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文档介绍
2019届二轮复习 等差数列、等比数列作业(全国通用)
专题限时集训(三) 等差数列、等比数列 (建议用时:60分钟) (对应学生用书第91页) 一、选择题 1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 C [设{an}的公差为d,则 由得解得d=4. 故选C.] 2.设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( ) A.-2 B.-1 C. D. B [S4-S2=a3+a4=3a4-3a2 ,即3a2+a3-2a4=0,即3a2+a2q-2a2q2=0 ,即2q2-q-3=0,解得q=-1 (舍)或q=,当q= 时,代入S2=3a2+2, 得a1+a1q=3a1q+2,解得a1=-1,故选B.] 3.(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=a1+2a3,a4=1,则S4=( ) A. B. C.14 D.15 D [由S2=a1+2a3,得a1+a2=a1+2a3,即a2=2a3,又{an}为等比数列,所以公比q==,又a4=a1q3==1,所以a1=8.S4==8×=15.故选D.] 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn >0的最大自然数n的值为( ) A.6 B.7 C.12 D.13 C [∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0, a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.] 5.(2018·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C [在等比数列中,因为Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21, 所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=32.则公比q===-2,因为Sm=-11, 所以=-11,① 又am+1=a1(-2)m=32,② 两式联立解得m=5,a1=-1.] 6.等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( ) A.{1} B. C. D. B [==,若a1=d,则=;若a1≠0,d=0,则=1.∵a1=d≠0,∴≠0,∴该常数的可能值的集合为.] 7.已知等比数列{an}中,a2a10=6a6,等差数列{bn}中,b4+b6=a6,则数列{bn}的前9项和为( ) A.9 B.27 C.54 D.72 B [根据等比数列的基本性质有a2a10=a=6a6,a6=6,所以b4+b6=a6=6,所以S9===27.] 8.(2018·安阳模拟)正项等比数列{an}中,a2=8,16a=a1a5,则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为( ) A.T3 B.T4 C.T5 D.T6 A [设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则16a=a1a5=a2a4=8a4,a4=,q2==,又q>0,则q=,an=a2qn-2=8×=27-2n,则Tn=a1a2…an=25+3+…+(7-2n)=2n(6-n),当n=3时,n(6-n)取得最大值9,此时Tn最大,即(Tn)max=T3,故选A.] 二、填空题 9.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为________. 2 [根据等比中项有a=a1·a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),化简得a1=-4d,====2.] 10.已知数列{an}满足a1=-40,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,则an取最小值时n的值为________. 10或11 [由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1),两边同时除以n(n+1),得-=2,所以数列是首项为-40、公差为2的等差数列,所以=-40+(n-1)×2=2n-42,所以an=2n2-42n,对于二次函数f(x)=2x2-42x,在x=-=-=10.5时,f(x)取得最小值,因为n取正整数,且10和11到10.5的距离相等,所以n取10或11时,an取最小值.] 11.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为________. 16 [S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8, a3·a8≤==16, 当且仅当a3=a8=4时“=”成立.] 12.已知函数{an}满足an+1+1=,且a1=1,则数列的前20项和为________. 780 [由an+1+1=得=,即-=2,∴数列是以为首项,2为公差的等差数列,则=2n-,∴数列是以1为首项,4为公差的等差数列,其前20项的和为20+10×19×4=780.] 三、解答题 13.(2018·德阳二诊)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1 . (1)求证:数列{an+1}为等比数列; (2)求数列的前n项和Tn. [解] (1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1). 又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0. ∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知an=2n-1, ∴==-, ∴Tn=-+-+…+-=1-. 14.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*). (1)求a1,a2,a3的值; (2)是否存在常数λ,使得数列{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由. [解] (1)当n=1时,由S1=2a1-3×1,得a1=3; 当n=2时,由S2=2a2-3×2,可得a2=9; 当n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21. (2)令(a2+λ)2=(a1+λ)·(a3+λ), 即(9+λ)2=(3+λ)·(21+λ),解得λ=3. 由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减,得an+1=2an+3. 由以上结论得an+1+3=(2an+3)+3=2(an+3), 所以数列{an+3}是首项为6,公比为2的等比数列, 因此存在λ=3,使得数列{an+3}为等比数列, 所以an+3=(a1+3)×2n-1, an=3(2n-1)(n∈N*).查看更多