【推荐】专题20 圆锥曲线中的最值、范围、定点与定值率-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练

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2018 届【B 来 B 源：全 B 品 B 高 B 考 B 网 B】高三一轮特色专题训练 一、选择题 1. 点 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在双曲线上,则 的内切圆 半径 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 2.已知抛物线 ： 和动直线 ： （ , 是参变量,且 , ）相交于 , 两点,直角坐标系原点为 ,记直线 , 的斜率分别为 , ,若 恒成立,则当 变化时直线 恒经过的定 1 2F F、 2 2 13 yx − = P 1 2PF F∆ r ( )0, 3 ( )0,2 ( )0, 2 ( )0,1 C 2 2 ( 0)y px p= > l y kx b= + k b 0k ≠ 0b ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y O OA OB OAk OBk 3OA OBk k⋅ = k l 点为 A. B. C. D. 【答案】D 【 解 析 】 由 可 得 , 则 , , 所 以 , 又 即 , 所 以 代 入 整 理 可 得 , 直 线 方 程 可 化 为 ,故选 D. 3. 设 是椭圆 长轴的两个端点,若 上存在点 满足 ,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A ( )3 ,0p− ( )2 3 ,0p− 3 ,03 p −    2 3 ,03 p  −    2 2{ y px y kx b = = + ( )2 2 22 0k x p kb x b− − + = 1 2 2 2 2p bkx x k −+ = 2 1 2 2 bx x k = ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2pby y kx b kx b k x x bk x x b k = + + = + + + = 3OA OBk k⋅ = 1 2 1 23 0y y x x− = 2 3 pb k= 2 3 3y k x p  = +    ,A B 2 2 : 14 x yC k + = C P 120APB∠ =  k [ )40 12 +3   ∞   ， ， [ )20 +3   ∞   ， 6， [ )20 12 +3   ∞   ， ， [ )40 +3   ∞   ， 6， 4 ．抛物线 的焦点为 , 准线为 , 是抛物线上的两个动点, 且满足 ．设线段 的中点 在 上的投影为 ,则 的最大值是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过 作 , 为垂足；过 作 , 为垂足；由抛物线的定义知： , ,因为 是 的中点,所以 是梯形 的中位线, 所以 由 余 弦 定 理 ： = 所以, 2 2 ( 0)y px p= > F l ,A B 3 2π=∠AFB AB M l N | | | | MN AB 3 2 3 3 3 4 3 A AG l⊥ G B BE l⊥ E ,GA AF BE BF= = / / / /MN AG BE M AB MN ABEG ( ) ( )1 1| | | | | | | | | |2 2MN AG BE AF BF= + = + 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cos 3AB AF BF AF BF π= + − ⋅  2 2AF BF AF BF+ + ⋅  ( )2 2 2 2 1 | | 4 | | AF BFMN AB AF BF AF BF +  =  + +  2 2 1 14 AF BF AF BF AF BF  ⋅=  +  + +  ,当且仅当 时等号成立．所以, ,故选 C． 5．已知直线 和直线 ,抛物线 上一动点 到直线 和直 线 的距离之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】抛物线 的焦点坐标为 F（1,0）,准线方程是 ,根据抛物线定义,抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和可以看成抛物线 上一动点 到 焦 点 和 直 线 的 距 离 之 和 , 其 最 小 值 为 焦 点 F 到 直 线 的 距 离 , .故选 A. 6．设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°,则 m 的取值范围是 1 1 1 1 11 14 4 2 1 31AF BF BF AF       = + ≤ + =   + + +    =AF BF | | 3 | | 3 MN AB ≤ 1 : 4 3 6 0l x y− + = 2 : 1l x = − 2 4y x= P 1l 2l 11 5 37 16 2 4y x= 1x = − 2 4y x= P 1l 2l 2 4y x= P 2l 1 : 4 3 6 0l x y− + = ( )22 4 1 6 2 4 3 d × += + − 2 2 13 x y m + = A. B. C. D. 【答案】A 7. 抛 物 线 的 焦 点 为 , 设 , 是 抛 物 线 上 的 两 个 动 点 , ,则 的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由抛物线定义得 所以由 得 ,因此 ,所以 ,选 D. 8. 设 P 是椭圆 上一点,M,N 分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点, 则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为 ] [( )0,1 9,∪ +∞ ] [( )0, 3 9,∪ +∞ ] [( )0,1 4,∪ +∞ ] [( )0, 3 4,∪ +∞ 2 8y x= F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 34 3x x AB+ + = AFB∠ 3 π 3 4 π 5 6 π 2 3 π 1 22, 2,AF x BF x= + = + 1 2 2 34 3x x AB+ + = 2 3 3AF BF AB+ = 2 2 2 2 2 1 1 3| || | | | 4 4 2cos 2 2 AF BF AF BFAF BF AB AFB AF BF AF BF + − ⋅+ − ∠ = =⋅ ⋅ 1 32 14 2 2 2 AF BF AF BF AF BF × ⋅ − ⋅ ≥ = −⋅ 2π0 3AFB< ∠ ≤ 2 2 125 9 x y+ = A. 9,12 B. 8,11 C. 8,12 D. 10,12 【答案】C 二、填空题 9. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆上任一点,点 的坐标为 , 则 的最大值为________． 【答案】15 【解析】∵椭圆 中,a=5,b=4∴ ,得焦点为 ． 根据椭圆的定义,得 ,当且仅当 P 在 的延长线上时等号成立,此时 的最大 值为 10+5=15． 10. 已知抛物线 的焦点为 的顶点都在抛物线上,且 是 的重心,则 ______________． 【答案】0 【 解 析 】 不 妨 设 , 由 得 2F 2 2 125 16 x y+ = P M (6,4) 1PM PF+ 2 2 125 16 x y+ = 3c = ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− ( ) ( )1 2 22 10PM PF PM a PF PM PF+ = + − = + − 2 2PM PF MF− ≤ 2MF 1PM PF+ ,F ABC∆ F ABC∆ 1 1 1 AB AC BCK K K + + = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y 2 1 1 2 2 2 4{ , 4 y x y x = = 1F 2 4y x= , 同理 又 F 为重心所 以 ,所以 , 0. 11. 已知圆 ,抛物线 ,设直线 与抛物线 相交于 、 两点,与圆 相切于线段 的中点,如果这样的直线 恰有 4 条,则 的取值范围是 ____________． 【答案】 【 解 析 】 设 直 线 方 程 , 与 抛 物 线 方 程 联 立 得 中点 当 时,显然有两条直线满足题意,因此 时,还有两条直线满足题意,即 12. 已知 、 分别为双曲线 （ , ）的左、右焦点,点 为双 曲线右支上一点, 为 的内心,满足 ,若该双曲线的 离心率为3,则 __________（注： 、 、 分别为 、 、 的面积）． 【答案】 1 2 1 2 1 2 4 AB y y kx x y y − = =− + 1 2 1 4 AB y y k + = 1 3 2 31 1, ,4 4AC BC y y y y k k + += = 1 2 3 0y y y+ + = 1 2 3 0y y y+ + = 1 1 1 AB AC BCK K K + + = 2 2 4C y x=： l 2C A B 1C AB l r ( )2,4 x ty m= + ( )2 24 4 0 16 0y ty m t m− − = ∴∆ = + > ( )2 2 22 ,2 , 1 3 2 3 0MC lM t m t k k m t t+ = − ∴ = − ∴ − > 0t = 0t ≠ ( )2 2 5 2 1 2,4 1 mr t t −= = + ∈ + 2F 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > P M 1 2PF F∆ 1 2 1 2MPF MPF MF FS S Sλ∆ ∆ ∆= + λ = 1MPFS∆ 2MPFS∆ 1 2MF FS∆ 1MPF∆ 2MPF∆ 1 2MF F∆ 1 3 ( ) ( )2 2 2 1 : 5 0C x y r r− + = ＞ 1F 三、解答题 13. 已知椭圆方程 为： , 椭圆的右焦点为 ,离心率为 , 直线 ： 与椭圆 相交于 、 两点,且 （1）椭圆的方程及求 的面积；【来.源：全,品…中&高*考*网】 （2）在椭圆上是否存在一点 ,使 为平行四边形,若存在,求出 的取值范围,若不 存在说明理由. 消去 化简得, , , 得 , . C 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > ( )1,0 1 2e = l y kx m= + C A B 3 4OA OBk k⋅ = − AOB∆ P OAPB OP y ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 3 4 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + 0> 2 24 3 0k m− + > ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8 3 12 3 4 3 4 3 4 m km m kk km mk k k − − = + − + = + + +  , ,即 即 , = . O 到直线 的距离 , . （2）若存在平行四边形 OAPB 使 在椭圆上,则 ,设 , 则 , ,由于 在椭圆上,所以 ,从 而化简得 化简得 ①, 由 ,知 ② 联立方程①②知 ,故不存在 在椭圆上的平行四边形. 14．已知椭圆 经过 ,离心率为 .【来.源：全,品…中&高*考*网】 3 4OA OBK K⋅ = − 1 2 1 2 3 4 y y x x −= 1 2 1 2 3 4y y x x −= 2 2 2 2 2 3 12 3 4 12 3 4 4 3 4 m k m k k − − −∴ =+ + 2 22 4 3m k− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 2 1 2 22 48 4 3 AB 1 4 1 3 4 k m k x x x x k k − + = + + − = +  +  ( ) ( ) ( )2 22 2 22 48 1 24 13 4 2 3 43 4 k kk kk + ++ = ++  y kx m= + 2 d 1 m k = + ( ) ( )2 22 2 2 22 24 1 24 11 1 1 2 2 3 4 2 1 3 41AOB k km mS d AB k k kk + + ∴ = = =+ + ++  2 2 1 3 4 24 32 2 3 4 k k += =+ P OP OA OB= +   ( )0 0P x y， 0 1 2 2 8 3 4 kmx x x k = + = − + 0 1 2 2 6 3 4 my y y k = + = + P 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 16 12 1 3 4 3 4 k m m k k + = + + 2 24 3 4m k= + 3 4OA OBK K⋅ = − 2 22 4 3m k− = 0m = P 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 31, 2      1 2 （1）求椭圆 的方程； （2）设点 分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点 作直线交椭圆于 两点,求四边 形 面积的最大值（ 为坐标原点）. （ 2 ） 设 直 线 的 方 程 为 , 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ： . ,其中 . ,其中 . 时, 单调递增, （当 时取等号）. 15．已知动圆 经过点 ,并且与圆 相切. E A F、 F ,C D OCAD O CD 1x ky= + 2 2 14 3 x y+ = ( )2 23 4 6 9 0k y ky+ + − = 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 ky y y yk k ∴ + = − =+ + 1 2 1 2 1 12 22 2OCA ODAOCADS S S y y y y∆ ∆∴ = + = × × + × × = −四边形 ( ) 2 2 1 2 1 2 2 12 14 3 4 ky y y y k += + − = + 2 12 3 1 t t = + 2 1, 1t k t= + ≥ 12 13t t = + 2 1, 1t k t= + ≥ 1t ≥ 13t t ∴ + 13 4 3OCADt St + ≥ ∴ ≤四边形 0k = P ( )1,0N ( )2 2: 1 16M x y+ + = （1）求点 的轨迹 的方程； （2）设 为轨迹 内的一个动点,过点 且斜率为 的直线 交轨迹 于 两点, 当 为何值时？ 是与 无关的定值,并求出该值定值. . . 的值与 无关, , 解得 .此时 . P C ( ),0G m C G k l C A B、 k 2 2| |GA GBω = + m 2 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,4 3 4 3 mk k mx x x xk k −+ = ⋅ =+ + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 62 4 3 mky y k x m k x m k x x km k ∴ + = − + − = + − = + ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 4 3 k m y y k x m x m k x x k m x x k m k − ⋅ = − − = − + + = + ( ) ( )2 22 2 2 2 1 1 2 2| |GA GB x m y x m y∴ + = − + + − + ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2x x x x m x x m y y y y= + − − + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 6 4 3 24 3 1 4 3 m k k k k − − + + = + + 2 2| |GA GBω = + m 24 3 0k∴ − = 3 2k = ± 2 2| | 7GA GBω = + = （方法 ：①当 时,…；②当 时,设直线 ,…；可以减少计算量.） 16．已知椭圆 的焦距为 ,且过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）若不经过点 的直线 与 交于 两点,且直线 与直线 的斜率 之和为 ,证明：直线 的斜率为定值. （2）设点 ,则 ,由 消去 得 , （ * ） 则 , 因 为 , 即 , 化 简 得 . 即 . （ ** ） 代 入 得 ,整理得 ,所以 或 .若 ,可得方程（*）的一个根为 ,不合题意,所以直线 的斜率为 定值,该值为 . 17．已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点. （1）求椭圆 C 的标准方程. 2 2 0k = 0k ≠ :l x k y m′= + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 6 ( )2,1A C A :l y kx m= + C ,P Q AP AQ 0 PQ ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 1 2 2,y kx m y kx m= + = + 2 2 , { 1,8 2 y kx m x y = + + = y ( )2 2 24 1 8 4 8 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 8 4 8,4 1 4 1 km mx x x xk k −+ = − =+ + 0PA PQk k+ = 1 2 1 2 1 1 2 2 y y x x − −= −− − ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 22 4 0x y x y x x y y+ − + − + + = ( )( )1 2 1 22 1 2 4 4 0kx x m k x x m+ − − + − + = ( ) ( )2 2 2 2 4 8 8 1 2 4 4 04 1 4 1 k m km m k mk k − − −− − + =+ + ( )( )2 1 2 1 0k m k− + − = 1 2k = 1 2m k= − 1 2m k= − 2 PQ 1 2 x 1 2 2 8 3x y= （2）已知点 在椭圆 C 上,点 A、B 是椭圆 C 上不同于 P、Q 的两个动 点,且满足： .试问：直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由. （2）直线 x=﹣2 与椭圆 交点 P（﹣2,3）,Q（﹣2,﹣3）或 P（﹣2,﹣3）,Q （﹣2,3）,∴|PQ|=6,设 A （x1,y1 ）,B（ x2,y2）, 当∠APQ=∠BPQ 时直线 PA,PB 斜率之和为 0． 设 PA 斜率为 k,则 PB 斜率为﹣k． 当 P（﹣2,3）,Q（﹣2,﹣3）时, PA 的直线方程为 y﹣3=k（x+2） 与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0 ∴ = ; ( ) ( )2, , 2, ( 0)P t Q t t− > APQ BPQ∠ = ∠ 2 2 116 12 x y+ = ( )1 2x + − 2 2 16 24 3 4 k k k − − + 同理 ∴ , y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]= 直线 AB 斜率为 18．已知椭圆 ： （ ）经过点 ,且两焦点与短轴的一个端 点的连线构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线 ： （ , ）交椭圆 于 、 两点,试问：在坐标 平面上是否存在一个定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 .若存在,求出点 的坐标；若不 存在,请说明理由. （2）首先求出动直线过 点. ( ) 2 2 2 16 242 3 4 k kx k − ++ − = + 2 1 2 2 12 16 3 4 kx x k −+ = + 1 2 2 48 3 4 kx x k −− = + 2 24 3 4 k k − + 1 2 1 2 1 2 y y x x − =− C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 21, 2P       l 1 03mx ny n+ + = m n R∈ C A B T AB T T 10, 3  −   当 与 轴平行时,以 为直径的圆的方程： 当 与 轴平行时,以 为直径的圆的方程： 由 解得 即两圆相切于点 ,因此,所求的点 如果存在,只能是 ,事实上,点 就是所求 的点. 证明如下： 当直线 垂直于 轴时,以 为直径的圆过点 L x AB 2 2 2 1 4 3 3x y   + + =       L y AB 2 2 1x y+ = 2 2 2 2 2 1 4 { 3 3 1 x y x y    + + =       + = 0{ 1 x y = = ( )0,1 T ( )0,1 ( )0,1T L x AB ( )0,1T 所以在坐标平面上存在一个定点 满足条件. 19．已知曲线 上的点到二定点 、 的距离之和为定值 , 以 为圆心半径为 4 的圆 与 有两交点,其中一交点为 , 在 y 轴正半轴上,圆 与 x 轴从左至右交于 二点, ． (1)求曲线 、 的方程； (2)曲线 ,直线 与 交于点 ,过 点的直线 与曲线 交于 二点, 过 做 的切线 , 交于 ．当 在 x 轴上方时,是否存在点 ,满足 ,并说明理由． ( )0,1T 1L ( )1 0F c− ， ( )2 0F c， ( 0)c > 1 28 F F> 2F 2L 1L B B 2L M N， 030BNM∠ = 1L 2L 2 3 : 2L x y= 2x = 1L P P l 3L 1 2K K、 1 2K K、 3L 1 2l l、 1 2l l、 D P D 1 1 2 2DF PF PF DF− = − (2)存在点 ,满足 ．下面证明之． 由题设知, 得 ,又知 设点 则 , ∵ , ∴ ∵ 交于 ∴ , ∴ 同理 ∴ 在直线 上【来.源：全,品…中&高*考*网】 ∴ ∵ 在 上 ∴ 【来.源：全,品…中&高*考*网】 即点 为直线 上的点 ( )0 0D x y， 1 1 2 2DF PF PF DF− = − 2 3 1: 2L y x= y x′ = ( )2 3P ， ( ) ( )1 1 1 2 2 2K x y K x y， ， ， ( )1 1 1 1:l y x x x y= − + ( )2 2 2 2:l y x x x y= − + 2 1 1 1 2y x= ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1: 2l y x x x y x x x x x y= − + = − = − 1 2l l、 D 1D l∈ 1 0 1 0x x y y− = 2 0 2 0x x y y− = 1 2K K、 0 0x x y y− = 0 0:l x x y y− = ( )2 3P ， l 0 02 3x y− = D : 2 3l y x= −′ 由 得 知 为椭圆 上的点,即 为椭圆 和直线 的公共点． 将 坐标代入 方程左端得 即 上的点 在椭圆 内部 ∴ 与椭圆 必有二公共点 ∴必存在两个满足题设条件的点 ． 20．已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 2,以 为中点的弦 经过左 焦点 ,其中点 不与坐标原点 重合,射线 与以 圆心的圆交于点 . （1）求椭圆 的方程； （2）若四边形 是矩形,求圆 的半径； （3）若圆 的半径为 2,求四边形 面积的最小值. 1 1 2 2DF PF PF DF− = − 1 2 1 2DF DF PF PF+ = + D 1L D 1L l′ 3 02     ， 1L 2 23 0 14 16 12 + <⋅ l′ 3 02     ， 1L l′ 1L D 1C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > M AB ( )1 1,0F − M O OM O P 1C OAPB O O OAPB 所以 的中点 为 . 因为四边形 是矩形,所以 ,且 . 则 ,即 ,② 又因为 , ,③ 由①②③解得 . 所以点 , 所以圆 的半径 . AB M 2 2 2 ,2 2 m m m −   + +  OAPB OA OB⊥ 2OP OM= 0OA OB⋅ =  1 2 1 2 0x x y y+ = 1 1 1x my= − 2 2 1x my= − 2 1 2m = 4 2,5 5M  − ±    O 6 22 5R OP OM= = = ,其中 . 可知当 时, , 即四边形 面积的最小值为 . 21．在平面直角坐标系中,圆 与 轴的正半轴交于点 ,以 为圆心的圆 与圆 交于 两点. 1 22S OP d= ⋅ = 2 22 2 2 1 32 2 1 44 m mm + = − ++ Rm∈ 0m = min 2S = OAPB 2 2 2: 4O x y+ = x A A ( )2 2 2: 2A x y r− + = ( )0r > O ,B C （1）若直线 与圆 切于第一象限,且与坐标轴交于 ,当线段 长最小时,求直线 的 方程； （2）设 是圆 上异于 的任意一点,直线 分别与 轴交于点 和 ,问 是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由. 分别令 ,得 , 所以 为定值. l O ,D E DE l P O ,B C ,PB PC x M N OM ON⋅ 0y = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 ,M N x y x y x y x yx xy y y y − += =− + ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 1 0 0 11 0 0 1 2 2 2 2 0 1 0 1 4 4 4M N y y y yx y x yOM ON x x y y y y − − −−⋅ = = = =− − 22．已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ,离心率 ,短轴 长为 2. （1）求椭圆的方程；【来.源：全,品…中&高*考*网】 （2）点 为椭圆上的一动点（非长轴端点）, 的延长线与椭圆交于 点, 的延长线 与椭圆交于 点,求 面积的最大值. 【解析】（1） 由题意得 ,解得 , ∵ ,∴ , , 故椭圆的标准方程为 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1 2,F F 2 2e = A 2AF B AO C ABC∆ 2 2b = 1b = 2 2 22 ,2 ce a b ca = = = + 2a = 1c = 2 2 12 x y+ = 点 到直线 的距离 ( ) 22 2 2 2 2 4 2 21 42 1 2 1 k kk k k    − = + ⋅ − ⋅ + +    2 2 12 2 2 1 k k += + O 0kx y k− − = 2 21 1 k kd k k −= = + +