2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一竞培中心下学期期中考试数学试题

2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一竞培中心下学期期中考试数学试题

‎ ‎ ‎2018-2019学年安徽省阜阳市第三中学高一竞培中心下学期期中考试数学试题 考生注意：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，22大题。满分150分，考试时间为120分钟。‎ 第I卷 (选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案, 请将答案填写至答题卷的相应位置)‎ 1. 直线的倾斜角是　　‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 2. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A. B． C． D．‎ 3. 已知圆： 和圆： ，则两圆的位置关系为（ ）‎ A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4. 已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面，，下列命题中正确的是　　‎ A. 若，，且，则 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 5. 如果，那么以为内角的是（   ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 若圆的弦AB被点平分，则直线AB的方程为　　‎ A. ‎ B. ‎ B. C. D. ‎ 1. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为　　‎ A.6 B. 30 C. 20 D. 10 ‎ 2. 在中，角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ 3. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　　‎ A. B. C. D. ‎ 4. 如图，正方体的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，则EF长度的范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行； ‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°角； ‎ ‎④DM与BN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)‎ A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④‎ ‎12、若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，请将答案直接填写至答题卷的相应位置）‎ ‎13.已知两条直线平行，则 ‎ ‎14.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|= ‎ ‎15.如图在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．‎ ‎16.在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6题，合计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写至答题卷的相应位置）‎ ‎17.（本小题满分10分）已知直线l经过两条直线和的交点，且与直线垂直． 求直线l的方程； 若圆C的圆心为点，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．‎ ‎18.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求，的值．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，已知面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：面BCE；Ⅱ求证： 面BCE；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）用解析法（坐标法）证明：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。‎ ‎21.（本题12分）如图，在直角梯形中，，∥，面，面,且,‎ ‎（1）设直线与平面所成角为，求的值；‎ ‎（2）设为的中点，在边上求一点，使得∥面，求的值。‎ ‎22.（本小题满分12分）已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P的坐标为 ‎（﹣6，3），线段PH的中点为M．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）平面内是否存在定点A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常数），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．‎ 数学试卷答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 直线的倾斜角是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3.已知圆： 和圆： ，则两圆的位置关系为（ D ）‎ A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 ‎【答案】D ‎4.已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面，，下列命题中正确的是　　‎ A. 若，，且，则 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 ‎【答案】D 5. 如果，那么以为内角的是（ A   ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】A ‎6.若圆的弦AB被点平分，则直线AB的方程为　B　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为D　　 ‎ A. 60 B. 30 C. 20 D. 10‎ ‎【答案】D ‎8.在中，角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( B )‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】B【解析】对于选项B，因为，，，由正弦定理得，所以，，，故C有两解，故选B．学+ ‎ ‎9.九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面ABC，，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　C　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】解：由题意，PC为球O的直径，， 球O的半径，球O的表面积．故选：C．‎ ‎10.如图，正方体的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，则EF长度的范围为　C　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：取AD的中点N，的中点M，连结MN，NE，ME，则，， 平面平面， 当F在线段MN上时，EF始终与平面平行， 故EF的最小值为，最大值为．‎ ‎11.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行； ‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°角； ‎ ‎④DM与BN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是(　C　)‎ A. ‎①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎12、若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是 （C）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知两条直线平行，则 -1或2 ‎ ‎14.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|= 10 ‎ ‎【解析】选A.点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点的坐标为(2,-3,-5),故点B(2,-3,-5),‎ 则|AB|==10.‎ ‎15.如图在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：，异面直线与AC所成角为，易求，‎ ‎16.在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为　3　．‎ ‎【解答】解：设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S△ABC=AC•BC•sinC=x•sinC=x．‎ 由余弦定理可得 cosC=，‎ ‎∴S△ABC=x=x =．‎ 由三角形三边关系有：x+2x＞3且x+3＞2x，解得 1＜x＜3，‎ 故当 x=时，S△ABC取得最大值3，‎ 故答案为：3．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知直线l经过两条直线和的交点，且与直线垂直． 求直线l的方程； 若圆C的圆心为点，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．‎ ‎【答案】解：由题意知，解得， 直线和的交点为； 设直线l的斜率为k，与直线垂直，；直线l的方程为， 化为一般形式为； 设圆C的半径为r，则圆心为到直线l的距离为， 由垂径定理得，解得， 圆C的标准方程为．‎ ‎18．在中，角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求，的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】（1）由及正弦定理，可得．‎ 在中，，所以，所以．‎ 又，所以．‎ ‎（2）由及正弦定理，可得 ①，‎ 由余弦定理，可得，‎ 即 ②，联立①②，解得，．‎ ‎19.如图，已知面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：面BCE；Ⅱ求证：面BCE； 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】证明：Ⅰ四边形ABEF为矩形，． 面BCE，面BCE，面BCE．Ⅱ面ABCD，四边形ABEF为矩形， 平面ABCD，平面ABCD，， 四边形ABCD为直角梯形，，，，， ，，， ，面BCE． 解：面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形， ，，，， 平面BEF，点C到平面BEF的距离为， ，三棱锥的体积： ．‎ ‎20.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。‎ 在△ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点, PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F. 以BC所在直线为x轴,以BC中垂线为y轴, 建立直角坐标系(如图3-3-1). 设A(0,b),B(-a,0),C(a,0),(a＞0,b＞0), 则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,直线AC的方程为bx+ay-ab=0, 取P(x 0 ,0),使x 0 ＞a, 则点P到直线AB,AC的距离分别为 |PD|=, |PE|=‎ ‎. 点C到直线AB的距离为 |CF|=, 则|PD|-|PE|==|CF|.‎ ‎21.（本题12分）如图，在直角梯形中，，∥，面，面,且,‎ ‎（1）设直线与平面所成角为，求的值；‎ ‎（2）设为的中点，在边上求一点，使得∥面，求的值。‎ 解：过程略（1）；（2）。‎ ‎22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P的坐标为（﹣6，3），线段PH的中点为M．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）平面内是否存在定点A（a，b）（a≠0），使|MO|=λ|MA|（λ≠1常数），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y﹣3），‎ 又H在圆上，得（2x+6﹣2）2+（2y﹣3+3）2=32，化简得（x+2）2+y2=8；‎ ‎（2）设M的轨迹交y轴于E、F，由且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，‎ 所以A在x轴上，设M（x，y），‎ 则λ2==，‎ 所以4+a2=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），；‎ ‎（3）由直线y=kx与（x+2）2+y2=8，消去y得（1+k2）x2+4x﹣4=0，‎ ‎∴x1+x2=x1x2=﹣，‎ 又 0==（1+k2）x1x2﹣kt（x1+x2）+t2，‎ ‎∴=∈[﹣，]，‎ ‎∴t．‎ ‎　‎