【数学】2020届一轮复习人教A版 绝对值不等式 学案
第一节 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：
(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立。
(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立。
2．解绝对值不等式的两个要点：
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”。
一、走进教材
1．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1)∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
解析 由题意得即
解得不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)。故选D。
答案 D
2．(选修4－5P20T8改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________。
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1；
②当1
1－x的解集。
解 (1)因为f(x)＝|x＋4|，
所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，
又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，
所以|2a|＝4，所以a＝±2。
(2)f(x)＝|x＋4|＝
所以不等式f(x)>1－x等价于
解得x>－2或x<－10，
故不等式f(x)>1－x的解集为{x|x>－2或x<－10}。
含绝对值不等式常见的三种解法
1．零点分段讨论法。
2．利用绝对值的几何意义。
3．数形结合法。
【变式训练】 (2018·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3。
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围。
解 (1)由f(x)≤2，得或或
解得0≤x≤5，
故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}。
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，
易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4,0)时，k＝；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2。
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪。
考点二绝对值不等式性质的应用
【例2】 (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值。
(2)若a≥2，x∈R，证明：|x－1＋a|＋|x－a|≥3。
解 (1)由|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，得|2x＋3y＋1|的最大值为7。
(2)证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a
－1|≥3，即|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立。
绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以①求最值；②证明不等式。
【变式训练】 (1)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|a有解⇔f(x)max>a。
2．f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a。
3．f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解。
【变式训练】 已知f(x)＝|ax－1|，若实数a>0，不等式f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}。
(1)求a的值；
(2)若<|k|存在实数解，求实数k的取值范围。
解 (1)由|ax－1|≤3，得－3≤ax－1≤3，即－2≤ax≤4。
因为a>0，所以－≤x≤，
因为不等式f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}，
所以解得a＝2。
(2)因为＝≥＝，
所以要使<|k|存在实数解，只需|k|>，解得k>或k<－，
所以实数k的取值范围是∪。
1．(配合例1、例2使用)设函数f(x)＝|2x－3|。
(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值。
解 (1)因为f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，
所以当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，所以x>2；
当－25，解得x<0，所以－25，解得x<－，所以x≤－2。
综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)。
(2)因为f(x)＝|2x－3|，
所以g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|。
所以依题意有4|m|＝4，解得m＝±1。
2．(配合例3使用)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2。
(1)解不等式|g(x)|<5；
(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。
解 (1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，
所以－7<|x－1|<3，即|x－1|<3，解得－2
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