命题角度4-2 空间几何体体积与距离问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

命题角度4-2 空间几何体体积与距离问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度2：空间几何体体积与距离问题 ‎1.如图， 是边长为的正方形， 平面， 平面， .‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.‎ ‎（Ⅱ）设，连接， .‎ 由（Ⅰ）知， 平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，‎ 所以.‎ 因为正方形的边长为， ，‎ 所以， .‎ 取的中点，连接，则 .‎ 所以等腰三角形的面积为 .‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎2. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面， 可证得平面，进而平面平面；‎ ‎（Ⅱ）（Ⅱ）由， 为的中点，可得．由平面平面，可得平面．设，梯形面积为，则S△ABQ= ， ，利用即可求得.‎ ‎（Ⅱ）∵， 为的中点，∴，‎ ‎∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面．‎ 设，梯形面积为，则三角形的面积为，‎ ‎．‎ 又设到平面的距离为，则，‎ 根据题意，∴，‎ 故，‎ 为中点，所以．‎ ‎3.如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面， ，∴.‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵平面 ， 平面，∴平面.‎ ‎（2）连接，由题意得为正三角形，∴.‎ ‎∵平面⊥平面，平面，平面平面，‎ 平面.∵，平面 ， 平面，∴平面，‎ 同理，由可证平面，‎ ‎∵， 平面， 平面，‎ ‎∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长.‎ ‎∵为四棱锥的高，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎4.如图所示的几何体中，四边形为菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 为的中点， 为平面内任一点.‎ ‎（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；‎ ‎（2）过， ， 三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；‎ ‎(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.‎ ‎（2）连接， ，则平面将几何体分成两部分：‎ 三棱锥与几何体（如图所示）.‎ 因为平面平面，且交线为，‎ 又，所以平面.‎ 故为几何体的高.‎ 又四边形为菱形， ， ， ，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ 又，所以平面，‎ 所以 ，‎ 所以几何体的体积 .‎ ‎5. 在三棱柱中， ， ， 为的中点.‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连接交于点，连接.‎ 则为的中点，又为的中点，所以，且平面， 平面，则平面.‎ ‎（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.‎ 因为点在平面的射影在上，且，‎ 所以平面，∴， ，∴平面，‎ 则.‎ 设，在中， ， ，‎ ‎∴， ， ，‎ 由，可得.‎ 则 ‎ ‎ .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎6.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）可直接运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：‎ 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心， ，在中， ，故.又平面平面平面.‎ ‎，得，‎ 所以三棱锥的体积为.又.在中，‎ ‎，故点到平面的距离为.‎ ‎7.如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点的位置，再利用等体积法进行求解.‎ 因为平面， 为的中点，所以到平面的距离.‎ 又，所以.‎ 由题意可知，在直角三角形中， ， ，‎ 在直角三角形中， ， ，所以.‎ 设三棱锥的高为， ，解得： ，‎ 故三棱锥的高为.‎ ‎8.如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直， ， ， 且.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为，通过证明平面，可证得平面.‎ ‎（2）利用等体积法可求体积.‎ 试题解析：（1）证明：∵， ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面平面，且平面平面，‎ ‎，∴平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴.‎ 在正方形中， 平面，‎ ‎∵，∴平面.‎ ‎（2）解：取的中点，连接，则，连接，过作于，‎ ‎∵平面，∴，∴平面，∴，∴平面，∴与重合.‎ 在中， ， ， ，由，得，∴.‎ 过作，垂足为，易证平面，交于，则，‎ 且.‎ ‎∴.‎ ‎9.如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形， 为棱上一点，且 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）平面将四棱柱分成上、下两部分，求这两部分的体积之比. ‎ ‎（棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积， 为棱台的高）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理，分析出平面 又平面平面平面（2）平面分割出一个三棱台，先求其体积，再用总的体积减去此三棱台体积，即可得到下面部分的体积.‎ 试题解析：（1）证明： 底面为菱形， ‎ 在直四棱柱中， 底面 平面 又平面平面平面 ‎（2）解：连接，过作交于，则 则平面与侧面相交的线段为 故平面将四棱柱分成上、下两部分中的上部分由三棱台组成，‎ 取的中点,连接 底面为菱形， ‎ 为正三角形，即也为正三角形， ‎ 又底面 平面 ‎ ‎ 又四棱柱的体积为 ‎ ‎10. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形， ,平面平面， 分别为的中点， 为的中点，过作平面分别与交于点.‎ ‎（Ⅰ）当为中点时，求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据条件可知，根据条件易证明，那么，所以平面，就证明了面面垂直；（Ⅱ）根据等体积转化.‎ 试题解析：‎ 解:(Ⅰ）为中点，所以四边形为矩形，所以当时， 为中点， 所以 ‎ 因为平面⊥平面， ，所以 ‎ 因为在面上，所以 所以⊥面 所以面⊥面 ‎ ‎∵为中点 ∴ ∴‎ 又∵平面∩平面 ∴,‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ 如图,在梯形中, ,‎ ‎ ∴, ‎ 所以三棱锥的体积.‎