数学理卷·2018届福建省永春一中高三上学期期初考试（2017

数学理卷·2018届福建省永春一中高三上学期期初考试（2017

永春一中2018届高三（上）期初考试 数学（理）科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题教师：李金进 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 集合，集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 设复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎3. 已知等比数列{an }的，若成等差数列，则 ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎4. 实数设，，，的大小关系正确的是 ‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c ‎ C．c＜b＜a D．b＜c＜a ‎5. 给出计算 的值的一个程序框图如图，‎ 其中判断框内应 填入的条件是 A．i＜10？ B． i＞10？ ‎ C．i＜20？ D．i＞20？ ‎ ‎6.将函数的图象沿轴向右平移个单位后，‎ 得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是 A． B． C． D．‎ ‎7.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎8. 甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为 ‎.则甲获第一名且丙获第二名的概率.‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A. B. 80 ‎ C. D.40 ‎ ‎10. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为圆．后来人们称该圆为阿波罗尼斯圆．若点为双曲线的左、右焦点，点为其左、右顶点。直线为双曲线的其中一条渐近线，动点满足，记点的轨迹为，则 A．点 B．点 C．与相切 D． 与相交 ‎11. 在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为 A．1 B． C． D．与点的位置有关 ‎12. 如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n＞2)，则AP6的长为 ‎ ‎ A.                   B. C.                  D. ‎ 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13. 设变量x，y满足约束条件，则的最小值　　　　．‎ ‎14. 学校为了解同学的上学的距离，随机抽取名同学，调查他们的居住地与学校的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，， ， ，由数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中同学与学校的距离不超过千米的人数为 人．‎ ‎15. 展开式中不含y的各项系数之和为 .‎ ‎16.已知函数。任取实数，以为三边长可以构成三角形，则实数的取值范围为 。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设的平分线交于，，，求的值．‎ ‎(第17题)图）‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为分）．测试后，随机抽取若干名学生成绩（理综成绩记为，文综成绩记为），将文综、理综成绩分差绝对值记为，并将其分组统计制成下表．‎ 分组 频数 ‎（Ⅰ）如果将样本中女生的值分布情况制成相应的频率分布直方图（如图所示），已知的频数为25．估计全体学生中，的男、女生人数．‎ ‎（Ⅱ）记文综、理综成绩分差绝对值的平均数为，如果将称为整体具有显著学科学习倾向，估计年段女生的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆 (a ＞ b ＞ 0)的一个焦点是F (1,0)，O为坐标原点.‎ ‎（1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点F的直线L交椭圆于A，B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有|OA|2 + |OB|2 ＜|AB|2，求a的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）已知函数与函数的图像关于直线x = 1对称，证明：当x＞1时，f(x) ＞ g(x)；‎ ‎（3）如果，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线（为参数），曲线（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为．‎ ‎（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，求的长．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ 永春一中2018届高三（上）期初考数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B ‎7.D 8.D 9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13.-8 14.24 15. 16.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解：（1）‎ ‎ ………2分 ‎ ………4分 ‎ ………5分 ‎ ………6分 ‎（2）在中,由正弦定理：‎ ‎ ………8分 ‎ ………10分 ‎ ………12分 ‎18.解：（Ⅰ）依题意，由频率分布直方图可知，‎ 女生的频率为，‎ 故．…………2分 由频率分布直方图可知，女生的频率为．‎ 则样本中女生总人数为．………4分 则女生的频数为．‎ 结合统计表可知，男生的频数为．………6分 又样本容量为，故样本中，男、女生的频率分别为与，‎ 采用频率估计概率，样本估计总体的统计思想，年段名学生中，约有男生名，女生名．………8分 ‎（Ⅱ）依题意，样本女生文、理综分差绝对值平均数约为 ‎．…………10分 采用样本估计总体的统计思想，全体女生．‎ 因为，所以年段女生整体具有显著学科学习倾向…………12分 ‎19.（1）证明：在梯形中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，‎ 令，则，‎ ‎∴.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，得，‎ 取，则，‎ ‎∵是平面的一个法向量，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴当时，有最小值，‎ 当时，有最大值，‎ ‎∴.‎ ‎20.解（1）设M，N为短轴的两个三等分点，由△MNF 为正三角形，‎ ‎ 即1=， 椭圆的方程为. …4分 ‎(2)AB与x轴重合，则…5分 ‎ AB与x轴不重合，令AB方程为，联立，即 ‎ ，且，…7分 ‎ 恒有,故为钝角，即恒成立，…9分 ‎ 整理得 对于恒成立，此时的最小值为0.‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎，解得 …12分 ‎21.解：（1）在上增，在上减，故在x=1处 ‎ 取得极大值  …4分 ‎（2）因为函数的图像与的图像关于直线x=1对称，‎ 所以=，‎ 令，则 ‎ 又，当时有，‎ ‎ 在上为增函数，∴.  …8分 ‎ (3) 在上增，在上减，且，‎ ‎ ∴x1, x2分别在直线x=1两侧，不妨设x1<1,x2>1,‎ ‎ ∴即，∵∴‎ ‎ 又 ∴∴.  …12分 ‎22.解：（1）圆的标准方程为：即：‎ 圆的极坐标方程为：即：‎ 圆的方程为：‎ 即：‎ 圆的直角坐标方程为：‎ ‎（2）直线的极坐标方程为,圆的极坐标方程为：‎ 所以 圆的方程为 所以 故 ‎23.解：………………（3分）‎ 当时，，即，解得；‎ 当时，，即，所以；‎ 当时，，即，所以，‎ 不等式解集为；………………（5分）‎ ‎（2）由题意，得当，不等式为，‎ 即，解得或恒成立，‎ 则由条件，得，即，‎ 故的取值范围．………………（10分）‎