2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省台州市联谊五校高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则集合 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由集合交集运算，根据集合A与集合B，即可求得 ‎【详解】‎ 集合 所以根据集合交集运算可得 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集的运算，属于基础题。‎ ‎2．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，然后求对应三角形的面积。‎ ‎【详解】‎ 如图：作出可行域：‎ 则不等式组表示的平面区域面积为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组。‎ ‎3．已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.‎ ‎【详解】‎ α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，‎ 还有一种情况可能是直线和平面相交， ∴不满足充分性；‎ 当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，‎ ‎∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出曲线在处的导数值，即为切线斜率，进而由点斜式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 对求导得：，时 在点处的切线斜率为3. 切线方程为，整理得：.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎5．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆的长轴长是短轴长的倍，‎ ‎∴，得，‎ 又∵a2＝b2+c2，‎ ‎∴2b2＝b2+c2，可得，‎ 因此椭圆的离心率为e．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 为偶函数，‎ 的图象关于y轴对称，故排除B，C，‎ 当时，，故排除D，‎ 或者根据，当时，为增函数，故排除D，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．‎ ‎7．已知中，且，，则是（ ）‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．正三角形或直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 ‎【答案】A ‎【解析】由tanA+tanBtanAtanB，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．‎ ‎【详解】‎ ‎∵tanA+tanBtanAtanB，‎ 即tanA+tanB（1﹣tanAtanB），‎ ‎∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，‎ ‎∴A+B＝120°，即C＝60°，‎ ‎∵，∴,‎ ‎∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.‎ 由题意知 ‎∴△ABC等边三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．‎ ‎8．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算出当，此时圆心到该直线的距离，建立不等式，计算m的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 当，此时圆心到MN的距离 要使得，则要求，故，解得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 考查了点到直线距离公式，关键知道的意义，难度中等。‎ ‎9．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】此题转化为（x+）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵不等式x+ m2+3m有解，‎ ‎∴（x+）min＜m2﹣3m，‎ ‎∵x＞0，y＞0，且，‎ ‎∴x+＝（x+）（）＝＝4，‎ 当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，‎ ‎∴（x+）min＝4，‎ 故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，‎ 解得m＜﹣4或m＞1，‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．‎ ‎10．如图所示，垂直于圆所在的平面， 是圆的直径，，是圆上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意首先得到体积的表达式，然后结合解析式确定函数取得最值时的条件，最后求得最值即可.‎ 详解：设，由题意可知，设与底面所成的角为，则 由圆的性质可知：，由线面垂直的定义可知：，‎ 结合线面垂直的判断定理可得：平面，则，‎ 结合可知平面，‎ 据此有，则，‎ 由平面可知，结合可得平面，‎ 则.‎ 在中，，‎ 利用面积相等可得：，‎ 在中，，则，‎ ‎，‎ 结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，‎ 此时.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎11．函数的定义域为_________；值域为_______．‎ ‎【答案】. . ‎ ‎【解析】根据根式及分式的要求即可求得定义域；由函数解析式即可求得值域。‎ ‎【详解】‎ 函数 所以定义域为 ，即 ‎ 所以定义域为 因为 ‎ 所以，‎ 即值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题，属于基础题。‎ ‎12．已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线 与直线垂直，则实数_______．‎ ‎【答案】. . ‎ ‎【解析】根据斜率与倾斜角关系可求得m的值；根据直线垂直的斜率关系可求得m的值。‎ ‎【详解】‎ 因为倾斜角为 即 ‎ 所以，解得 ‎ 若直线 与直线垂直，则两条直线的斜率之积为 ‎ 即 ，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率与倾斜角关系，两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题。‎ ‎13．（1） ______；（2） _______．‎ ‎【答案】2. 10. ‎ ‎【解析】根据对数运算法则，化简（1）；根据指数与对数的运算法则，化简（2）即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据对数运算法则，可得 ‎（2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式，可得 ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数的运算法则和化简求值，属于基础题。‎ ‎14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）等于_______；表面积（单位：）等于__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先还原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.‎ ‎【详解】‎ 几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面），因此几何体的体积为，表面积为 ‎【点睛】‎ 本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题.‎ ‎15．已知平面向量满足，且，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可求，然后结合向量的数量积的性质|，代入即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，，，‎ 则，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎16．如图，平面四边形中，，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先求得BD的长度，然后结合余弦定理求得∠ADB的值，最后利用面积公式求解△ACD的面积即可.‎ 详解：在△BCD中，由，可得∠CDB=30°，‎ 据此可知：，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 在△ABD中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 故，‎ 结合三角形面积公式有：‎ ‎. ‎ 点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．当时，不等式恒成立，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵时，不等式恒成立 ‎∴，即 设，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为 故答案为6‎ 三、解答题 ‎18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1) 由题得cos= ，sin= ，代入已知即得解.(2),所以所以，求出sin和cos的值即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得cos= ，sin= ，所以 . ‎ ‎(2),所以，‎ 所以所以3sin-4cos=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．已知正项等比数列中，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等比数列通项公式及等差中项定义，求得首项与公比，即可求得数列 的通项公式；‎ ‎（2）根据数列的通项公式，代入可得数列的通项公式，进而根据裂项法求得前n项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为q，因为成等差数列，‎ 所以，得，‎ 又，则，即，‎ 化简整理得 显然，所以，解得 故数列的通项公式 ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 ‎ 则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列与等差数列通项公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题。‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），极小值0（2）‎ ‎【解析】求出函数的导数，得到导数在时为零然后列表讨论函数在区间和上讨论函数的单调性，即可得到函数的单调区间和极值；‎ 在上是单调函数，说明的导数在区间 恒大于等于0，或在区间恒小于等于然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 易知，函数的定义域为 当时，‎ 当x变化时，和的值的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是 由，得 又函数为上单调函数，‎ 若函数为上的单调增函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即不等式在上恒成立．‎ 也即在上恒成立，‎ 而在上的最大值为，所以 若函数为上的单调减函数，‎ 根据，在上，没有最小值 所以在上是不可能恒成立的 综上，a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．‎ ‎21．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是边长为的正三角形．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于两点，若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；‎ 设过点的直线n的方程为，联立直线方程与抛物线方程，得利用根与系数的关系结合求得t，进一步求出与F到直线的距离，代入三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由题知，，则．‎ 设准线与x轴交于点D，则．‎ 又是边长为8的等边三角形，，‎ ‎，，即．‎ 抛物线C的方程为；‎ 设过点的直线n的方程为，‎ 联立，得．‎ 设，，则，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 由，得 ‎，‎ 解得．‎ 不妨取，则直线方程为．‎ ‎．‎ 而F到直线的距离．‎ 的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若，判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）见解析；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】（1）将代入证明为偶函数即可。‎ ‎（2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数。‎ ‎（3）去绝对值化简不等式，根据全称命题与特称命题的成立关系可得，分两段不等式求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）存在使为偶函数， ‎ 此时：，‎ 证明：的定义域为关于原点对称，‎ 且 为偶函数。‎ ‎（2），且，，‎ 在上为减函数 证明：任取，且，‎ ‎ ‎ ‎，即 在上为减函数 ‎ ‎（3）,,‎ 对任意，存在，使得成立，‎ 即存在，使得， ‎ 当时，为增函数或常函数，‎ 此时，则有恒成立 当时， ‎ ‎ ‎ 当时， ‎ 综上所述：. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性与单调性的综合英语，恒成立与存在性成立问题的综合应用，讨论过程复杂，需要很强的数学思维能力，属于难题。‎