数学理卷·2017届江西省吉安一中高三上学期第二次段考（2016

数学理卷·2017届江西省吉安一中高三上学期第二次段考（2016

江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考 ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设，，则的元素个数是（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．无数个 ‎2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3.随机变量，则（ ）‎ A．0.0215 B．0.1359 C．0.1574 D．0.2718‎ ‎（参考数据：，，） ‎ ‎4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C.锐角三角形 D．等边三角形 ‎5.按下图所示的程序框图运算：若输出，则输入的取值范围是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎6.已知数列满足：当时，，则的前10项和（ ）‎ A．31 B．62 C. 170 D．1023‎ ‎7.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的区域面积等于3，则的值为（ ）‎ A．-5 B．-2 C.2 D．5‎ ‎10.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图1，已知正方体的棱长为，动点分别在线段上，‎ ‎，上，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）‎ A． ‎ B． C. D．‎ ‎12.已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，则 ．‎ ‎14.关于的方程有三个不同示数解，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15.已知外接圆的圆心为，且，则 ．‎ ‎16.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知为数列的前项和满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.‎ ‎（Ⅰ）求出上表中的的值； （Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； ②记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，在处的切线与直线垂直，函数.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），曲线（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）设与相交于两点，求；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 31 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）当时，，因为，所以，‎ 当时，，‎ 即，因为，所以所以数列是首项为3，公差 ‎18.（Ⅰ）由题已知，由上的数据，‎ 根据样本容量，频率和频数之间的关系得到，‎ ‎，，，，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，‎ ‎①设“甲不在第一位，乙不在第六位”为事件，‎ 则，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为.‎ ‎②随机变量的可能值为0,1,2‎ ‎，，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 因为，所以随机变量的数字期望为1.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形.‎ 取中点，连，，‎ 则，，则，则.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，‎ 所以，如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 设平面的法向量为，因为 ‎，，‎ 所以，取.‎ 设平面的法向量为，因为，，‎ 所以，取.‎ 则，因为二面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以，所以.‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）设点，，设直线的方程为，‎ 与椭圆方程联立得，‎ 化简得到，因为-4为方程的一个根，‎ 所以，所以 所以 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 代入得到，‎ 显然，所以不存在直线，使得.‎ ‎21.解：（Ⅰ），‎ 与直线垂直，，.‎ ‎（Ⅱ），所以令，‎ ‎，.‎ ‎.‎ ‎，所以设，，‎ ‎，所以在单调递减，‎ 又，，‎ 即.‎ ‎，，，，‎ 故所求的最小值是.‎ ‎22.（Ⅰ）直线的普通方程为，的普通方程.‎ 联立方程组，解得与的交点为，，则.‎ ‎（Ⅱ）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标是，‎ 从而点到直线的距离是，‎ 由此当时，取得最小值，且最小值为.‎ ‎23.解：（1），‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 当，，，‎ 综上所述.‎ ‎（2）易得，若，恒成立，‎ 则只需，‎ 综上所述.‎