2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若直线过点且与直线垂直,则的方程为(    )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求直线与已知直线垂直可以求出斜率，再根据点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为的斜率，所以，由点斜式可得，即所求直线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的位置关系及直线方程的点斜式，属于中档题.‎ ‎2．已知等差数列中，若，则它的前7项和为 A． 120 B． 115 C． 110 D． 105‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得=105.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查等差数列的求和和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.‎ ‎3．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（ ）‎ A． 一定是锐角三角形 B． 一定是钝角三角形 C． 一定是斜三角形 D． 一定是直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形.‎ 解析：已知，利用正弦定理化简得：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ ‎ ，‎ ‎ ，即.‎ 则为直角三角形.‎ 故选：D.‎ 点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 ‎(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎4．一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为(　　)‎ A． 27π B． 18π C． 19π D． 54π ‎【答案】A ‎【解析】设正方体的棱长为，则，解得。‎ 设球的半径为，则由正方体的体对角线等于球的直径得，解得。‎ 所以球的表面积为。选A。‎ ‎5．若a，b∈R且a＋b＝0，则‎2a＋2b的最小值是(　　)‎ A．2　　B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：a，b∈R且a＋b＝0，则‎2a＋2b，选A ‎6．给出下列四种说法：‎ ‎① 若平面，直线，则；‎ ‎② 若直线，直线，直线，则；‎ ‎③ 若平面，直线，则； ‎ ‎④ 若直线，，则. 其中正确说法的个数为 (　）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面关系举反例否定命题，根据面面平行定义证命题正确性.‎ ‎【详解】‎ 若平面，直线，则可异面；‎ 若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面的交线；‎ 若直线，，则可相交，此时平行两平面的交线；‎ 若平面，直线，则无交点，即；选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系，考查空间想象能力以及简单推理能力.‎ ‎7．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件解出公差，再根据等差数列求和公式得，最后根据二次函数性质求最值取法.‎ ‎【详解】‎ 因为,,‎ 所以，‎ 因此当时，取最小值，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和项，考查基本求解能力.‎ ‎8．已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． ≤＜0 B． ≤≤ C． ≤ D． ＜0‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：要使函数是上的增函数，则，得，即.故选B.‎ 考点：1、二次函数单调性；2、反比例函数的单调性；3、分段函数的单调性.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查分段函数的单调性，属中档题.分段函数为上的增函数，必须要求每一段都是递增，且左边的最大值小于或等于右边的最小值.同理，若分段函数为上的减函数，必须要求每一段都是递减，且左边的最小值大于或等于右边的最大值.‎ ‎9．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：以为三边，补成一个长方体，则三棱锥的外接球球心为长方体的对角线中点，直径为，外接球的表面积为 考点：三棱锥的外接球 ‎【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.‎ ‎10．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 又因为，所以 ‎ ‎ ‎ 所以的面积的最大值为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了结合不等式性质求三角形面积，对条件式进行化简，属于基础题。‎ ‎11．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移法则得到平移后的解析式，由函数在区间上单调递增且求得；因为最大负零点在内，进而求得，求交集即可得到的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移 可得 因为函数在区间上单调递增 所以 ，解不等式组得 ‎ 因为 所以 函数的零点为，‎ 即 ，最大负零点在内 所以，化简得 因为 所以 由可知，的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数的平移、单调性、零点等，涉及知识点多，综合性强，是难题。‎ ‎12．在中，若，且，，则 A． 8 B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，△ABC中，则：O是△ABC的垂心。‎ ‎,即点D是AB的中点，‎ 结合题意有：，则：，‎ 即：.‎ 本题选择D选项.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ；当时， ，故数列的通项公式为 ‎ ‎14．已知向量满足，，且，则与的夹角为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直及数量积运算，表示出夹角即可。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以，即 ‎ 根据向量的数量积运算，则 代入化简得 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量垂直及数量积的定义，属于基础题。‎ ‎15．一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时， ________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的半径为r，由，可得r=，又l=x（0＜x＜6），可得圆柱侧面积，利用配方法求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的半径为r，由，可得r=，又l=x（0＜x＜6）‎ 所以圆柱的侧面积=，‎ 当且仅当x=3cm时圆柱的侧面积最大．‎ 故答案为：3cm ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查圆柱侧面积，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力．（2）解答本题的关键是求出圆柱的侧面积=.‎ ‎16．已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.‎ ‎【答案】3027‎ ‎【解析】分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.‎ 详解：数列为等差数列，可设，化为，‎ ‎，‎ 联立解得：，则，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.‎ ‎(1)求点关于直线对称点的坐标；‎ ‎(2)求反射光线所在直线的一般式方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对称点与A连线垂直直线 ，以及对称点与A 中点在直线 上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点和，再根据点斜式求直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设点关于直线l的对称点为，则 ‎ 解得，即点关于直线l的对称点为． ‎ ‎（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.‎ ‎18．已知数列的前项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由递推公式得到，得到，得证；（2）由第一问得到，错位相减求和即可。‎ 解析：‎ 当时，，解得．‎ 当时，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故．‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 上面两式相减，可得 ‎，‎ ‎，‎ 化简可得．‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎19．已知向量，，函数．‎ ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）若对任意，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量数量积，得到函数表达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得，根据自变量x的范围，求的值域。‎ ‎（2）利用换元法，令 ，转化成关于t的一元二次不等式。通过分离参数，结合基本不等式，求参数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，，‎ 所以的值域为． ‎ ‎（2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，； ‎ ‎ 当时，，恒成立，‎ 因为，，当且仅当时，等号成立，‎ 所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元法、基本不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题。‎ ‎20．如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点. ‎ ‎(1)当为侧棱的中点时,求证:∥平面;‎ ‎(2)求证:平面平面;‎ ‎(3)当二面角的大小为时, 试判断点在上的位置,并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)由中位线可得∥,根据线面平行的判定定理可证得∥平面.(Ⅱ)由,是中点可得,由是正方形,可得,根据线面垂直的判定定理可证得.再根据面面垂直的判定定理可证得平面平面.(Ⅲ) 连接,由可得,又,根据二面角的定义可知是二面角的平面角,可设棱锥底面边长为2,从而计算其他边长可知是等腰直角三角形.从而可得点在上的位置.‎ 试题解析：解法一: ‎ 证明:(Ⅰ)连接,由条件可得∥.‎ 因为平面,平面,‎ 所以∥平面 ‎(Ⅱ)由已知可得,,是中点,‎ 所以,‎ 又因为四边形是正方形,所以.‎ 因为,所以.‎ 又因为,所以平面平面 ‎(Ⅲ)解:连接,由(Ⅱ)知.‎ 而, 所以.‎ 又.‎ 所以是二面角的平面角,即.‎ 设四棱锥的底面边长为2,‎ 在中,,, 所以,‎ 又因为,,‎ 所以是等腰直角三角形.‎ 由可知,点是的中点 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎ ‎(Ⅱ)‎ 证明:由 (Ⅰ)知,.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 设四棱锥的底面边长为2,‎ 则,,,,,‎ ‎.‎ 所以,.‎ 设(),由已知可求得.‎ 所以,.‎ 设平面法向量为,‎ 则即 令,得.‎ 易知是平面的法向量.‎ 因为,‎ 所以,所以平面平面 ‎(Ⅲ)解:设(),由(Ⅱ)可知,‎ 平面法向量为.‎ 因为,‎ 所以是平面的一个法向量.‎ 由已知二面角的大小为.‎ 所以,‎ 所以,解得.‎ 所以点是的中点 13分 考点：1线面平行;2线面垂直,面面垂直;3二面角.‎ ‎21．在中，角的对边分别为，已知， .‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（1） （2） 的最大值为 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式，结合C是三角形的内角，可求C； （2）利用正弦定理，将化为，进而可得，即可求得结论．‎ 试题解析：‎ 解：由 ‎，‎ 由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）法一： ‎ ‎ ‎ 此时为等边三角形 法二：由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ 当且仅当等号成立， ‎ 此时为等边三角形.‎ 点睛：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎22．已知函数 ‎(1)若在内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若关于的方程在内有唯一实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，则由题知在上为增函数。‎ ‎（2）方程在内有唯一实数解 即方程=在内有唯一实数解，转化为 在内有唯一实数解，由此解得实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，>0恒成立，由题知在上为增函数，则，由此解得参数的取值范围。‎ ‎ 且>0即解得 ‎ ‎（2）关于的方程在内有唯一实数解 即方程=在内有唯一实数解，‎ 在内有唯一实数解，‎ 设，则在单调递减，在单调递增，‎ ‎ 且，，‎ 或，或 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数与二次函数复合型函数的单调性，以及函数的零点、方程的根、两个函数图像的交点之间的转化。根据复合函数同增异减的原则推导出二次函数的单调性。‎