2017-2018学年福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 福建省南平市2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求解一元一次不等式可得集合A，再由交集运算得答案.‎ 详解：∵，，‎ ‎∴，故选C.‎ 点睛：本题考查交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题.‎ ‎2．不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先将分式不等式等价转化为一元二次不等式，然后根据一元二次不等式解得情形求解集.‎ 详解：原不等式等价于，‎ ‎∵二次函数的开口向上，两个零点分别为，‎ ‎∴不等式的解集为，即原不等式的解集为，故选D.‎ 点睛：本题考查了分式不等式的解法，关键是正确转化为整式不等式，有时需注意分母根不能取，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用奇函数及增函数的定义，根据常见初等函数的性质，依次对选项中的函数进行判断，从而得出答案.‎ 详解：函数是奇函数，在，上是减函数，不满足条件；函数在其定义域内既是奇函数又是增函数；函数为偶函数，在单调递减，在单调递增，不满足条件；函数为非奇非偶函数，在内单调递增，不满足条件，故选B.‎ 点睛：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键.‎ ‎4．若点的直角坐标为，则它的极坐标可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用直角坐标和极坐标互化公式极径满足，极角满足直接求解．‎ 详解：∵点的直角坐标为在第四象限，∴，‎ ‎，∴，‎ ‎∴点的极坐标为，故选C．‎ 点睛：本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用.‎ ‎5．设，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．‎ 详解：若，则成立，反之当时，不成立，‎ 故使成立的充分不必要条件是，故选B.‎ 点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，熟练掌握不等式的关系和充分、必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先根据函数的奇偶性可以排除B、D选项，再根据当时，可排除C.‎ 详解：∵函数的定义域为，‎ ‎∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D 又∵当时，可排除C，故选A.‎ 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.‎ ‎7．已知，，满足且，下列选项中不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解析：因，且，故有可能，则 不一定成立，应选答案C。‎ ‎8．已知命题：方程有实数根，命题：，，则，，，这四个命题中，真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据指数的性质判定命题，根据二次函数的性质判断命题的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.‎ 详解：∵，∴是方程的根，故命题：方程有实数根为真命题；又∵恒成立，所以命题：，为假命题，根据复合命题真假性的判断可得为假，为真，为假命题，为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.‎ 点睛：本题考查了指数的性质、一元二次不等式成立问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9．直线：被圆：（为参数）截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：圆（为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得出直线被圆截得的弦长．‎ 详解：圆（为参数），消去参数化为：，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴直线被圆截得的弦长，故选B.‎ 点睛：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．设，若函数在处有极值10，则（ ）‎ A. -7或0 B. 1或-6 C. -6 D. -7‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出导函数，令导函数在处的值为0，在处的值为10，列出方程组求出，的值，注意检验．‎ 详解：，由题意得，①，②，联立①②解得或，‎ 当，时，，‎ 或时，，所以不为极值点，不合题意；‎ 经检验，符合题意，所以，故选D.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数在处取得极值的充要条件是，且在左右两侧导数异号．‎ ‎11．在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.设射线与曲线、直线分别交于、两点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先由曲线的直角坐标方程得到其极坐标方程为，设、两点坐标为，，将射线的极坐标方程为分别代入曲线和直线的极坐标方程，得到关于的三角函数，利用三角函数性质可得结果.‎ 详解：∵曲线的方程为，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为 设、两点坐标为，，‎ 联立，得，同理得，‎ 根据极坐标的几何意义可得 ‎，即可得其最大值为，故选C.‎ 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．‎ ‎12．已知函数的定义域为，，对于任意的都有，若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出的周期，问题转化为和在上有3个不同的交点，画出的图象，结合图象求出的范围即可．‎ 详解：∵，∴，是以4为周期的函数，‎ 若在区间上函数恰有三个不同的零点，‎ 则和在上有3个不同的交点，‎ 画出函数函数在上的图象，如图示 由题意得，且直线恒过定点，‎ 又由，，结合图象得，故选A.‎ 点睛：本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及转化思想，将函数的零点问题转化为函数和图象交点问题，在此题中需注意函数的周期性以及直线过定点问题，是一道中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数是幂函数，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：利用幂函数的定义，可求出的值，进而得到函数的解析式，然后求解函数值．‎ 详解：∵函数是幂函数，可得，即，‎ ‎∴函数，，故答案为2.‎ 点睛：本题考查幂函数的解析式的求法，熟记幂函数的定义（特征）系数为1是解题的关键，考查了计算能力.‎ ‎14．若，，，则，，的大小关系为__________（用“”连接）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据指数函数与幂函数的性质，利用中间量1可比较的大小，构造函数，利用单调性可得的大小.‎ 详解：∵，，∴‎ 令，根据幂函数的性质可得其单调递增，，‎ ‎∴，即，综上得，故答案为.‎ 点睛：本题考查了指数函数与幂函数性质的应用，寻找中间变量和构造函数是比较大小中常见的方法，属于基础题.‎ ‎15．一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________．‎ ‎【答案】丁 ‎【解析】分析：由甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，将四人分数从大到小排列可得甲，乙在两端或丙，丁在两端，再结合乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间可得丙丁在两端，最后根据丙同学考试分数不是最高的可得最高分的同学为丁.‎ 详解：将四人分数从大到小排列，‎ ‎∵甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，‎ ‎∴甲，乙在两端或丙，丁在两端，即甲乙最大或最小、丙丁最大或最小 又∵乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间，∴丙丁最大或最小 又∵丙同学考试分数不是最高的，丁同学考试分数不是最低的 ‎∴分数最高的同学是丁，故答案为丁.‎ 点睛：本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进行分析，排除，是基础题.‎ ‎16．函数的图象在点和点处的切线分别为直线和直线，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，则的面积为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：首先根据导数的几何意义求出的图象在点和点处的切线和，进而可求出、、三点坐标，可得结论.‎ 详解：∵，∴，‎ ‎∴，，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 令，得，即 ‎∴，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 令，得，即，‎ 联立得，‎ 所以的面积为，故答案为4.‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，切线方程的求法即求出斜率，利用直线的点斜式表示直线方程，同时考查了直线与坐标轴的交点，三角形面积问题，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数，，其中且.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，判断函数的奇偶性，并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)-1；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据可得的值，将代入中即可得的值；（Ⅱ）首先求出的定义域，再研究和的关系即可得结果.‎ 详解：（Ⅰ）∵ 且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）函数为奇函数．‎ ‎∵，‎ 要使函数有意义，则，解得，‎ ‎∴函数的定义域为（-3,3）； ‎ 又∵‎ ‎ ‎ ‎∴函数为奇函数．‎ 点睛：本题主要考查了对数函数函数值的计算，以及利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)5.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）将代入化简得原不等式为，解绝对值不等式即可；（Ⅱ）讨论的范围，去绝对值得到分段函数，求分段函数最小值即可.‎ 详解：（Ⅰ）当-1时,由不等式,得，‎ 即,解得，‎ 所以不等式当时的解集是.‎ ‎（Ⅱ）当时, ，‎ 当时, ; ‎ 当时, ;‎ 当时, ，‎ 所以当时，函数有最小值为5.‎ 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，将绝对值函数转化为分段函数求最小值问题，解题的关键是准确去绝对值.‎ ‎19．某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元.‎ ‎（Ⅰ）设对乙种产品投入资金（万元），求总利润（万元）关于 的函数关系式及其定义域；‎ ‎（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，对乙种商品投资（万元），对甲种商品投资（万元），结合题意可求经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；（Ⅱ）令，利用配方法结合二次函数的性质可求总利润y的最大值．‎ 详解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金万元，‎ 对甲种产品投入资金万元, ‎ 那么 ‎，‎ 由，解得，‎ 所以函数的定义域为. ‎ ‎（Ⅱ）令，则 ，‎ ‎ 因为∈，所以， ‎ ‎ 当时函数单调递增，当时函数单调递减， ‎ 所以当=时，即=时， ， ‎ 答：当甲种产品投入资金万元，乙种产品投入资金万元时，总利润最大.‎ 最大总利润为万元．‎ 点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)f(x)有极小值，无极大值.(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）对函数进行求导可得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，故而可得极值；（Ⅱ）求出函数的单调性，得当时，函数单调递增，结合题意得不等式，解出即可.‎ 详解：（Ⅰ）由已知得，故，‎ 当时，，；‎ 当时，，，‎ 故当时，f(x)有极小值，无极大值. ‎ ‎（Ⅱ）， ‎ 当时，，；‎ 当时，，，‎ 因为函数在上存在单调递增区间，所以.‎ 解得，即的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值，解题的关键是准确求导以及判断导数与0的关系，属于基础题.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），过点的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与直线分别交于，两点，若，，成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，曲线表示焦点在上的椭圆.(Ⅱ)2.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用平方关系消去参数，结合的范围即可得曲线表示焦点在上的椭圆；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入椭圆方程，‎ 详解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ ‎ ，‎ 曲线表示焦点在上的椭圆.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入椭圆方程，设对应的参数分别为、，根据直线中参数的几何意义，由题意得，再结合韦达定理即可得结果.‎ 整理得，‎ 即，‎ ‎，‎ 设对应的参数分别为、，‎ 那么，‎ 由的几何意义知，，，‎ 于是，，， ‎ 若,，成等比数列，则有，‎ 即，解得，‎ 所以的值为. ‎ 点睛：本题考查了参数方程转化为普通方程（关键是平方消参）、一元二次方程的根与系数的关系、直线与椭圆相交问题、参数方程的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，，成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设曲线，点，为该曲线上不同的两点.求证：当时，直线的斜率大于-1.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）对函数进行求导得，对分为和两种情形，讨论导数与0的关系，即可得单调性；（Ⅱ）利用分离参数的思想，原不等式等价于，成立，令，利用导数求出其最小值即可；（Ⅲ）不妨设且，要证明直线AB斜率大于，即证，，利用导数证明其单调递增即可.‎ 详解：（Ⅰ） ， ‎ 若，，‎ 无单调递增区间.‎ 若，由，‎ 当，； ‎ 当，.‎ 综上所述：当时，，无单调递增区间；‎ 当时，，.‎ ‎（Ⅱ）当，时 ‎，‎ 因为，成立，‎ 即，成立，‎ 即，成立，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故当时，有极小值，此极小值即为最小值，‎ 因为,成立，所以，因此，‎ 即的取值范围为.‎ ‎（Ⅲ）不妨设且，要证明直线AB斜率大于，即证，即证，‎ 由已知，其中，，‎ 设，‎ 则，‎ ‎ ，因此当时，，‎ 即，所以原命题得证.‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎