2019届二轮复习 等差数列、等比数列作业(全国通用)

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2019届二轮复习 等差数列、等比数列作业(全国通用)

专题限时集训(三) 等差数列、等比数列 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ 一、选择题 ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ C [设{an}的公差为d,则 由得解得d=4.‎ 故选C.]‎ ‎2.设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于(  )‎ A.-2 B.-1 C. D. B [S4-S2=a3+a4=3a4-3a2 ,即3a2+a3-2a4=0,即3a2+a2q-2a2q2=0 ,即2q2-q-3=0,解得q=-1 (舍)或q=,当q= 时,代入S2=3a2+2,‎ 得a1+a1q=3a1q+2,解得a1=-1,故选B.]‎ ‎3.(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=a1+2a3,a4=1,则S4=(  )‎ A. B. ‎ C.14 D.15‎ D [由S2=a1+2a3,得a1+a2=a1+2a3,即a2=2a3,又{an}为等比数列,所以公比q==,又a4=a1q3==1,所以a1=8.S4==8×=15.故选D.]‎ ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn ‎>0的最大自然数n的值为(  )‎ A.6 B.7 ‎ C.12 D.13‎ C [∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0, a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]‎ ‎5.(2018·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m等于(   )‎ A.3 B.4 ‎ C.5 D.6‎ C [在等比数列中,因为Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,‎ 所以am=Sm-Sm-1=-11-5=-16,am+1=Sm+1-Sm=32.则公比q===-2,因为Sm=-11,‎ 所以=-11,①‎ 又am+1=a1(-2)m=32,②‎ 两式联立解得m=5,a1=-1.]‎ ‎6.等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(  )‎ A.{1} B. ‎ C. D. B [==,若a1=d,则=;若a1≠0,d=0,则=1.∵a1=d≠0,∴≠0,∴该常数的可能值的集合为.]‎ ‎7.已知等比数列{an}中,a2a10=6a6,等差数列{bn}中,b4+b6=a6,则数列{bn}的前9项和为(   )‎ A.9 B.27 ‎ C.54 D.72‎ B [根据等比数列的基本性质有a2a10=a=6a6,a6=6,所以b4+b6=a6=6,所以S9===27.]‎ ‎8.(2018·安阳模拟)正项等比数列{an}中,a2=8,16a=a1a5,则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为(   )‎ A.T3 B.T4 ‎ C.T5 D.T6‎ A [设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则16a=a1a5=a2a4=8a4,a4=,q2==,又q>0,则q=,an=a2qn-2=8×=27-2n,则Tn=a1a2…an=25+3+…+(7-2n)=2n(6-n),当n=3时,n(6-n)取得最大值9,此时Tn最大,即(Tn)max=T3,故选A.]‎ 二、填空题 ‎9.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则的值为________.‎ ‎2 [根据等比中项有a=a1·a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),化简得a1=-4d,====2.]‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=-40,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,则an取最小值时n的值为________.‎ ‎10或11 [由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1),两边同时除以n(n+1),得-=2,所以数列是首项为-40、公差为2的等差数列,所以=-40+(n-1)×2=2n-42,所以an=2n2-42n,对于二次函数f(x)=2x2-42x,在x=-=-=10.5时,f(x)取得最小值,因为n取正整数,且10和11到10.5的距离相等,所以n取10或11时,an取最小值.]‎ ‎11.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为________.‎ ‎16 [S10==40⇒a1+a10=a3+a8=8,‎ a3·a8≤==16,‎ 当且仅当a3=a8=4时“=”成立.]‎ ‎12.已知函数{an}满足an+1+1=,且a1=1,则数列的前20项和为________.‎ ‎780 [由an+1+1=得=,即-=2,∴数列是以为首项,2为公差的等差数列,则=2n-,∴数列是以1为首项,4为公差的等差数列,其前20项的和为20+10×19×4=780.]‎ 三、解答题 ‎13.(2018·德阳二诊)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1 .‎ ‎(1)求证:数列{an+1}为等比数列;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解] (1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).‎ 又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0.‎ ‎∴{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知an=2n-1,‎ ‎∴==-,‎ ‎∴Tn=-+-+…+-=1-.‎ ‎14.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值;‎ ‎(2)是否存在常数λ,使得数列{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)当n=1时,由S1=2a1-3×1,得a1=3;‎ 当n=2时,由S2=2a2-3×2,可得a2=9;‎ 当n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.‎ ‎(2)令(a2+λ)2=(a1+λ)·(a3+λ),‎ 即(9+λ)2=(3+λ)·(21+λ),解得λ=3.‎ 由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1),‎ 两式相减,得an+1=2an+3.‎ 由以上结论得an+1+3=(2an+3)+3=2(an+3),‎ 所以数列{an+3}是首项为6,公比为2的等比数列,‎ 因此存在λ=3,使得数列{an+3}为等比数列,‎ 所以an+3=(a1+3)×2n-1,‎ an=3(2n-1)(n∈N*).‎
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