2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题 ‎1．抛物线的准线方程是，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B.‎ ‎2．在极坐标系中，若点，则的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的面积为 ,选C.‎ ‎3．如图，空间四边形中， .点在上，且，点为的中点，则等于 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，连接 为中点，在中，可得，由，则，那么．故本题答案选．‎ 点睛：进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决．‎ ‎4．设点，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ,所以点的轨迹为以M,N为焦点的椭圆,因此 轨迹方程为,又因为三点不共线，所以，选B.‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 ，选C.‎ ‎6．若动点在曲线上运动，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ，选A.‎ 点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：， 圆参数方程：，直线参数方程：‎ ‎7．设是棱长为的正方体，则有 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以选C.‎ ‎8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎9．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ‎ ‎，选 A.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎10．已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 （ ）‎ A. 1 B. 1或3 C. 2 D. 2或6‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 因为线段的中点到直线的距离为1，所以 ，选B.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎11．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 ‎ 所以最大值与最小值之差是 ，选D.‎ 点睛：对于焦半径，可考虑用圆锥曲线的定义求解.对于椭圆 对于双曲线同样可得 ‎12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】, 所以 ‎ ‎，当且仅当时取等号，即 ‎ ‎ ‎ ‎，选A.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得 ‎ ‎14．如图，平行六面体中， ，则的长为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 所以 ‎15．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是____________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】抛物线准线为 ， ‎ 点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．‎ ‎16．若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点，点是双曲线上异于的点，直线的斜率分别为，则________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】双曲线方程为 所以 ‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为， 分别为与轴、轴的交点.‎ ‎（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）直角坐标系与极坐标系转化时满足条件，曲线的极坐标标方程为，将其中的利用前面的关系式换作，即可得到直角坐标方程； 与轴， 轴的交点的极坐标中分别等于 ‎，代入极坐标方程求，即可求得的极坐标；（2）由的极坐标可求得的极坐标，所以直线的方程为.‎ 试题解析：（1）由得，‎ 从而的直角坐标方程为，即．‎ 时， ，所以． 时， ，所以．‎ ‎（2）点的直角坐标为， 点的直角坐标为．‎ 所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．‎ 所以直线的极坐标方程为．‎ ‎【考点】极坐标系.‎ ‎18．在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，点的坐标为，试求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由展开，并将代入，得，即得：圆的直角坐标方程是；（2）把直线的参数方程代入圆的方程可得： ，从而可得： ‎ ‎．‎ 试题解析：（1）由，展开化为，将代入，得，所以，圆的直角坐标方程是，‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数）代入圆的方程并整理，可得： 设两点对应的参数分别为，则，所以 ‎【考点】1、参数方程；2、极坐标方程；3、韦达定理．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查参数方程、极坐标方程和韦达定理，由于涉及直线参数的几何意义，具有一定的难度，属于中等题型.解此类题型时要注意熟练掌握直角坐标方程（普通方程）、参数方程和极坐标方程三者之间的互化，并应掌握相关定义和性质，特别要熟练掌握直线参数的几何意义及其应用，它的几何意义可以大大降低题目的计算量，对于提高解题速度和解题质量很有帮助.‎ ‎19．在直四棱柱中，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,得两直线方向向量,利用向量数量积得两向量垂直(2)先利用方程组得平面法向量,根据向量数量积求得两向量夹角余弦值,最后根据线面角正弦值与两向量夹角余弦值绝对值相等,得结果 试题解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为 ‎，‎ 则 ‎ 设直线与平面所成角为 ‎ 直线与平面所成角的正弦值为 ‎20．如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且与底面垂直，底面是矩形，‎ 是的中点， 与平面所成的角为.‎ ‎（Ⅰ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅱ）当为多长时，点到平面的距离为2？‎ ‎【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）当时，点D到平面PCE的距离为.．‎ ‎【解析】（1）设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，连接OC，则为PC与面AC所成的角， =，‎ 设AD=2a,则故，则， ， ，设平面PCE的一个法向量为。‎ 则得，‎ 又平面DCE的一个法向量），,‎ 故二面角P-CE-D为………（8分）‎ ‎（2）D(a,0,0),则,则点D到平面PCE的距离 d=2,则，AD=………（12分）‎ ‎21．已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.‎ ‎（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把 转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求 试题解析：（1）为等边三角形，则……2‎ 椭圆的方程为： ； ……3‎ ‎（2）容易求得椭圆的方程为， ……5‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意； ……6‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由得，设，‎ 则， ……8‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即 ‎……10‎ 解得，即，‎ 故直线的方程为或. ……12‎ ‎【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22．已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设是椭圆上异于、的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）相切．‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据点到直线距离公式得 ,再根据离心率得 (2) 设，依次得Q,M,N坐标，即得QN方程，再利用点到直线距离公式得圆心到直线距离，最后根据圆心到直线距离与半径关系确定直线与以为直径的圆的位置关系 试题解析：（Ⅰ）由题意：到直线的距离为，则 椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎ 直线的方程为 ‎ 与联立得： ‎ 则直线的方程为 ‎ 即 ‎ 方程可化为 ‎ 到直线的距离为 故直线与以AB为直径的圆O相切.‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系．‎ ‎(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．‎ ‎(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．‎ 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．‎