海南中学2020届高三年级摸底考试数学答案

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数学试题 第 1 页（共 4 页） 海南中学 2020 届高三年级摸底考试 数学试题 参考答案 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． 1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C 11．A 12．B 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，共 20 分。 13． π 4 14． 2 2,  15．2 16．1或 1 e 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 解：(1) ， ， 由 , ∴f（x）的最小正周期 , 由 ， 得： ＋ ＋ , ∴f（x）的单调递减区间为 ＋ ＋ ， ； ············································ 5 分 （2）在区间 上时， 可得： ， 当 时，函数 f（x）取得最小值为 当 时，函数 f（x）取得最大值为 故得函数 f（x）在区间 上的最大值为 3，最小值为 0． ·································· 10 分 18．解：（1）设{ 1}na  的公比为 q ，由题知 0q  ，且有： 2 31 2 42 1 ( 1) 1 ( 1) a q a a q a        ，所以： 2 3 4 1 22 ( 2)a a q a a     ，即： 2 4 2 22 ( 2)S S q S    ，代入 2 2S  ， 4 16S  ， 得： 216 4q ，所以 2q  或者 2q  （舍去） 所以： 211 2( 1)aa   ，所以： 2121aa 由 2 1 2 1 12 2 1S a a a a      得： 1 1 3a  ，所以： 1 41 3a  所以： 11 1 41 ( 1) 23 nn na a q     所以： 12 13 n na   6 分 （2）因为 12 13 n na  ，所以 2log (3 3) 1nnb a n    ， 数学试题 第 2 页（共 4 页） 1 11 ( 1)( 2)nnb b n n  11 12nn ， ·························································· 10 分 所以数列 1 1{} nnbb 的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2 2 2 2( 2) n n n n n                            ． ······················· 12 分 19．解：（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为(0.020+0.030+0.025)， 所以 40 名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为 400.75 30． （2）40 名读书者年龄的平均数为: 25 0.05 35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.25 75 0.1 54            . 设中位数为 x ，则  0.005 10 0.010 10 0.020 10 0.030 50 0.5x         解得 55x  ，即 40 名读书者年龄的中位数为 55. （3）年龄在 20 30， 的读书者有 2 人，年龄在 30 40， 的读书者有 4 人，设年龄在 30 40， 的 读 书 者 人 数 为 X, X 的 所 有 可 能 取 值 是 0，1 ， 2，   20 24 2 6 10=15 CCPx C  ，   11 24 2 6 81=15 CCPx C  ，   02 24 2 6 22=5 CCPx C  ，X 的分布列如下： X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 数学期望 EX =   1 8 2 40 0 +1 +2 =15 15 5 3Px     20．解：（1）连接 ，因为 ， ，所以 为正三角形，又点 为 的 中点，所以 .又因为 ， 为 的中点，所以 . 又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 . （2）由（1）知 .又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ， 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线 为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个 法向量为 ， 数学试题 第 3 页（共 4 页） 可得 得 ， 由（1）知 平面 ，则取平面 的一个法向量 ， ，故二面角 的余弦值为 . 21.解:(1)因为 (2,0)A 为椭圆与 x 轴的一个交点，所以 2a  . 由 0,| | 2| |AC BC BC AC，可得| | | |, 90AC OC OCA    ， 由等腰直角三角形的性质可得 (1,1)C ， 代入椭圆方程可得 22 2 1114 b，解得 2 4 3b  ， 所以此椭圆的方程为 22 144 3 xy. (2)由(1)可得 ， ( 1, 1)B  ， 由 ( , )P x y 在椭圆上，可得 223 144 xy， 所以 2 2 2 2 2 2 4 111341 1 1 133 1 1 1 1 1 3PB PC x x y y ykk x x x x x               ， 即 PB PCkk是定值，定值为 1 3 . 22．解：（1） ①若 ， 在 上单调递增； ②若 当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减； 当 时， ，所以 在 单调递增； （2）由（1）的讨论可知当 时， 在 单调递增，在 单调 递减，且 ， ，所以两个零点 ， ①当 时， ，所以 ，显然 ； 数学试题 第 4 页（共 4 页） ②当 时， ，所以 ， 令 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，） 又 ，所以 <0，即 ， 又因为 ， 在 单调递增， 所以 ，所以 ， 即 ， . 而 所以 ，即 ，命题得证.