【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量的分布列及均值方差学案

【数学】2020届一轮复习人教B版离散型随机变量的分布列及均值方差学案

‎§11.2　离散型随机变量的分布列及均值、方差 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.‎ ‎2.了解两点分布.‎ ‎3.了解离散型随机变量均值、方差的概念.‎ 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，考查离散型随机变量分布列的求法以及随机变量的均值、方差.在高考中多以选择、填空题的形式进行考查，近年有考查解答题的趋势，难度多为中低档.‎ ‎1.离散型随机变量的分布列 ‎(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.‎ ‎(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：‎ ‎①pi≥0，i＝1，2，…，n；‎ ‎②i＝1.‎ 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.‎ ‎2.两点分布 如果随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 其中01)个红球和2个黄球，从中任取2个球(取到每个球是等可能的)，随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b 则随机变量X的均值为________，方差为________.‎ 答案　1　 解析　由已知得＝，且n>1，解得n＝2，所以＝b，即b＝，由a＋＋＝1，得a＝，则随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，方差D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.‎ ‎10.(2018·浙江省联盟校联考)已知随机变量X满足分布列：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P x a 若随机变量X的均值E(X)＝，则a－x＝__________，D(X)＝________.‎ 答案　－　 解析　由题意可得， 解得所以a－x＝－＝－，‎ D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.‎ ‎11.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出).若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.‎ ‎(1)求盒子中蜜蜂有几只；‎ ‎(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与均值E(X).‎ 解　(1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，‎ 则由题意，得P(A)＝＝，‎ 所以(11－x)(10－x)＝42，‎ 解得x＝4或x＝17(舍去)，‎ 故盒子中蜜蜂有4只.‎ ‎(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值为0，1，2，3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎12.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”.‎ ‎(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；‎ ‎(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值.‎ 解　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，‎ 则事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ 依题意≥，‎ 化简得n2－25n＋144≤0，‎ ‎∴9≤n≤16，故n的最大值为16.‎ ‎(2)由题意，ξ的可能取值为0，1，2，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎13.(2018·浙江名校协作体联考)一个口袋中装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________.若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为________.‎ 答案　　6‎ 解析　根据题意，红、黄、绿球分别记为A1，A2，B1，B2，C1，C2，则任取3个小球共有C＝20种，而其中恰有2个小球同颜色的有3CC＝12，故所求概率为P＝＝.由题意得，变量ξ的取值为4，5，6，7，8，‎ P(ξ＝4)＝＝，‎ P(ξ＝5)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝，‎ P(ξ＝7)＝＝，‎ P(ξ＝8)＝＝，‎ 因此E(ξ)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.‎ ‎14.(2018·浙江名校联盟联考)某高校在新学期开学之际为大一贫困新生提供A，B，C三个等级的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个等级的助学金，且申请任何一个等级是等可能的，每位申请人所申请的等级互不影响.则在该校任意4位申请人中，被申请的助学金的等级个数X的均值为________.‎ 答案　 解析　随机变量X的所有可能取值为1，2，3.‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以随机变量X的均值 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎15.已知随机变量ξi(i＝1，2)满足P(ξi＝0)＝，p(ξi＝1)＝，P(ξi＝2)＝，若D(2ξ2－1)‎ C.E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)‎ 答案　D 解析　由均值与方差的性质可知E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，‎ 则E(2ξi－1)＝2E(ξi)－1，D(2ξi－1)＝4D(ξi).‎ 由题意知E(ξi)＝0×＋1×＋2×＝－pi，‎ D(ξi)＝2×＋2×＋2× ‎＝2×＋2×＋2× ‎＝－p＋pi＋＝－2＋，‎ 所以E(ξi)＝－pi在pi∈上单调递减，D(ξi)＝－2＋在pi∈上单调递减，又E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，所以E(2ξ1－1)>E(2ξ2－1)，D(2ξ1－1)>D(2ξ2－1)，故选D.‎ ‎16.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，求随机变量ξ的均值.‎ 解　ξ的可能取值为0，，1，2，则 P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋×＋1×＋2×＝.‎