2017-2018学年黑龙江省伊春市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年黑龙江省伊春市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

‎2017-2018学年黑龙江省伊春市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题 ‎1．用抽签法进行抽样有以下及格步骤：‎ ‎①把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）‎ ‎②将总体中的个体编号；‎ ‎③从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；‎ ‎④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；‎ 这些步骤的先后顺序应为 ( )‎ A. ②①④③ B. ②③④① C. ①③④② D. ①④②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抽签法的定义可知，抽签法的步骤为：‎ 将总体中的个体编号；‎ 把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）‎ 将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；‎ 从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；‎ 即过程为：②①④③.‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．已知与之间的一组数据 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则与的线性回归方程必过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由所给的数据可得： ，‎ 由回归方程的性质可知 ，回归方程过样本中心点，‎ 即线性回归方程必过点.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．某企业有职工450人，其中高级职工45人，中级职工135人，一般职工270人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ）‎ A. 5，10，15 B. 5，9，16 C. 3，10，17 D. 3，9，18‎ ‎【答案】D ‎【解析】由分层抽样的定义结合抽样比可知：‎ 高级职工应抽取： 人；‎ 中级职工应抽取： 人；‎ 一般职工应抽取： 人；‎ 即各职称人数分别为3，9，18.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：‎ ‎(1) ；‎ ‎(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎4．4830与3289的最大公约数为（ ）‎ A. 11 B. 35 C. 23 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用辗转相除法可得：‎ ‎4830=3289×1+1541，‎ ‎3289=1541×2+207，‎ ‎1541=207×7+92，‎ ‎207=92×2+23，‎ ‎92=23×4，‎ 据此可得：4830与3289的最大公约数为23.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．以下选项正确的是（ ）‎ A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的必要条件 D. 是的充要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，此时，但是不满足，选项A错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项C错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项D错误；‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．用秦九昭算法计算多项式，时，的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 选B.‎ ‎7．设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实根的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，‎ 方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，‎ 当m=2，n=1‎ m=3，n=1，2‎ m=4，n=1，2，3，4‎ m=5，n=1，2，3，4，5，6，‎ m=6，n=1，2，3，4，5，6‎ 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ‎∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是；‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．某中学高一年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）‎ A. 8 B. 168 C. 9 D. 169‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵甲班学生成绩的平均分是85，‎ ‎∴79+78+80+80+x+85+92+95=85×7，‎ 即x=6.‎ ‎∵乙班学生成绩的中位数是83，甲班学生成绩的中位数是80+x=83，得x=3；‎ ‎∴若y⩽1，则中位数为81，不成立。‎ 若y>1，则中位数为80+y=83，‎ 解得y=3.‎ ‎∴x+y=6+3=9，‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．‎ ‎9．下列程序执行后输出的结果是（ ）‎ A. B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；‎ 当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；‎ 当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；‎ 当n=2，S=12时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=14，n=1；‎ 当n=1，S=14时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=15，n=0；‎ 当n=0，S=15时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输出n=0‎ 本题选择D选项.‎ ‎10．阅读下图程序框图，运行相应程序，则输出的的值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序框图是循环结构,经第一次循环得到；经第二次循环得到， ；经第三次循环得到， ；经第四次循环得到， 满足判断框的条件，执行是，输出4，故选B.‎ ‎11．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．‎ 考点：系统抽样法 ‎12．现有10个数，它们能构成一个以1为首项， 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意成等比数列的10个数为：1，−3，(−3)2，(−3)3…(−3)9，‎ 其中小于8的项有：1，−3，(−3)3，(−3)5，(−3)7，(−3)9共6个数 这10个数中随机抽取一个数，‎ 则它小于8的概率是.‎ 本题选择A选项.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】全程命题的否定为特称命题，则：命题“”的否定是.‎ ‎14．在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，则小于的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为 在AB上取点D，使AD=1，则若M点在线段AD上，满足条件∵|AD|=1，|AB|=‎ ‎∴AM的长小于AC的长的概率为 ‎15．数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】试题分析：由题意知，，则，，而，所以所求方差为．故正确答案为16．‎ 考点：两组线性数据间的特征数的运算．‎ ‎【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据与中若有时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：，或是，掌握此关系会给我们计算带来很大方便．‎ ‎16．‎ 书架上有2本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学的概率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】任意取出两本书，可能的事件有种，‎ 其中满足题意的事件只有1种，‎ 综上可得：取出的两本书都是数学的概率为.‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ 三、解答题 ‎17．（1）将八进制数化为十进制数。‎ ‎（2）已知一个进制的数与十进制的数38相等，求的值.‎ ‎【答案】(1)87；(2)5.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用数制转换的法则可得：八进制数化为十进制数是87；‎ ‎(2)由题意得到关于实数k的方程，解方程舍去负值可得k=5.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）由，‎ 得，所以 所以或（舍）‎ 所以.‎ ‎18．某个容量为100的样本，频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求出的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图分别估计样本的众数、中位数与平均数.（精确到0.1）‎ ‎【答案】(1)0.15；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数b的方程，解方程可得：b=0.15；‎ ‎(2)结合频率分布直方图进行估计可得：众数为3.5、中位数为3.9，平均数为3.9.‎ 试题解析：‎ ‎(1)根据频率和为1，得 ‎；‎ ‎（2）根据频率分布直方图中小矩形图最高的是3~4，估计样本的众数是；‎ 平均数是 由第一组和第二组的频率和是 所以，则 所以中位数为.‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎19．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：‎ ‎（1）用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；‎ ‎（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小.‎ ‎（注： ）‎ ‎【答案】(1) ；(2)2.4千万元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意首先求得样本中心点，然后利用系数公式可得回归直线方程为；‎ ‎(2)结合（1）中的结论结合回归方程的预测作用可估计利润额的大小为2.4千万元.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设回归直线的方程是： ， ，‎ ‎∴， ‎ ‎∴对销售额的回归直线方程为；‎ ‎（2）当销售额为4（千万元）时，利润额为（千万元）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图9－2－20.‎ 图9－2－20‎ ‎(I)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎(II)计算甲班的样本方差；‎ ‎(III)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）乙班平均身高高于甲班 ‎（Ⅱ）身高为176cm的同学被抽中的概率为2/5‎ ‎【解析】试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式计算方差；（3）由茎叶图知乙班这名同学中身高不低于的同学有人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm基本事件有4个，由概率公式计算可得．‎ 试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班位同学身高为，乙班位同学身高为，则 ‎．2分 ‎．4分 ‎∵，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．‎ 设甲班的样本方差为，由（1）知．则 ‎， 8分 由茎叶图可知：乙班这名同学中身高不低于的同学有人，身高分别为、、、、．这名同学分别用字母、、、、表示．则记“随机抽取两名身高不低于的同学”为事件，则包含的基本事件有：、、、、、、、、、共个基本事件． 10分 记“身高为的同学被抽中”为事件，‎ 则包含的基本事件为：、、、共个基本事件．‎ 由古典概型的概率计算公式可得：． 12分 考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若， 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；‎ ‎（2）若， 都是从区间上任取的一个数，求成立的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)基本事件总数为个.函数有零点的条件为.， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则函数有零点的概率为.‎ ‎(2)由几何概型的计算公式可得事件“”的概率为.‎ 试题解析：‎ 解：（1）， 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为个.‎ 函数有零点的条件为，即.因为事件“”包含， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，‎ 所以事件“”的概率为，即函数有零点的概率为.‎ ‎（2）， 都是从区间上任取的一个数， ，即，此为几何模型，如图可知，事件“”的概率为.‎ 点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．‎ 古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．‎ 几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.‎ ‎22．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖规则如下：1、抽奖方案有以下两种：方案，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中。‎ 抽奖条件是：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案抽奖一；满足150元，可根据方案抽奖（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案抽奖三次或方案抽奖两次或方案各抽奖一次）。已知顾客在该商场购买商品的金额为250元。‎ ‎（1）若顾客只选择根据方案进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；‎ ‎（2）当若顾客采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0元除外）。‎ ‎【答案】(1) ；(2)15元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意列出所有可能的事件，然后结合古典概型计算公式可得所获奖金为15元的概率是；‎ ‎(2)结合所给的两种方案分类讨论可得其最有可能获得的奖金数是15元.‎ 试题解析：‎ ‎（1）记甲袋中红球是，白球分别为 由题意得顾客可以从甲袋中先后摸出2个球，其所有等可能出现的结果为 共9种，‎ 其中结果可获奖金15元，所以顾客所获奖金为15元的概率为.‎ ‎（2）由题意的顾客可以根据方案抽奖两次或根据方案各抽奖一次。由（1）知顾客根据方案抽奖两次所获奖金及其概率如表1：‎ 记乙袋中红球分别是，白球 则顾客根据方案各抽奖一次的所有等可能出现的结果为 共9种 其中结果可获奖金25元。结果可获奖金15元，‎ 可获奖金10元，其余可获奖金0元，所以顾客根据方案各抽奖一次所获奖金及其概率如表2：‎ 由表1，表2可知顾客最有可能获得的奖金数为15元.‎