2019-2020学年湖北省沙市中学高二上学期第三次半月考数学试题

2019-2020学年湖北省沙市中学高二上学期第三次半月考数学试题

湖北省沙市中学2019-2020学年高二上学期第三次半月考数学试卷 考试时间：2020年1月2日 一、单选题（60分）‎ ‎1．已知复数满足，则 A． B． C．1 D．5‎ ‎2．两圆和的位置关系是 A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 ‎3．已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为 A．280 B．320 C．400 D．1000‎ ‎5．设集合，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点，记“点满足条件”为事件C，则 A． B． C． D．‎ ‎6．等差数列满足，，则 A．36 B．39 C．44 D．51‎ ‎7．已知，是平面上的一动点，且，则点的轨迹方程为 ‎ ‎8．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线和轴距离之和的最小值是 A．1 B．2 C． D．‎ ‎9．设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．是方程表示的图形为双曲线的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．在长方体中，，，为棱的中点，是棱上的点，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13．直线，不管怎样变化该直线恒过定点，则的坐标为__________．‎ ‎14．已知圆的方程为，过点作该圆的一条切线，切点为，那么线段的长度为______．‎ ‎15．已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．‎ ‎16．已知数列满足且，则____________．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．在等差数列{an}中， ，，求n及公差d．‎ ‎18．已知直线经过点（－2，5），且斜率为 ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ ‎19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．‎ ‎20．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．‎ ‎21．如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与AB的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面AEF所成角的正弦值．‎ ‎22．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，‎ ‎ 点P（1，）为椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据复数的除法运算，求得，再由复数模的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数满足，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算法则和复数的模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算法则和复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得两圆方程为：和 则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和 则圆心距：‎ 则 两圆相交 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，‎ ‎ P(1,2)，圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，‎ ‎，；‎ ‎；‎ 由点斜式得直线l方程为：，即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为，得到要求的结果 ‎【详解】‎ 由题意知这是一个分层抽样问题，‎ 青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，‎ 要从该单位青年职员中抽取的人数为：‎ 每人被抽取的概率为，‎ 该单位青年职员共有 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。‎ ‎5．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出从集合A和B中随机各取一个数x，y的基本事件总数，和满足点P（x，y）满足条件x2+y2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A＝B＝{1， 2，3，4，5，6}，‎ 分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），‎ 共有6×6＝36种不同情况，‎ 其中P（x，y）满足条件x2+y2≤16的有：‎ ‎（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），‎ ‎（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，‎ ‎∴C的概率P（C），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．‎ ‎6．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得的值，再由 可得的值，计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 等差数列满足，‎ 则，则，‎ 则，‎ 即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是等差数列的通项公式及等差数列的性质，是基础题.‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出动点P的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得.‎ ‎【详解】‎ 设,则由题意可得,即,‎ 化简可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎8．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线上一动点P到直线和轴距离之和最小转化为：抛物线上一动点P到直线和直线x＝-1的距离之和最小，x＝−1是抛物线的准线，则P到x＝−1的距离等于PF，F（1，0）为抛物线的焦点，过F作垂线，和抛物线的交点就是P，所以点P到直线的距离和到轴的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线距离再减1．‎ ‎【详解】‎ 解：x＝−1是抛物线的准线，抛物线的焦点F（1，0），‎ 则P到x＝−1的距离等于PF ‎， 过F作垂线，和抛物线的交点就是P，‎ ‎ 所以点P到直线：的距离和到直线：x＝−1的距离之和的最小值 就是F（1，0）到直线距离， 所以最小值．‎ 抛物线上一动点P到直线和轴的距离之和的最小值是：2−1＝1 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用．‎ ‎9．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明当点为短轴端点时,取得最大值,再按照焦点位置分两种情况讨论,把上存在点满足转化为为短轴端点时,,由此列式可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,,则,‎ 因为 ‎,当且仅当,即点为短轴端点时,等号成立,‎ 因为余弦函数在上为递减函数,所以当点为短轴端点时, 取得最大值,‎ ‎①当椭圆的焦点在轴上时,时,,,,‎ 所以焦点,‎ 若上存在点满足，则为短轴端点时,,则,‎ 所以,所以,所以,‎ ‎②当椭圆的焦点在轴上时,时,,,,‎ 所以焦点,‎ 同理可得,即,解得 ‎ 综上所述: 的取值范围是.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程,分类讨论思想,椭圆的几何性质,余弦定理,基本不等式,余弦函数的单调性,属于中档题.‎ ‎10．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出曲线的图形,结合图形可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,如图,‎ 观察图形可得,直线过点及与半圆相切时可得的临界值,‎ 由与相切可得,‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎11．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程表示双曲线，可得，解得m范围即可判断出结论，解得m范围即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 由方程表示的图形为双曲线，‎ 可得，即 即，或，‎ ‎∴ 是方程表示的图形为双曲线的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到和的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 所以，，，，‎ 为棱的中点，所以，‎ 是棱上的点，，所以，‎ 所以，，‎ 设异面直线与所成角为 则 ‎。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间向量求异面直线所成的角的余弦值，属于简单题.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形等价转化为，联立，求解得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以，即．‎ 联立，解得．‎ 的坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点问题，属于基础题．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将一般方程化为标准方程后可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长的值．‎ ‎【详解】‎ 圆，即，‎ 故为圆心、半径，‎ 由切线长定理可得切线长，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆相切的性质、切线长定理，属于基础题 ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 圆心为，半径，‎ 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，‎ 故有，‎ 圆心O到直线的距离，‎ 即，‎ 即，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得为等差数列，得，则可求 ‎【详解】‎ 由题：为等差数列且首项为2，则，所以．‎ 故答案为：2550‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题 ‎17．n=66，d=4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意结合等差数列的定义可先求公差，再列关于n的方程，解方程可得 试题解析：‎ 由题意可得，d==4，‎ ‎∴a1=﹣21‎ ‎∵an=a1+（n﹣1）d=﹣21+4（n﹣1）=239，‎ 解得n=66‎ 综上，n=66，d=4.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系，利用整体代换思想解答.‎ ‎18．(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点斜式方程得，，∴.‎ ‎（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，‎ 解得：或.‎ ‎∴或 ‎【点睛】‎ 本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.‎ ‎19．（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；‎ ‎（2）由方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，‎ 则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围．‎ ‎（2）命题q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，‎ 当p为真，q为假时，，解得﹣2＜m≤0．‎ 当p为假，q为真时，，解得2≤m＜3．‎ 综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎20．（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质得出的值；‎ ‎（2）根据平均数和中位数的定义得出；‎ ‎（3）由题意，满意度评分值为的人的频率为0.005，故人数为5，根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人共10个基本事件，根据古典概型得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得． ‎ ‎（2）这组数据的平均数为． ‎ 中位数设为，则，解得 ‎ ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人．记为 ‎ 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，‎ 利用古典概型概率公式可知.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目.‎ ‎21．(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，利用中位线性质即可得证；‎ 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点．‎ 又因为F为AB的中点，所以；‎ 又平面，平面，‎ 所以：平面．‎ 解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，4，，0，，2，，‎ 所以，0，，2，．‎ 设平面AEF的法向量为y，，‎ 则且，令，得0，．‎ 记与平面AEF所成，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．‎ ‎22．(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e==2，则a=2c．‎ 又∵a2=b2+c2，∴．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ 又∵点P（1，）为椭圆上一点，∴，解得：c=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．‎ ‎∴由韦达定理可知：，．‎ ‎∵，，且k1=2k2，∴，即．①‎ 又∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，‎ ‎∴，．②‎ 将②代入①可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．‎ ‎∴，即12k2-20k+3=0．‎ 解得：或．‎ 又由k＞1，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题．‎