【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充和复数的引入学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数系的扩充和复数的引入学案

‎ ‎ ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 数系的扩充和复数的引入 ‎1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.‎ ‎2．了解复数的加、减运算的几何意义.‎ ‎3．掌握复数代数形式的四则运算.‎ ‎2013•浙江文2，理1； ‎ ‎2014•浙江文11；理2；‎ ‎2017•浙江12；‎ ‎2018•浙江4.‎ ‎1.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．‎ ‎2.备考重点：‎ 理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准是得分的保障.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．复数的有关概念及性质 ‎1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．‎ ‎2．复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．‎ ‎①当b＝0时，复数a＋bi为实数；‎ ‎②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；‎ ‎③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．‎ ‎3.复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.‎ ‎4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．‎ ‎5. 复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．‎ ‎2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．‎ ‎3.复数的四则运算 ‎1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；‎ ‎(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(3)＝＋i (z2≠0)．‎ ‎2. . ‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 复数的有关概念及性质 ‎【1-1】【2018届浙江省台州中学高三模拟】复数是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． 或 ‎【答案】A ‎【1-2】【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为__________ ，虚部为__________．‎ ‎【答案】 2 1‎ ‎【解析】‎ 所以复数的实部为，虚部为 ‎【领悟技法】‎ ‎（1）中的负号易忽略. ‎ ‎（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.‎ ‎ (3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）‎ A．-2 B．-1 C．0 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，由是纯虚数得，故选A．‎ ‎【变式二】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.‎ 考点2 复数的几何意义 ‎【2-1】当时，复数在平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】0，m－1<0，点在第四象限．‎ ‎【2-2】【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.‎ ‎【领悟技法】‎ 复数的几何意义 ‎(1)　(其中a，b∈R)．‎ ‎(2)表示复数z对应的点与原点的距离．‎ ‎(3)表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校第八次模拟】已知复数在复平面上对应的点为，则（ ）‎ A． B． C． D． 是纯虚数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【变式二】复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因，故在第一象限，应选A．‎ 考点3 复数的代数运算 ‎【3-1】【2018年浙江卷】复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（ ）‎ A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i ‎【答案】B ‎【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.‎ 详解：，∴共轭复数为，选B.‎ ‎【3-2】【2018年理新课标I卷】设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知复数，其中为虚数单位，则 （ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，故选C.‎ ‎【变式二】【2018年江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.‎ 详解：因为，则，则的实部为.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．‎ 正确解析：，所以，虚部为，选D.‎ 温馨提醒：‎ ‎1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0，则z1＝z2＝0.‎ ‎2.注意利用共轭复数的性质，将转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果. ‎ ‎【典例】【2017“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,选D.‎ ‎ ‎