2018-2019学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求解一元二次不等式的解集，化简集合的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.‎ ‎2．( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.‎ ‎3．已知向量，则与( ).‎ A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 ‎【答案】A ‎【解析】通过计算两个向量的数量积，然后再判断两个向量能否写成的形式，这样可以选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，而不存在实数，使成立，因此与不共线，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两个平面向量垂直的判断，考查了平面向量共线的判断，考查了数学运算能力.‎ ‎4．已知，则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，于是有 ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.‎ ‎5．等差数列中，，则( ).‎ A．110 B．120 C．130 D．140‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接运用等差数列的下标关系即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为数列是等差数列，所以，‎ 因此，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.‎ ‎6．已知向量，且，则( ).‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用平面向量的加法的几何意义，结合等式，把其中的向量都转化为以为起点的向量的形式，即可求出的表示.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题.‎ ‎7．若都是正数，则的最小值为( ).‎ A．5 B．7 C．9 D．13‎ ‎【答案】C ‎【解析】把式子展开，合并同类项，运用基本不等式，可以求出 的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎8．已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦型函数的对称性，可以得到一个等式，结合四个选项选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像关于直线对称，所以有 ‎，当时，，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.‎ ‎9．等比数列的前项和、前项和、前项和分别为，则( ).‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列前项和的性质，可以得到等式，化简选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为这个数列是等比数列，所以成等比数列，因此有 ‎，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列前项和的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎10．在中，若，则的面积为( ).‎ A．8 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理结合已知，可以得到的关系，再根据余弦定理结合 ‎，可以求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，‎ 因此的面积为，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.‎ ‎11．已知，则使得都成立的取值范围是( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.‎ ‎12．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为， 所以，即，‎ 令，可得，‎ 于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 函数的最小正周期为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.‎ ‎14．若满足约束条件，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线，在可行解域内，找到直线在纵轴上截距最小时所经过点的坐标，代入目标函数中，求出目标函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 在平面直角坐标系中，约束条件所表示的平面区域如下图所示：‎ 当直线经过点时，直线纵轴上截距最小，解方程组 ‎，因此点坐标为，所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.‎ ‎15．设等差数列的前项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，由，可求出的值，结合，可以求出的值，利用等差数列的通项公式，可得，再利用，可以求出的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，‎ 而.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.‎ ‎16．已知均为正数，则的最大值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（当且仅当 且时取等号）,‎ ‎（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量与向量的夹角为，且，.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；‎ ‎（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得， ‎ 那么； ‎ 解得或（舍去）‎ ‎∴； ‎ ‎（2）由得， ‎ 那么 因此 ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.‎ ‎18．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）12.‎ ‎【解析】（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；‎ ‎（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知：，解得． ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴，‎ 而时，‎ 当且仅当，即时取等号 而，∴的最小值为12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎19．已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得 ‎，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;‎ ‎（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由知 所以，即，从而 ‎ 所以，数列是以2为公比的等比数列 又可得， ‎ 综上所述，故. ‎ ‎（2）由（1）可知，故， ‎ 综上所述，所以，故而 ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通项公式，考查了用裂项相消法求数列前项和问题，考查了数学运算能力.‎ ‎20．已知函数在上的最大值为3.‎ ‎（1）求的值及函数的单调递增区间;‎ ‎（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,函数的单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;‎ ‎（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ 由已知，所以 ‎ 因此 令 得 因此函数的单调递增区间为 ‎ ‎（2）由已知，∴‎ 由得，因此 所以 ‎ 因为为锐角三角形，所以，解得 因此，那么 ‎【点睛】‎ 本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.‎ ‎21．设数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解。‎ ‎（2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由n＝1得，‎ 因为，‎ 当n≥2时，，‎ 由两式作商得：（n＞1且n∈N），‎ 又因为符合上式，‎ 所以（n∈N）．‎ ‎（2）设，‎ 则bn＝n＋n·2n，‎ 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋‎ 设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①‎ 所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②‎ ‎①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，‎ 所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．‎ 所以，‎ 即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎22．在中，角所对的边分别为.‎ ‎（1）若为边的中点，求证: ;‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）1.‎ ‎【解析】（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式；‎ 证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；‎ ‎（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）‎ 所证结论得：，利用已知 ‎，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；‎ 解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得 ‎，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证法一：由题意得 ‎ ① ‎ 由余弦定理得 ②‎ 将②代入①式并化简得，‎ 故； ‎ 证法二：在中，由余弦定理得，‎ 在中，由余弦定理得， ‎ ‎∵，∴，‎ 则，故； ‎ ‎（2）解法一：记面积为．由题意并结合（1）‎ 所证结论得：， ‎ 又已知，‎ 则， ‎ 即，当时，等号成立，故，‎ 即面积的最大值为1． ‎ 解法二：‎ ‎ ‎ 设 则 ‎ 由，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了数学运算能力.‎