数学卷·2018届山东省烟台二中高二下学期开学数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届山东省烟台二中高二下学期开学数学试卷（文科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）开学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（　　）‎ A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6‎ ‎2．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p∨q为真，p∧q为真，￢p为假 B．p∨q为真，p∧q为假，￢p为真 C．p∨q为假，p∧q为假，￢p为假 D．p∨q为真，p∧q为假，￢p为假 ‎3．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．“an+1an﹣1=an2，n≥2且n∈N”是“数列{an}为等比数列”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎6．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎7．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．如果A⊆B，那么A∩B=A B．如果A∩B=A，那么（∁UA）∩B=∅‎ C．如果A⊆B，那么A∪B=A D．如果A∪B=A，那么A⊆B ‎8．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=y C．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y ‎9．设函数f（x）可导，则等于（　　）‎ A．f'（1） B． C． D．﹣3f'（1）‎ ‎10．下列说法正确的是（　　）‎ A．曲线的切线和曲线的交点有且只有一个 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处无切线 D．若y=f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）不一定存在 ‎11．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（　　）‎ A．f（x）=g（x） B．f（x）=g（x）=0‎ C．f（x）﹣g（x）为常数函数 D．f（x）+g（x）为常数函数 ‎12．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　）‎ A．4 B．﹣ C．2 D．﹣‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在△ABC中，“sinA=sinB”是“a=b”的　　条件．‎ ‎14．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是　　．‎ ‎15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=　　．‎ ‎16．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．‎ ‎17．求下列函数的导数：‎ ‎（1）‎ ‎（2）y=（x3+1）（2x2+8x﹣5）‎ ‎（3）．‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，），求椭圆C的方程．‎ ‎19．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎20．求曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积．‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+ax2+1（a∈R），试讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎22．（1）将参数方程转化为普通方程：‎ ‎（2）求椭圆的参数方程：‎ ‎①设x=3cosφ，φ为参数；‎ ‎②设y=2t，t为参数．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）开学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（　　）‎ A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，进而计算可得c的值，结合椭圆的几何性质可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25x2+9y2=225，变形可得+=1，‎ 则其中a==5，b==3，‎ 则有c==4；‎ 故椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==0.8；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是（　　）‎ A．p∨q为真，p∧q为真，￢p为假 B．p∨q为真，p∧q为假，￢p为真 C．p∨q为假，p∧q为假，￢p为假 D．p∨q为真，p∧q为假，￢p为假 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】本题的关键是判定已知命题p：3≥3，q：3＞4的真假，再利用复合命题的真假判定．‎ ‎【解答】解：对于命题p：3≥3‎ 显然p真命题 对于命题q：3＞4，‎ 显然q假命题 ‎∴根据复合命题的真假判定知 p∨q为真，p∧q为假，￢p为假 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．‎ ‎【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；‎ 所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；‎ 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．‎ 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．“an+1an﹣1=an2，n≥2且n∈N”是“数列{an}为等比数列”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义和性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由“{an}为等比数列”能推出“an2=an﹣1•an+1”，‎ 当数列为an=an﹣1=an+1=0时，尽管满足“an2=an﹣1•an+1”，但“{an}不为等比数列，‎ 故“{an}为等比数列”是“an2=an﹣1•an+1”的必要不充分条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为（　　）‎ A． B． C．8 D．4‎ ‎【考点】抛物线的参数方程．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．‎ ‎【解答】解：抛物线的参数方程为，普通方程为y2=4x，抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，‎ 则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得 x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴x1+x2=6‎ 根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+‎ ‎=x1+x2+p=6+2=8，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ e===2，‎ 解得，a=1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．如果A⊆B，那么A∩B=A B．如果A∩B=A，那么（∁UA）∩B=∅‎ C．如果A⊆B，那么A∪B=A D．如果A∪B=A，那么A⊆B ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】运用集合的包含关系和集合的交集、并集和补集的运算，即可判断B，C，D错；A正确．‎ ‎【解答】解：对于A，如果A⊆B，那么A∩B=A，故A正确；‎ 对于B，如果A∩B=A，则A⊆B，那么（∁UA）∩B≠∅，故B错；‎ 对于C，如果A⊆B，那么A∪B=B，故C错；‎ 对于D，如果A∪B=A，那么B⊆A，故D错．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（　　）‎ A．y2=﹣x或x2=y B．y2=x或x2=y C．y2=x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣y ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】直线过定点，说明直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（﹣x﹣y+1）=0，‎ 对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y2=﹣2px和x2=2py 当y2=﹣2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y2=﹣x；‎ 当x2=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x2=y．‎ 则过点P的抛物线的标准方程是：y2=﹣x 和x2=y．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．设函数f（x）可导，则等于（　　）‎ A．f'（1） B． C． D．﹣3f'（1）‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】根据函数在某一点的导数的定义，要求的式子即，即 ‎=，从而得出结论．‎ ‎【解答】解： ==‎ ‎=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．下列说法正确的是（　　）‎ A．曲线的切线和曲线的交点有且只有一个 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处无切线 D．若y=f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f′（x0）不一定存在 ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】举例说明选项A，B错误；由可导与连续的关系说明C错误，D正确．‎ ‎【解答】解：对于A，曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线y=x3+1在（﹣，）处的切线与曲线有另外一个交点（1，2）；‎ 对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，比如y=y=x3与y=3x﹣2相切于点（1，1），同时经过点另外一点（a，b），我们就可以说过点（a，b）的直线y=3x﹣2与曲线y=x3相切，但切点是（1，1）而不是（a，b）；‎ 对于C，若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处无切线错误，如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时f′（x0）不存在，但曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处有切线；‎ 对于D，由曲线在一点有平行y轴的切线，且函数在该点不连续，则f′（x0）不一定存在．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（　　）‎ A．f（x）=g（x） B．f（x）=g（x）=0‎ C．f（x）﹣g（x）为常数函数 D．f（x）+g（x）为常数函数 ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】先根据导数的运算法则将f′（x）=g′（x）转化为[f（x）﹣g（x）]′=0，然后由函数的求导法则可得答案．‎ ‎【解答】解：由f′（x）=g′（x），得f′（x）﹣g′（x）=0，‎ 即[f（x）﹣g（x）]′=0，所以f（x）﹣g（x）=C（C为常数）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（　　）‎ A．4 B．﹣ C．2 D．﹣‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．‎ ‎【分析】欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：f′（x）=g′（x）+2x．‎ ‎∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，‎ ‎∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，‎ ‎∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在△ABC中，“sinA=sinB”是“a=b”的　充要　条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】因为是在△ABC中，所以由sinA=sinB得到A=B，所以得到a=b；而由a=b能得到A=B，所以得到sinA=sinB，所以sinA=sinB是a=b的充要条件．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由sinA=sinB，可得到A=B，∴a=b；‎ ‎∴sinA=sinB是a=b的充分条件；‎ 由a=b，得到A=B，∴sinA=sinB；‎ ‎∴sinA=sinB是a=b的必要条件；‎ ‎∴sinA=sinB是a=b的充要条件．‎ 故答案为：充要．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是　[1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴k≥，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是：[1，+∞）．‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=　6　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．‎ ‎【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）‎ 令x=2得 f′（2）=﹣12‎ ‎∴f′（x）=6x﹣24‎ ‎∴f′（5）=30﹣24=6‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎16．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率是　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．‎ ‎【解答】解：设切点坐标为（a，lna），‎ ‎∵y=lnx，∴y′=，‎ 切线的斜率是，‎ 切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），‎ 将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，‎ ‎∴切线的斜率是=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分．‎ ‎17．求下列函数的导数：‎ ‎（1）‎ ‎（2）y=（x3+1）（2x2+8x﹣5）‎ ‎（3）．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数的导数公式分别进行求导即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数的导数为y′=6x2+x﹣sinx，‎ ‎（2）函数的导数为y′=3x2（2x2+8x﹣5）+（x3+1）×（4x+8）=10x4+32x3﹣15x2+4x+8．‎ ‎（3）函数的导数为y′==．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，），求椭圆C的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得c=2，再由a，b，c的关系和P在椭圆上，满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：因为焦距为4，即c=2，‎ 所以a2﹣b2=c2=4．‎ 又因为椭圆C过点P（，），‎ 所以+=1，‎ 解得a=2，b=2，‎ 从而椭圆C的方程为+=1．‎ ‎　‎ ‎19．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．‎ ‎【分析】（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOA•kOB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．‎ ‎（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|ON|•|y1﹣y2|．‎ ‎【解答】解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）‎ 消去x后，整理得 ky2+y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．‎ ‎∵A、B在抛物线y2=﹣x上，‎ ‎∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．‎ ‎∵kOA•kOB=•===﹣1，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，‎ ‎∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．‎ ‎∵S△OAB=S△OAN+S△OBN ‎=|ON||y1|+|ON||y2|‎ ‎=|ON|•|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△OAB=•1•‎ ‎=．‎ ‎∵S△OAB=，‎ ‎∴=．解得k=±．‎ ‎　‎ ‎20．求曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先联立方程，求出两曲线交点，再分别对和y=x2‎ 求导，利用导数，求出两曲线在交点处的切线斜率，利用点斜式求出切线方程，找到两切线与x轴交点，最后用面积公式计算面积即可．‎ ‎【解答】解：曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），‎ 两条切线方程分别是y=﹣x+2和y=2x﹣1，‎ 它们与x轴所围成的三角形的面积是．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+ax2+1（a∈R），试讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出f（x）的导函数，分解因式后，根据a＞0，a=0和a＜0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+1，a∈R ‎∴f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），‎ ‎①当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜﹣，‎ 由f′（x）＜0，得﹣＜x＜0，‎ ‎∴f（x）=x3+ax2的增区间为（﹣∞，﹣），（0，+∞），减区间为（﹣，0）．‎ ‎②当a=0时，由f′（x）=3x2≥0恒成立，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增．‎ ‎③当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣，或x＜0，‎ 由f′（x）＜0，得0＜x＜﹣，‎ ‎∴f（x）=x3+ax2的增区间为（﹣∞，0），（﹣，+∞），减区间为（0，）．‎ ‎　‎ ‎22．（1）将参数方程转化为普通方程：‎ ‎（2）求椭圆的参数方程：‎ ‎①设x=3cosφ，φ为参数；‎ ‎②设y=2t，t为参数．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）消去参数，可得普通方程，注意变量的范围；‎ ‎（2）利用不同参数，结合普通方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）x=sinθ+cosθ=sin（θ+45°）∈[﹣，]，‎ 第一个方程平方，结合第二个方程，可得普通方程y=x2，x∈[﹣，]，‎ ‎（2）①设x=3cosφ，y=2sinφ，参数方程为（φ为参数）；‎ ‎②设y=2t，则x=，参数方程为（t为参数）．‎