2020届二轮复习排列组合复习课件（全国通用）

2020届二轮复习排列组合复习课件（全国通用）

排列、组合复习课 一、基本内容 1 、两个原理： ①分类计数加法原理（加法原理）：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m 2 种不同的方法 …… 在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N= m 1 + m 2 +…..+ m n 种不同的方法 . ② 分步计数乘法原理（乘法原理）：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法， …… 做第 n 步有 m n 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N= m 1 × m 2 ×.…..× m n 种不同的方法 . 　 ③两个原理的区别：前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；后者每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成。对前者的应用，如何分类是关键，如排数时有 0 没有 0 ，排位时的特殊位置等；后者一般体现在先选后排。 ⒉ 排列与排列数 定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列，所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 表示 . 有关公式 : ⒊ 组合与组合数 : 　 定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素，并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表示。 有关公式 : ⒋ 排列与组合的区别：前者先选出元素，再按一定的顺序排成一列，后者只要选出元素并成一组即可；两个排列相同当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的顺序也相同，如 abc 与 acb 是不同的排列；两个组合相同，只要元素完全相同，可从集合的观点来看，如 {a,b,c}{a,c,b} 是同一集合。 ⒌ 常用解题方法及适用题目类型 　 ⑴直接法：特殊元素法、特殊位置法（两者适用某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置）、捆绑法（两个或两个以上的元素必须相邻）、插空法 （两个或两个以上的元素必须不相邻）、挡板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个） ⑵间接法（排除法 , 正难则反的思想）．　 ⒍ 高考中考查的思想方法：　分类、分步、对称、逆向思维、　整体等． 例 1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12 张。 8 个学生， 4 个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？ 解 先排学生共有 A 8 8 种排法 , 然后把老师插入学生之间的空档，共有 7 个空档可插 , 选其中的 4 个空档 , 共有 A 7 4 种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为 A 8 8 A 7 4 种 . 结论 1 插空法 : 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题 , 可以用插入法 . 即先排好没有限制条件的元素 , 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 . 分析 此题涉及到的是不相邻问题 , 并且是对老师有特殊的要求 , 因此老师是特殊元素 , 在解决时就要特殊对待 . 所涉及问题是排列问题 . 例 2 5 个男生 3 个女生排成一排 ,3 个女生要排在一起 , 有多少种不同的排法 ? 解 因为女生要排在一起 , 所以可以将 3 个女生看成是一个人 , 与 5 个男生作全排列 , 有 A 6 6 种排法 , 其中女生内部也有 A 3 3 种排法 , 根据乘法原理 , 共有 A 6 6 A 3 3 种不同的排法 . 结论 2 捆绑法 : 要求某几个元素必须排在一起的问题 , 可以用捆绑法来解决问题 . 即将需要相邻的元素合并为一个元素 , 再与其它元素一起作排列 , 同时要注意合并元素内部也可以作排列 . 分析 此题涉及到的是排队问题 , 对于女生有特殊的限制 , 因此 , 女生是特殊元素 , 并且要求她们要相邻 , 因此可以将她们看成是一个元素来解决问题 . 例 3 高二年级 8 个班 , 组织一个 12 个人的年级学生分会 , 每班要求至少 1 人 , 名额分配方案有多少种 ? 解 此题可以转化为 : 将 12 个相同的白球分成 8 份 , 有多少种不同的分法问题 , 因此须把这 12 个白球排成一排 , 在 11 个空档中放上 7 个隔板 , 每个空档最多放一个 , 即可将白球分成 8 份 , 显然有 种不同的放法 , 所以名额分配方案有 种 . 结论 3 隔板法 : 解决指标分配问题 分析 此题若直接去考虑的话 , 就会比较复杂 . 但如果我们将其转换为等价的其他问题 , 就会显得比较清楚 , 方法简单 , 结果容易理解 . 例 4 袋中有 5 分不同硬币 23 个 ,1 角不同硬币 10 个 , 如果从袋中取出 2 元钱 , 有多少种取法 ? 解 把所有的硬币全部取出来 , 将得到 0.05×23+0.10×10=2.15 元 , 所以比 2 元多 0.15 元 , 所以剩下 0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角 , 所以共有 种取法 . 结论 4 ： 剩余法 : 在组合问题中 , 有多少取法 , 就有多少种剩法 , 他们是一一对应的 , 因此 , 当求取法困难时 , 可转化为求剩法 . 分析 此题是一个组合问题 , 若是直接考虑取钱的问题的话 , 情况比较多 , 也显得比较凌乱 , 难以理出头绪来 . 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话 , 就会很容易解决问题 . 例 5 、 9 人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ 　 ⑴甲不站排头，乙不站排尾 点评：利用对称的思想， （一）先排甲（特殊元素优先考虑） （二）先排尾位 ( 特殊位置优先考虑） ( 三）间接法 练习： 用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 这五个数，组成没有重复 数字的三位数，其中 1 不在个位的数共有 _______ 种 。 分析 ： 五个数组成三位数的全排列有 个， 0 排在首位的 有 个 ， 1 排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排 法数，再加回百位为 0 同时个位为 1 的排列数 （为什么？） 故共有 种。 ⑵ 甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起 点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理。 练习 ： (2005 · 辽宁 ) 用１、２、３、４、５、６、７、８ 组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻， ３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻， 这样的八位数共有 ___________ 个．（用数字作答） 将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列 有 种，再将７、８插入 4 个空位中的两个 有 种，故有 种． 引申 : 用１、２、３、４、５、６、组成没有重复数字 的六位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６ 相邻，现将 7 、 8 插进去，仍要求１与２相邻，３与４ 相邻，５与６相邻，那么八位数共有 ___________ 个． （用数字作答） [A 3 3 2 3 （ A 4 2 +A 4 1 A 2 2 ） =960] ⑶ 甲乙丙从左到右排列（固定顺序问题） 分析： 评：对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列， 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 . 引申：有三人从左到右顺序一定 点评：定序问题除法处理 分析： 练习： 有 4 名男生， 3 名女生。 3 名女生 高矮互不等， 将 7 名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？ ⑷ 前排三人，中间三人，后排三人 分析： 引申：前排一人，中间二人，后排六人 点评：分排问题直排处理 练习 ： 七人坐两排座位，第一排坐 3 人，第二排坐 4 人，则有多少种不同的坐法？ 分析 ： 7 个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有 种 . ⑸ 分成甲、乙、丙三组，甲组 4 人，乙组 3 人，丙组 2 人。 分析： 引申：①分成甲、乙、丙三组，一组 4 人，一组 3 人， 一组 2 人 分析： ② 分成甲、乙、丙三组，每组 3 人。 分析： ⑹ 分成三组，每组 3 人 分析： 引申：分成三组，一组 5 人，另两组各两人 分析： 点评：局部均分无序问题易出错 实验法（穷举法） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例 将数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 填入标号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的四个方格内，每个方格填 1 个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ） A.6 B.9 C.11 D.23 分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。 第一方格内可填 2 或 3 或 4 。如填 2 ，则第二方格中内可填 1 或 3 或 4 。 若第二方格内填 1 ，则第三方格只能填 4 ，第四方格应填 3 。 若第二方格内填 3 ，则第三方格只能填 4 ，第四方格应填 1 。 同理，若第二方格内填 4 ，则第三方格只能填 1 ，第四方格应填 3 。因而，第一格填 2 有 3 种方法。 不难得到，当第一格填 3 或 4 时也各有 3 种，所以共有 9 种。 练 习 （不对号入座问题） （ 1 ）（ 2004 湖北）将标号为 1 ， 2 ， 3 ， …… ， 10 的 10 个球放入标号为 1 ， 2 ， 3 ， …… ， 10 的 10 个盒子中， 每个盒内放一个球，恰好有 3 个球的标号与其所在盒子 的标号不一致的放入方法有 ___________ 种 （ 2 ）编号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的五个球放入编号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的五个盒子里，至多有 2 个对号入座的情形有 ___________ 种 109 直接法 ： 间接法 ： 住店法 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 例 6 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ） A. B. C D. 分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得 种。 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？ 用分步计数原理看， 5 是步骤数，自然是指数。 对应法 例 7 在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场 比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要 举行几场？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的 所有选手，即要淘汰 99 名选手，淘汰一名选手需要 进行一场比赛，所以淘汰 99 名选手就需要 99 场比赛。 例 8 、高二（ 1 ）班从 7 人中选 4 人组成 4×100m 接力赛其中甲乙二人不跑中间两棒，有多少种选法？ 点评：排列组合综合题的解法应遵循在分类的基础上，先组合后排列的原则，分类与分步相结合，分类时做到不重复不遗漏 . 练习 : （徐州二检）从 6 人中选 4 人组成 4×100m 接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？ 分析：（一）直接法 （二）间接法 48 例 9 、从正方体的 6 个面中任选 3 个，其中 2 个面不相邻的选法有多少种？ 练习：从正方体的 8 个顶点中选 4 个作四面体，则不同的四面体的个数为 。 58 练习： （南通一检）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如７３５，４１４等），那么这样的三位数有 　　 个． 285 练习 1 某人射击 8 枪，命中 4 枪，那么命中的 4 枪中恰有 3 枪是连中的情形有几种？ 练习 2 一排 8 个座位， 3 人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？ 练习 3 马路上有编号为 1,2,3, …… 10 的十只路灯 , 为节约电而不影响照明 , 可以把其中的三只路灯关掉 , 但不能同时关掉相邻的两只或三只 , 也不能关掉马路两端的灯 , 问满足条件的关灯方法有多少种？ 练习 4 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边，那么不同的站法有多少种？ 练习 5 某电路有 5 个串联的电子元件 , 求发生故障的不同情形数目 ? （ A 5 2 ） （ A 4 3 ） （ C 6 3 ） （ A 5 5 /2 ） （ 2 5 —1=31 ） 三、 小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的基本解法加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的历届高考题，不难发现其应用题的特点是条件隐晦，难以挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的几种解法熟练掌握，然后再本着先分类再分步的原则，把复杂的问题简单化，才能做到举一反三，触类旁通，进而为下一章概率的学习打下坚实的基础。