四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知向量，，且，则 ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．‎ ‎①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；‎ ‎②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；‎ ‎③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；‎ ‎④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.当时，函数的图象大致是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是 ‎ A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎7.设等差数列的前项和为，若，，则 ‎ A.21 B.22 C.11 D.12‎ ‎8.已知角的终边与单位圆交于点，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A．48 B．72 C．90 D．96‎ ‎10.已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为 ‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则________.‎ ‎14.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.‎ ‎15.学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；‎ 丙说：“ 两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．‎ 评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．‎ ‎16.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）等比数列中，．‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记为的前项和．若，求．‎ ‎18.（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：‎ ‎（I）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；‎ ‎（II）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望. 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，‎ ‎19.（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）设，若直线与平面所成 的角为，求二面角的正弦值．‎ ‎20.（12分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.（12分）已知函数，．‎ ‎（I）当时，讨论函数的单调性；‎ Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎（I）设t为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（II）已知直线与曲线交于设，且，求实数的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数. ‎ ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）若， ， 均为正实数，且满足，求证： .‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 理科数学答案 ‎1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.C 12.D ‎13. 14. 15.B 16.‎ ‎17解：(Ⅰ)设数列的公比为，∴，∴，∴或，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知或，‎ ‎∴或(舍去)，解得．‎ 解：（1）由题意得下表：‎ 男 女 合计 冰雪迷 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 非冰雪迷 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 的观测值为 所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.‎ ‎（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，‎ 所以的可能取值为0，1，2.‎ 且，，，所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎19.（1）证明：∵四边形是菱形，，‎ ‎ 平面 平面，又是的中点，‎ ‎，又平面 ‎（2）∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．‎ 平面，∴直线与平面所成的角为，即．‎ 因为，则在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，‎ 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．‎ 则 所以设平面的一个法向量为，‎ 则，可得，‎ 取平面的一个法向量为，则，‎ 所以二面角的正弦值的大小为．‎ ‎20.（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，‎ ‎∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ 又，解得.∴椭圆的方程为 ‎（2）由（1）可知圆的方程为，‎ ‎（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，‎ 此时 ‎（ii）当直线的斜率为零时，.‎ ‎（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 设的横坐标分别为，则.‎ 所以，‎ ‎（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）‎ 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，‎ 得 设的横坐标为，则.‎ ‎.‎ 综上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范围是.‎ ‎21.解：，‎ ‎，‎ 令，，，‎ 令则，当，即时，‎ 令则；令则．‎ 此时函数在上单调递减；在上单调递增．‎ 当，即时，‎ 令，则；‎ 令则，‎ 此时函数在上单调递减；在和上单调递增．‎ 由知，若有两个极值点，‎ 则且，‎ 又，是的两个根，则，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 令，则，令，则，‎ 所以在上单调递减；在上单调递增．‎ ‎，，，得证．‎ ‎22.（1）直线的极坐标方程为即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由，得，‎ 由，代入，得 ‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）‎ 则且，，‎ 设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，‎ 由题设得.,则有，得或.因为，所以 ‎23.（1）当时， ；‎ 当时， ；‎ 当时， .综上， 的最小值.‎ ‎（2）证明： ， ， 均为正实数，且满足，‎ 因为，， .（当且仅当时，取等号），‎ 所以，即.‎