‎ ‎[备课札记]‎ 第2课时　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 ‎ 特征向量(对应学生用书(理)197～199页)‎ ‎① 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算．‎ ‎① 理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算．‎ ‎1. 设二阶矩阵A，B满足A－1＝，BA＝，求B－1.‎ 解：∵ B＝BAA－1＝＝，‎ ‎∴ B－1＝.‎ ‎2. 已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 所以a＝－1，b＝c＝0，d＝，‎ 从而矩阵A的逆矩阵为A－1＝，‎ 所以A－1B＝＝.‎ ‎3. (2016·江苏冲刺)已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.‎ 解：将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3.‎ ‎∴ 矩阵M＝，∴ M2＝.‎ ‎4. 设是矩阵M＝的一个特征向量，求实数a的值．‎ 解：设是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则＝λ，故解得 ‎5. (2016·常州监测)已知矩阵M＝的属于特征值8的一个特征向量是e＝，点P(－1，2)在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．‎ 解：由题意知＝8×，‎ 故解得 ‎∴ ＝，‎ ‎∴ 点Q的坐标为(－2，4)．‎ ‎1. 逆变换与逆矩阵 ‎(1) 对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．‎ ‎(2) 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－‎1A－1.‎ ‎(3) 利用行列式解二元一次方程组．‎ ‎2. 特征值与特征向量 ‎(1) 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．‎ ‎(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．‎ ‎,　　　　　　　　　1　求逆矩阵与逆变换)‎ ‎,　　　　　1)　已知矩阵A＝，B＝.‎ ‎(1) 求矩阵AB；‎ ‎(2) 求矩阵AB的逆矩阵．‎ 解：(1) AB＝＝.‎ ‎(2) (AB)－1·AB＝AB·(AB)－1＝E＝，‎ ‎(AB)－1＝.[来源:学,科,网]‎ 变式训练 已知矩阵A＝，B＝.若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程．‎ 解：B－1＝，‎ ‎∴ AB－1＝＝.‎ 设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y′)，‎ ＝，∴ 代入l′，得(x－2y)＋2y－2＝0，化简后得l：x＝2.‎ ‎,　　　　　　　　　2　求特征值与特征向量)‎ ‎,　　　　　2)　求矩阵的特征值及对应的特征向量．‎ 解：特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8.‎ 由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.‎ 将λ1＝2代入特征方程组，得x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 同理，当λ2＝4时，由x－y＝0，‎ 所以可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．‎ 综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；‎ 属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为.‎ 变式训练 ‎(2017·南京期末)设矩阵M＝的一个特征值λ对应的特征向量为，求实数m与λ的值．‎ 解：由题意得＝λ，‎ 则解得m＝0，λ＝－4.‎ ‎,　　　　　　　　　3　根据特征值或特征向量求矩阵)‎ ‎,　　　　　3)　(2016·镇江期中)已知矩阵A＝.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，‎ 属于特征值1的一个特征向量为α2＝，求矩阵A，并写出A的逆矩阵．‎ 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6，即c＋d＝6.‎ 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即‎3c－2d＝－2.‎ 联立解得即A＝，‎ 所以A的逆矩阵是.‎ ‎(2016·苏州调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.‎ 解：设M＝，则＝3＝，‎ 故 ＝，故 联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，‎ 故M＝.‎ ‎,　　　　　　　　　4　特征值与特征向量的综合应用)‎ ‎,　　　　　4)　已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.‎ 解：因为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6.‎ 由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.‎ 当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝.设＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝.‎ 变式训练 ‎(2016·盐城三模)已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝，α2＝.若β＝，求M2β.‎ 解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，‎ 则由可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1.‎ 又β＝＝＋2＝α1＋2α2，‎ 所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λα1＋2λα2＝4＋2＝.‎ ‎1. 已知矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，求实数m，n.‎ 解：由MM－1＝ eq lc[ c](avs4alco1(avs4achs10co2(n,－2,－7,m)))‎ ‎＝＝，‎ 所以解得 ‎2. 设x为实数，若矩阵M＝为不可逆矩阵，求M2.‎ 解：依题意，矩阵M的行列式＝0，解得x＝－10，‎ 所以M2＝＝.‎ ‎3. (2016·江苏卷)已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.‎ 解：设B＝，‎ 则B－1B＝＝，‎ 即＝，‎ 故解得 所以B＝.‎ 因此AB＝＝.‎ ‎4. (2016·南京、盐城期末)设矩阵M＝(a∈R)的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中，若曲线C在矩阵M变换下得到的曲线的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．　‎ 解：由题意，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－a)(λ－1)．‎ 因矩阵M有一个特征值为2，f(2) ＝0，所以a＝2.‎ 所以M＝＝，即 代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，‎ 即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.‎ ‎1. (2016·宁、盐、徐、连四市二模)已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．‎ ‎(1) 求a，b的值；‎ ‎(2) 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.‎ 解：(1) 由题意，得＝，‎ 故解得 ‎(2) 由(1)，得A＝.‎ 由矩阵的逆矩阵公式得B＝.‎ 所以B2＝.‎ ‎2. 已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属性特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．‎ 解：由已知，得Aα＝－2α，‎ 即＝＝，‎ 则即所以矩阵A＝.‎ 从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.‎ ‎3. (2016·南通一调)已知矩阵M＝，求逆矩阵M－1的特征值．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ 解：设M－1＝，‎ 则MM－1＝＝，‎ 所以＝，‎ 所以解得所以M－1＝.‎ M－1的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)＝0，所以λ＝1或.[来源:Z,xx,k.Com]‎ 所以，矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1或.‎ ‎4. 已知矩阵M＝，β＝，计算M6β.‎ 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.‎ 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.‎ 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.‎ M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×36－3×(－1)6＝.‎ ‎1. 矩阵的逆矩阵 ‎(1) 已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.‎ ‎(2) 对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.‎ ‎2. 二阶行列式与方程组的解 对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝＝ad－bc.‎ 若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为 ‎[备课札记]‎