2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】, 真子集就是比A范围小的集合;‎ 故选D;‎ ‎2．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用乘法公式，分子、分母同时乘以，‎ 然后化简为的形式，为虚部.‎ 详解： ，所以虚部为1，‎ 故选A 点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子，‎ 然后化简为一般形式，注意虚部不包含，包含符号.‎ ‎3．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，‎ 从而求出，因为数列为正项数列，则取正数.‎ 详解：因为、为方程的两根，由韦达定理，，‎ 为、的等比中项，则，解得，‎ 因为数列为正项数列，所以，‎ 故选C 点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，‎ 等比数列隔项符号相同.‎ ‎4．若，且为第三象限角，则等于( )‎ A. 7 B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，且为第三象限角，所以 本题选择A选项.‎ ‎5．已知，则的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.‎ 详解：由题意可知：，即，，即，‎ ‎，即，综上可得：.本题选择D选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎6．已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，‎ 根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m.‎ 详解：由题意知，直线必过圆心，由圆心表达式可得圆心坐标为，‎ 代入直线，解得.故选B.‎ 点睛：圆的一般方程中，圆心坐标为，‎ 圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.‎ ‎7．设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：分别由面面平行的判定定理和面面平行的性质判断充分与必要性，即可得出结论.‎ 详解：若证面面平行，则需一个平面内两条相交直线均与另一平面平行，题目中只有一条直线，所以为不充分条件；‎ 若由面面平行证线面平行，利用面面平行的性质，如果两个面互相平行，其中一个面平行于另一个平面里的任意一条直线，所以为必要条件.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查线面、面面平行的性质与判定，需熟练掌握定理的题设与结论，‎ 必要时可以借助笔和纸进行模拟演示.‎ ‎8．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，‎ 所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.‎ 详解：由左加右减可得，‎ 解析式为正弦函数，则令，‎ 解得：，令，则 ，故选B.‎ 点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.‎ ‎9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.‎ 详解：由三视图可得四棱锥，‎ 在四棱锥中，，‎ 由勾股定理可知：，‎ 则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，‎ 故选C.‎ 点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.‎ ‎10．函数的最大值与最小值分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.‎ 详解：利用同角三角函数关系化简， ‎ 设，则，‎ 根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；‎ 另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.‎ ‎11．某市国庆节天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是;②日成交量超过日平均成交量的有天；③认购量与日期正相关；④月日认购量的增量大于月日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数.‎ 日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.‎ 认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.‎ 详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错；‎ 平均成交量为，超过44.1的只有一天，所以②错；‎ 由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；‎ ‎10月7日认购量增量为，成交量增量为，所以④对.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念.‎ ‎12．已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由 为的中点，所以，又因为在直角中，‎ ‎，所以①‎ 又②，③ 故由①②③得，，故本题选C 点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值..‎ ‎13．若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率之积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e，等轴双曲线的离心率为，列出乘积为1的式子，即可求出.‎ 详解：椭圆离心率等轴双曲线离心率为，则根据乘积为1列式为：，解得，因为，所以取.‎ 点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及之间点的关系.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m.‎ 详解：由可得，解得.‎ 点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式.‎ ‎15．在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则事件“点在直线上”的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.‎ 详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：、、、、、，共6种情况，其中在直线上的为、，共2种情况，‎ 所以概率为.‎ 点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.‎ ‎16．已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：分段求不等式，将定义域分为、‎ 两部分，在两部分内分别化简不等式，化简为的形式，小于等于0恒成立，即在相应区间内最大值小于等于0.根据二次函数性质求解，最后两区间内的范围取交集.‎ 详解：当时，即恒成立，‎ 所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时或时取最大值，即，解得；‎ 当时，即恒成立，‎ 所以在区间内最大值小于等于0，根据二次函数性质，当时取最大值，即，解得，取交集得.‎ 点睛：分段函数类不等式要分段求解，恒成立为最大值小于等于0，恒成立，为最小值大于等于0.同时需要注意区分恒成立与存在性问题的区别.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知等差数列满足，前项和.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）已知数列为等差数列，且知与的值，设首项与公差，代入解方程即可；‎ ‎（Ⅱ）求出、即、，设首项与公比，列式解出.代入前n项和公式即可.‎ 详解：（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得，，‎ 化简得，，解得，，‎ 故的通项公式，即.‎ ‎（Ⅱ）由（1）得，.设的公比为，则，从而，故的前项和.‎ 点睛：本题综合考察等差等比数列的通项公式与前n项和公式，需要熟练掌握，代入公式，解得首项与公差公比即可.‎ ‎18．在中，角所对的边分别是，已知且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，延长至，使，且，求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)。‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理和大边对大角可得；‎ ‎(Ⅱ)结合题意首先求得，然后利用面积公式可得的面积是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理，‎ 得：，‎ ‎∵，∴，‎ 又，∴.‎ ‎（Ⅱ）设，则，在中，由余弦定理得 ‎，‎ 求得，即，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积 .‎ ‎19．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－”的绿色环保活动小组对年月－年月(一月)内空气质量指数进行监测，如表是在这一年随机抽取的天的统计结果：‎ 指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻微污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位：元)与空气质量指数(记为)的关系为：，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节，其中有天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 下面临界值表供参考.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据经济损失求出t的范围，根据t的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；‎ ‎（Ⅱ）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，根据公式计算，与所对应的的k值3.841对比，若大，则有把握，否则没有.‎ 详解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件.‎ 由，得，频数为，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到如表：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值 所以有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关．‎ 点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，注意求时要保留三位小数，且由于问题为能否有的把握，所以要与0.05所对应的值3.841对比.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线沿平移，点至点处，则点应移至中点处，故取中点，连接、.‎ 若证，则需证明、平行且相等，、需要以作为中间量.‎ ‎（Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x，表示的面积，解出x，求出三棱锥底面的面积.‎ 因为为中点，所以三棱锥底面上的高为到底面距离的一半. ‎ 详解：（1）取的中点，连接，；取的中点,连接，‎ 因为是正三角形，所以.‎ 因为，所以四边形为矩形，‎ 从而，.‎ 因为为的中位线,‎ 所以，，即，，‎ 所以四边形是平行四边形，从而，‎ 又面，所以面.‎ ‎（2）取的中点，连接，则.‎ 过点作交于.‎ 因为，面面，面面 所以面.又因为面，所以.‎ 又因为，，面，.‎ 所以面，又因为面，所以.‎ 由于为中点,易知.‎ 设，则的面积为，‎ 解得，从而，‎ ‎.‎ 点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.‎ ‎21．如图所示，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为.点是上的定点，，是上的两动点，且线段的中点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程及的值；‎ ‎（Ⅱ）记，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），.（2）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P到准线的距离，可求得，进而求得抛物线方程，将点M的坐标代入抛物线 ，即可求得t.‎ ‎（Ⅱ）求直线OM方程，点Q在直线OM上，根据直线方程表示点Q坐标，消去参数n，‎ 利用点差法表示出直线AB斜率，进而求出直线方程，将直线AB方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d表示为关于m的函数，根据m范围求最值.‎ 详解：（1）的准线为，∴，∴，‎ ‎∴抛物线的方程为.又点在曲线上，∴.‎ ‎（2）由（1）知，点，从而，即点，‎ 依题意，直线的斜率存在，且不为，‎ 设直线的斜率为.且，，‎ 由得，故，‎ 所以直线的方程为，即.‎ 由消去，整理得，‎ 所以，，.‎ 从而.‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时，上式等号成立，‎ 又满足.∴的最大值为.‎ 点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值，‎ 或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（I）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；‎ ‎（II）若函数在区间内无零点，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求得，解得的值，从而求出函数的单调减区间；（2）根据题意，把函数为零点转化为恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值即可．‎ 试题解析：（1）因为,所以, 所以．又 ‎,所以,得,由,得,所以函数的单调减区间为．‎ ‎（2）因为当时，,所以在区间内恒成立不可能．所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立，令,则．再令,则,所以在区间内为减函数，所以, 所以．于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，只要．综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为．‎ 考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值，以及恒成立问题的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎