数学卷·2018届安徽省马鞍山二中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届安徽省马鞍山二中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“若q则p”的否命题是（　　）‎ A．若q则￢p B．若￢q则p C．若￢q则￢p D．若￢p则￢q ‎2．命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是（　　）‎ A．对任意的x∈R，log2x＜0 B．对任意的x∈R，log2x≥0‎ C．不存在x∈R，log2x≥0 D．存在x0∈R，log2x0≥0‎ ‎3．方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为（　　）‎ A．一椭圆和一双曲线的离心率 B．两抛物线的离心率 C．一椭圆和一抛物线的离心率 D．两椭圆的离心率 ‎4．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．﹣4‎ ‎5．“直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．下列说法中正确的是（　　）‎ A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“|a|＞|b|”与“a2＞b2”不等价．‎ C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”．‎ D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．‎ ‎7．若圆x2+（y﹣1）2=3截直线y=kx﹣1所得的弦长为2，则斜率k的值是（　　）‎ A． B． C．±1 D．±2‎ ‎8．设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是（　　）‎ A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎10．下列说法中正确的个数是（　　）‎ ‎（1）“m为实数”是“m为有理数”的充分不必要条件；‎ ‎（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；‎ ‎（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；‎ ‎（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件；‎ ‎（5）“α=kπ+π，k∈Z”是“sin2α=”的充要条件．‎ A．0 B．2 C．1 D．3‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎11．已知椭圆的两焦点为F1，F2，点P是椭圆内部的一点，则|PF1|+|PF2|的取值范围为　　．‎ ‎12．若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是　　．‎ ‎13．过点（1，0）作倾斜角为的直线与y2=4x交于A、B，则AB的弦长为　　．‎ ‎14．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 　　．‎ ‎15．平面上两点F1，F2满足|F1F2|=4，设d为实数，令Γ表示平面上满足||PF1|+|PF2||=d的所有P点组成的图形，又令C为平面上以F1为圆心、1为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有　　（写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①当d=4时，Γ为直线；‎ ‎②当d=5时，Γ为椭圆；‎ ‎③当d=6时，Γ与圆C交于三点；‎ ‎④当d＞6时，Γ与圆C交于两点；‎ ‎⑤当d＜4时，Γ不存在．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2‎ ‎（Ⅰ）求实数a，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．‎ ‎18．已知命题p：“方程x2+y2﹣x+y+m=0对应的曲线是圆”，命题q：“双曲线mx2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为60°”．若这两个命题中只有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求实数a的值，使得以AB为直径的圆过F点．‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．‎ ‎（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎21．已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；‎ ‎（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“若q则p”的否命题是（　　）‎ A．若q则￢p B．若￢q则p C．若￢q则￢p D．若￢p则￢q ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据否命题的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可得到命题的否命题．‎ ‎∴命题“若q则p”的否命题是的否命题是：若￢q则￢p．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是（　　）‎ A．对任意的x∈R，log2x＜0 B．对任意的x∈R，log2x≥0‎ C．不存在x∈R，log2x≥0 D．存在x0∈R，log2x0≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．‎ ‎【解答】解：命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是 ‎“对任意x∈R，log2x≥0”．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．方程2x2﹣5x+2=0的两个根可分别作为（　　）‎ A．一椭圆和一双曲线的离心率 B．两抛物线的离心率 C．一椭圆和一抛物线的离心率 D．两椭圆的离心率 ‎【考点】椭圆的定义；双曲线的定义．‎ ‎【分析】解方程2x2﹣5x+2=0可得，其两根为2与，由圆锥曲线离心率的范围，分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：解方程2x2﹣5x+2=0可得，其两根为2与，‎ 而椭圆的离心率为大于0小于1的常数，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1，‎ 分析选项可得，A符合；‎ 故选A ‎　‎ ‎4．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：由y=ax2，变形得：x2=y=2×y，‎ ‎∴p=，又抛物线的准线方程是y=1，‎ ‎∴﹣=1，解得a=﹣．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．“直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直，借助于系数间的关系求得m的值，再把代入两直线方程判断是否垂直得答案．‎ ‎【解答】解：若直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直，‎ 则（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，解得：m=﹣2，m=．‎ 由，则直线（m+2）x+3my+1=0化为5x+3y+2=0，斜率为．‎ 直线（m﹣2）x+（m+2）y=0化为﹣3x+5y=0，斜率为．‎ 由，得直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直．‎ ‎∴“直线（m+2）x+3my+1=0与（m﹣2）x+（m+2）y=0互相垂直”是“”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法中正确的是（　　）‎ A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“|a|＞|b|”与“a2＞b2”不等价．‎ C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”．‎ D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用四种命题的真假关系判断A的正误；不等式的等价性判断B的正误；逆否命题的形式判断C的正误；利用四种命题的真假关系判断D的正误．‎ ‎【解答】解：对于A：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但是逆否命题不能判断真假；所以A不正确；‎ 对于B：“|a|＞|b|”与“a2＞b2”是等价不等式，所以B不正确；‎ 对于C：“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，不是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”，所以C不正确；‎ 对于D：一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，满足四种命题的真假关系，正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若圆x2+（y﹣1）2=3截直线y=kx﹣1所得的弦长为2，则斜率k的值是（　　）‎ A． B． C．±1 D．±2‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线y=kx﹣1的距离d，根据弦长公式列出方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：由题意得，圆心坐标是（0，1），半径r=，‎ ‎∵圆x2+（y﹣1）2=3截直线y=kx﹣1所得的弦长为2，‎ ‎∴圆心到直线y=kx﹣1的距离d==，‎ 解得k=±1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先求出导函数，再代值算出a．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，‎ ‎∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是（　　）‎ A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设两根旗杆AA1、BB1分别在地面A、B两处，不妨设AA1=15m，BB1=10m，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，设满足条件的点为P，则直角△PAA1∽直角△PBB1，因此，建立平面直角坐标系，求出方程，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设两根旗杆AA1、BB1分别在地面A、B两处，不妨设AA1=15m，BB1=10m，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，‎ 设满足条件的点为P，则直角△PAA1∽直角△PBB1，因此；‎ 在地面上以AB所在直线为x轴，以AB的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，设P（x，y），A（10，0），B（﹣10，0），则： =‎ 化简整理得：（x+26）2+y2=576‎ 因此在A、B所在直线上距离B点16米A点36处的点为圆心，以24为半径画圆，则圆上的点到两旗杆顶点的仰角相等，‎ 即：地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是在A、B所在直线上距离B点16米（距离A点36处）的点为圆心，以24为半径的圆 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．下列说法中正确的个数是（　　）‎ ‎（1）“m为实数”是“m为有理数”的充分不必要条件；‎ ‎（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；‎ ‎（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；‎ ‎（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件；‎ ‎（5）“α=kπ+π，k∈Z”是“sin2α=”的充要条件．‎ A．0 B．2 C．1 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用充要条件判断5个命题的真假即可．‎ ‎【解答】解：（1）“m为实数”是“m为有理数”的必要不充分条件；所以原判断是不正确的；‎ ‎（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；反例：a=0，b=﹣1，a＞b推不出a2＞b2，所以命题不正确；‎ ‎（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的充分不必要条件；所以原判断不正确；‎ ‎（4）“A∩B=B”是“A=∅”的既不充分也不必要条件；所以原判断不正确；‎ ‎（5）“α=kπ+π，k∈Z”是“sin2α=”的充分不必要条件．所以原判断不正确；‎ 正确判断个数是0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎11．已知椭圆的两焦点为F1，F2，点P是椭圆内部的一点，则|PF1|+|PF2|的取值范围为　[2，4）　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当点P在线段F1F2上时，|PF1|+|PF2|取最小值，当点P在椭圆上时，|PF1|+|PF2|取最大值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的两焦点为F1，F2，‎ 点P是椭圆内部的一点，‎ ‎∴当点P在线段F1F2上时，‎ ‎[|PF1|+|PF2|]min=|F1F2|=2=2，‎ 当点P在椭圆上时，‎ ‎[|PF1|+|PF2|]max=2=4．‎ ‎∵点P是椭圆内部的一点，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的取值范围是[2，4）．‎ 故答案为：[2，4）‎ ‎　‎ ‎12．若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是　[1，2）　．‎ ‎【考点】元素与集合关系的判断；四种命题的真假关系．‎ ‎【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．‎ ‎【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题 则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题 所以的取值范围是[1，2），‎ 故答案为[1，2）．‎ ‎　‎ ‎13．过点（1，0）作倾斜角为的直线与y2=4x交于A、B，则AB的弦长为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出过点（1，0）作倾斜角为的直线方程，与y2=4x联立方程组，求出A点和B点的坐标，由此能求出AB的弦长．‎ ‎【解答】解：过点（1，0）作倾斜角为的直线方程为：‎ y=tan（x﹣1）=﹣，‎ 联立方程组，‎ 得3x2﹣10x+3=0，‎ 解得，或，‎ ‎∴|AB|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为 　6　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，‎ f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，‎ 令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，‎ 故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，‎ ‎∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．‎ 故答案为6‎ ‎　‎ ‎15．平面上两点F1，F2满足|F1F2|=4，设d为实数，令Γ表示平面上满足||PF1|+|PF2||=d的所有P点组成的图形，又令C为平面上以F1为圆心、1为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有　②③⑤　（写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①当d=4时，Γ为直线；‎ ‎②当d=5时，Γ为椭圆；‎ ‎③当d=6时，Γ与圆C交于三点；‎ ‎④当d＞6时，Γ与圆C交于两点；‎ ‎⑤当d＜4时，Γ不存在．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段；‎ ‎②，|由PF1|+|PF2|=5＞|F1F2|=4，得动点P的轨迹是椭圆．‎ ‎③，由|PF1|+|PF2|=6＞|F1F2|=4，得动点P的轨迹是椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）．Γ与圆C交于三点；‎ ‎④，当d＞6时，Γ与圆C可能没交点，‎ ‎⑤，d＜4时，即|PF1|+|PF2|＜|F1F2|，Γ不存在．‎ ‎【解答】解：对于①，动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段，故错；‎ 对于②，∵|F1F2|=4，又平面上一动点P满足|PF1|+|PF2|=5，∴|PF1|+|PF2|=5＞|F1F2|=4，‎ ‎∴动点P的轨迹是椭圆，故正确．‎ 对于③，∴|PF1|+|PF2|=6＞|F1F2|=4，∴动点P的轨迹是椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ Γ与圆C交于三点，故正确；‎ 对于④，当d＞6时，Γ与圆C可能没交点，故错；‎ 对于⑤，d＜4时，即|PF1|+|PF2|＜4，∴|PF1|+|PF2|＜|F1F2|，Γ不存在，正确；‎ 故答案为：②③⑤‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，‎ ‎∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），‎ ‎∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，‎ 即1﹣m≤x≤1+m，‎ 若￢p是￢q的必要非充分条件，‎ 即q是p的必要非充分条件，‎ 即，即，‎ 解得m≥9．‎ ‎　‎ ‎17．已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x﹣2‎ ‎（Ⅰ）求实数a，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），求出c，求出导函数，求出斜率，求出切点，然后求解即可．‎ ‎（Ⅱ）求出函数的导数，通过导函数的符号求解不等式得到函数的单调增区间即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），‎ 则c=1，f′（x）=4ax3+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，‎ 切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，﹣1）‎ 得，c=1．…‎ ‎（Ⅱ），‎ 单调递增区间为和…‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：“方程x2+y2﹣x+y+m=0对应的曲线是圆”，命题q：“双曲线mx2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为60°”．若这两个命题中只有一个是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎【解答】∵命题p：“方程x2+y2﹣x+y+m=0对应的曲线是圆 ‎∴若p真，由△=（﹣1）2+12﹣4m＞0得：．‎ 又∵命题q：“双曲线mx2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为60°‎ ‎∴若q真，由于渐近线方程为，‎ 由题，或，得：m=3或．‎ ‎∵若这两个命题中只有一个是真命题 ‎∴p真q假时，；‎ ‎ p假q真时，m=3．‎ 综上所述，所以实数m的取值范围，‎ ‎　‎ ‎19．已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求实数a的值，使得以AB为直径的圆过F点．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0及a≠0，即可求得实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）由以AB为直径的圆过F，则•=0，即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将直线方程代入双曲线方程，，‎ 整理得：a2x2﹣（4﹣2a）+1=0．‎ 由题意可知，△＞0，即（4﹣2a）2﹣4×a2＞0，解得：a＜1，‎ 由当a=0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，‎ 实数a的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）可知：x1+x2=，x1•x2=，‎ 由于以AB为直径的圆过原点，故∠AFB=90°，于是：‎ ‎∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+（ax1+1）（ax2+1），‎ ‎=（a2+1）x1•x2+（a﹣1）（x1+x2）+2，‎ ‎=（a2+1）+（a﹣1）+2=0，‎ 解得：a=﹣3±2，‎ 由a∈（﹣∞，0）∪（0，1）‎ 所以实数a的值为﹣3﹣2或﹣3+2．…‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．‎ ‎（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；‎ ‎（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．‎ ‎【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b 由解得，‎ f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞，﹣）‎ ‎﹣‎ ‎（﹣，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．‎ ‎（2），‎ 当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．‎ 要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2．‎ ‎　‎ ‎21．已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；‎ ‎（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；‎ ‎（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．‎ ‎【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）‎ ‎∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1‎ 设A（1，t），得，解之得t=（舍负）‎ ‎∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）‎ 因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|BO|=；‎ ‎（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，‎ 设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2‎ 与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1‎ 设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足 x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，‎ ‎①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；‎ ‎②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，‎ 可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．‎