2020届二轮复习坐标系与参数方程课时作业(全国通用)

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2020届二轮复习坐标系与参数方程课时作业(全国通用)

‎ 第四十七讲 坐标系与参数方程 ‎ ‎ A组 一、选择题 1. 已知圆C的参数方程为(α为参数),当圆心C到直线 的距离最大时,k的值为(  )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎[解析] ⊙O的直角坐标方程为,∴圆心,又直线过定点,故当CA与直线垂直时,圆心C到直线距离最大,‎ ‎2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(  )‎ A.直线、直线      B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线 ‎[解析] 由得,此方程所表示的图形是圆.‎ 消去方程中的参数t可得,此方程所表示的图形是直线.‎ ‎3.下列参数方程(t为参数)中,与方程表示同一曲线的是(  )‎ A B.C. D.‎ ‎[解析] 将代入得,,故A错,将代入中得,,,故B正确,C、D容易判断都是错的.‎ ‎4.直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎[解析] 将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得 圆心O到直线的距离所以弦长 二、填空题 ‎5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为.‎ 解析 同理:‎ ‎6.在极坐标系中,圆上的点到直线的距离的最小值是1 .‎ 解析: 圆可化为,直线化为,圆心到直线的距离,最短距离为 三、解答题 ‎7.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为,.‎ ‎(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ 解: (I),,由得.所以.‎ 即为⊙O1的直角坐标方程.同理为⊙O2的直角坐标方程 ‎(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为.‎ ‎8.以直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为,曲线的参数方程为 ‎,点是曲线上的一动点.‎ ‎(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎[解析](Ⅰ)设中点的坐标为,依据中点公式有(为参数),‎ 这是点轨迹的参数方程,消参得点的直角坐标方程为. ‎ ‎(Ⅱ)直线的普通方程为,曲线的普通方程为,‎ 表示以为圆心,以2为半径的圆,故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径,设所求最小距离为d,则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. ‎ 9. 在极坐标系下,已知圆和直线。‎ (1) 求圆和直线的直角坐标方程;‎ (2) 当时,求直线于圆公共点的极坐标。‎ 解:(1)圆,即 圆的直角坐标方程为:,即 直线,即则直线的直角坐标方程为:,即。‎ (2) 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。‎ ‎10.在直角坐标系中。直线:,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ (I) 求,的极坐标方程;‎ (II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积 解:(Ⅰ)因为,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为 ‎(Ⅱ)将代入,得,解得,故,即 由于的半径为1,所以的面积为 ‎11.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。‎ 解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中 因此的极坐标为,的极坐标为 所以 当时,取得最大值,最大值为4‎ ‎12.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为.‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.‎ ‎【解析】(1)曲线的普通方程为.‎ 当时,直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为,.‎ ‎(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时,的最大值为.由题设得,所以;‎ 当时,的最大值为.由题设得,所以.‎ 综上,或.‎ ‎ B组 一、选择题 ‎1.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎[解析] 由得:,即,‎ ‎∴圆心直角坐标为,极坐标为,选B.‎ ‎2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(  )‎ A.圆、直线 B.直线、圆 C. 圆、圆 D.直线、直线 ‎[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线.‎ ‎3.极坐标方程为表示的图形是(  )‎ A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎[解析] 由得或者,又,故该方程表示的图形是一个圆和一条射线.‎ ‎4..曲线与曲线(关于直线l对称,则l的方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎[解析] 圆的圆心 圆,的圆心 ‎∵⊙O与⊙C关于直线l对称,∴l为线段OC的中垂线,‎ ‎∵kOC=-1,∴kl=1,‎ ‎∴l方程为:,即.‎ 二、填空题 ‎5.曲线与直线有两个公共点,‎ 则实数的取值范围是 解析:由参数方程得标准方程为 ‎6.已知两曲线参数方程分别为和 ‎,它们的交点坐标为 .‎ 三、解答题 ‎7.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.‎ ‎[解析](1)由曲线:  得两式两边平方相加得:即曲线的普通方程为:      由曲线:得:所以 即曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(2) 由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为       ‎ 所以当时,的最小值为,此时点的坐标为 ‎8.、已知曲线的极坐标方程是,设直线的参数方程是(为参数).‎ ‎ (Ⅰ)将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程;‎ ‎ (Ⅱ)设直线与轴的交点是,曲线上一动点,求的最大值.‎ 解:(1)曲线的极坐标方程可化为: ‎ 又 .‎ 所以,曲线的直角坐标方程为:‎ ‎.‎ ‎ (2)将直线的参数方程化为直角坐标方程得:‎ ‎ 令 得 即点的坐标为 ‎ 又曲线为圆,圆的圆心坐标为,半径,‎ 则 ‎ ∴‎ 9. 在平面直角坐标系xOy中,已知M是椭圆上在第一象限的点,‎ 是椭圆两个顶点,求四边形OAMB的面积的最大值.‎ 解:设,.由题知 ‎ ‎∴四边形OAMB面积 所以当时,四边形OAMB的面积的最大值为 ‎ ‎10.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程是(为参数);以 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.‎ ‎【解析】: (Ⅰ) ,曲线C: ‎ ‎(Ⅱ)因为圆极坐标方程,所以,‎ 所以圆的直角坐标方程为,‎ 圆心为,半径为1,‎ 因为直线的参数方程为(为参数),所以直线上的点向圆C 引切线长是 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. ‎ ‎11.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线 的参数方程为(为参数),为直线与曲线的公共点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点的极坐标;‎ ‎(II)将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线,过点作直线,若直线被曲线截得的线段长为,求直线的极坐标方程.‎ 解:(I)的普通方程为。将代入上式整理得,解得 故点的坐标为,其极坐标为. ‎ ‎(II)坐标变换式为故的方程为,即 当直线的斜率存在时,设其方程为,即,‎ 由圆心到直线距离得,,∴直线为,‎ 当直线的斜率不存在时,其方程为,显然成立.‎ 故直线的极坐标方程为或. ‎ ‎ ‎ ‎ C组 一、选择题 ‎1.方程表示的曲线是( )‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到t与互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含的项,即有,又注意到 ,可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B ‎2.下列在曲线上的点是( )‎ A. B. C. D.‎ 解析: 转化为普通方程:,当时,‎ ‎3.极坐标方程表示的曲线是( )‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.‎ 解析:由,化为直角坐标系方程为,化简得.显然该方程表示抛物线,故选D.‎ ‎4.直线被圆截得的弦长为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解析: ,把直线代入 得 ‎,弦长为 二、填空题 ‎5.若直线(t为参数)被曲线(θ 为参数)所截,则截得的弦的长度是________.‎ ‎[解析] 直线化为;‎ 圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r=3,‎ ‎∴弦长为 ‎6.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.‎ ‎[答案] ‎ ‎[解析] 解法一:圆的圆心极坐标(3,0),‎ ‎∴直线l方程为 解法二:由得,圆心C(3,0),‎ ‎∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为,其极坐标方程为 三、解答题 ‎7.已知直线的参数方程为:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的参数方程;(Ⅱ)当时,求直线与曲线交点的极坐标.‎ ‎[解析] (Ⅰ)由,可得 所以曲线的直角坐标方程为,标准方程为,‎ 曲线的极坐标方程化为参数方程为 ‎(Ⅱ)当时,直线的方程为,化成普通方程为,‎ 由,解得或,所以直线与曲线交点的极坐标分别为,;, .‎ 8. 已知在直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎[解析](Ⅰ)直线的普通方程为,C直角坐标方程为.(Ⅱ)设点,则,‎ 所以的取值范围是. ‎ ‎9.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数)(Ⅰ)将的方程化为普通方程;(Ⅱ)以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是, 求曲线与交点的极坐标.‎ ‎[解析](Ⅰ)依题意,的普通方程为,(Ⅱ)由题意,的普通方程为,代入圆的普通方程后得,解得,,点、的直角坐标为,,从而,.    ‎ 10. 已知曲线 (t为参数) , (为参数)‎ ‎(Ⅰ)化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A,B两点,求.‎ ‎[解析] ‎ 解(Ⅰ)曲线为圆心是,半径是1的圆.‎ 曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆. ‎ ‎(Ⅱ)曲线的左顶点为,则直线的参数方程为(为参数)‎ 将其代入曲线整理可得:,设对应参数分别为,‎ 则所以.          ‎ ‎11.在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r=. ( I)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若,直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)直角坐标,所以圆的直角坐标方程为 由得,圆C的直角坐标方程为 ‎(Ⅱ)将,代入的直角坐标方程,‎ 得 ,则 ,设A,B对应参数分别为,,则 ‎,, ‎ 因为,所以所以,所以的取值范围为 ‎
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