专题21 分类与整合思想、化归与转化思想（命题猜想）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题
【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.
【命题热点突破一】分类与整合思想
1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.
常见的分类讨论问题有：
(1)集合：注意集合中空集∅讨论.
(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a＞1和0＜a＜1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.
(3)数列：由Sn求an分n＝1和n＞1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论.
(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.
(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.
(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.
(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.
例1、(1) 设x∈R，x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得t]＝1，t2]＝2，…，tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0(0
E(3X2)，则>6P0，即00，f(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
②若m≤0，由(1)知，函数f(x)在(0，2)上单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在极值点．
当m>0时，设函数g(x)＝mx－ex，
则g′(x)＝m－ex.
(i)当00，f(x)单调递增，
故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．
【命题热点突破二】化归与转化思想
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.
(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.
例2、(1)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.
其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．
(2)P，Q为△ABC内不同的两点．若3＋2＋＝0，3＋4＋5＝0，则S△PAB∶S△QAB＝________．
【答案】(1)①④ (2)2∶5
(2)如图所示，以A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系．
设△ABC的面积为S，P(x1，y1)，B(m，0)，C(a，b)，则3(x1，y1)＋2(x1－m，y1)＋(x1－a，y1－b)＝(0，0)，解得y1＝，即△PAB的高为△CAB的高的，故△PAB的面积为S.
设Q(x2，y2)，则3(x2，y2)＋4(x2－m，y2)＋5(x2－a，y2－b)＝(0，0)，解得y2＝b，即△QAB的高为△CAB的高的，故△QAB的面积为S.
所以S△PAB∶S△QAB＝∶＝2∶5.
【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．
【变式探究】
(1)已知x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围为( )
A．a≥1 B．a≤－1
C．－1≤a≤1 D．a≥1或a≤－1
(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．9
B．10
C．11
D.
【答案】(1)C (2)C
【高考真题解读】
1．2015·安徽卷] 已知数列{an}是递增的等比数列．a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
【答案】2n－1
【解析】设数列{an}的公比为q，由a2a3＝a1a4＝8，a1＋a4＝9知a1，a4是一元二次方程x2－9x＋8＝0的两根，解此方程得x＝1或x＝8.又数列{an}递增，因此a1＝1，a4＝a1q3＝8，解得q＝2，故数列{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.
2．2015·福建卷] 函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1，2]
3．2015·山东卷] 若“∀x∈0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【答案】1
【解析】∵y＝tan x在区间上单调递增，∴y＝tan x的最大值为tan＝1.
又∵“∀x∈，tan x≤m”是真命题，∴m≥1.
4．2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000
大的偶数共有________个．
【答案】120
【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A个，故共有5×A＝120(个)．
5．2014·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
【答案】．－
【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c.
又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，
∴cos A＝＝＝－.
6．2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.若对任意b>a>0，<1恒成立，则m的取值范围是________．
【答案】，＋∞)
7．2015·湖北卷改编] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|
≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为________．
【答案】45
【解析】方法一：若x1＋x2＝－3，则只能x1＝－1，y1＝0，此时y1＋y2＝－2，－1，0，1，2，(x1＋x2，y1＋y2)有5种情况，根据对称性知，当x1＋x2＝3时，(x1＋x2，y1＋y2)也有5种情况；
若x1＋x2＝－2，此时x1＝－1，0均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，当x1＋x2＝2时，(x1＋x2，y1＋y2)也有7种情况；
若x1＋x2＝－1，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，x1＋x2＝1时，(x1＋x2，y1＋y2)也有7种情况；
若x1＋x2＝0，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况．
综上可知，共有2×5＋2×7＋2×7＋7＝45(种)情况，即A⊕B中元素的个数为45.
