甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

‎2019—2020学年第一学期联片办学期末考试 高二年级理科数学试卷 一、选择题 ‎1.命题“若,则”的逆否命题是( )‎ A. 若,则,或 B. 若,则 C. 若或,则 D. 若或,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题.‎ ‎【详解】解:根据逆否命题的定义知,原命题的逆否命题为:‎ 若或,则,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】考查逆否命题的定义,以及写出原命题的逆否命题的方法,属于基础题.‎ ‎2.“不到长城非好汉,屈指行程二万”,出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》,反映了中华民族的一种精神气魄,一种积极向上的奋斗精神,其中“到长城”是“好汉”的( )‎ A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】解:设为不到长城,为非好汉,即,‎ 则,即好汉到长城,‎ 故“到长城”是“好汉”的必要条件,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎3.下列说法中,正确是( )‎ A. “”是“”充分的条件;‎ B. “”是“”成立的充分不必要条件;‎ C. 命题“已知,是实数,若,则或”为真命题;‎ D. 命题“若,都是正数,则也是正数”的逆否命题是“若不是正数,则,都不是正数”.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎.根据充分条件的定义加以判断. .根据充分必要条件的定义加以判断. .写出原命题的逆否命题,根据互为逆否命题同真假加以判断;.写出原命题的逆命题,然后加以判断;‎ ‎【详解】解:对于:由得不到,故“”是“”的不充分的条件,故错误;‎ 对于:由推不出,但是由能够得到,故“”是“”成立的必要不充分条件,故错误;‎ 对于:命题“已知,是实数,若,则或”的逆否命题为“已知,是实数,若且,则”,显然是真命题,根据互为逆否命题同真假可知原命题是真的,故正确;‎ 对于:命题“若,都是正数,则也是正数”的逆否命题是“若不是正数,则,不都是正数”,故错误;‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识:四种命题及真假,充分必要条件,属于基础题.‎ ‎4.已知命题“设、、,若,则”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意得,命题“设、、,若,则”为真命题,所以它的逆否命题也为真命题;又由原命题的逆命题为“设、、,若,则”为假命题,所以它的否命题也为假命题,所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个,故选B.‎ 考点:四种命题的真假的判定.‎ ‎5.当双曲线:的焦距取得最小值时,双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,可得取得最小值,由双曲线的渐近线方程,可得渐近线的斜率.‎ ‎【详解】解:由题意可得,‎ 可得当时,焦距取得最小值,‎ 双曲线的方程为,‎ 即有渐近线方程为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法,注意运用二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎6.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则锐角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得关于的三角不等式,根据正弦函数的性质解答.‎ ‎【详解】解:因为方程表示焦点在轴上的椭圆 所以即,由正弦函数的性质可得,‎ 又为锐角 即 故选:‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,以及正弦函数的性质,属于基础题.‎ ‎7.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,则直线的斜率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线被椭圆所截得线段,,,,利用点差法可求直线的斜率.‎ ‎【详解】解:设直线被椭圆所截得的线段,,,,‎ 因为线段中点为,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,即直线的斜率是.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了中点弦问题,点差法是最好的方法,属于基础题.‎ ‎8.若抛物线上的点到其焦点的距离为,则实数=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为抛物线的准线方程为,‎ 又抛物线上的点到其焦点的距离为,‎ 所以,因此.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义,灵活运用抛物线的定义即可求出结果,属于基础题型.‎ ‎9.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键,然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积.‎ ‎【详解】解:抛物线的准线为,双曲线的两条渐近线方程分别为:,,如图这三条直线构成边长为的等边三角形,因此,所求三角形面积等于.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解,考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系,抛物线标准方程与其准线方程的联系,考查学生直线方程的书写,考查学生分析问题解决问题的能力,属于基本题型.‎ ‎10.方程(x2+y2-4))=0的曲线形状是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得:‎ ‎ 或 它表示直线和圆在直线右上方的部分 故选 ‎11.双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线渐近线定义可得,再利用求双曲线离心率.‎ ‎【详解】由已知可得,‎ ‎,故选D.‎ ‎【点睛】对于双曲线:,有;对于椭圆,有,防止记混.‎ ‎12.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,若且,则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:由勾股定理得 (2c)2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2,得到 e2﹣e﹣1=0,解出e.‎ 详解:由题意得,△PF1F2是直角三角形,‎ 由勾股定理得 (2c)2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2=4a2+4ac,‎ ‎∴c2﹣ac﹣a2=0,e2﹣e﹣1=0 且e>1,‎ 解方程得e=,‎ 故答案:C 点睛:(1)本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a、c的关系是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13.命题“”的否定是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定可得出答案.‎ ‎【详解】由全称命题的否定可知,命题“”的否定是“,‎ ‎”,故答案为“,”.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定,熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键,属于基础题.‎ ‎14.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9,那么点 到另一个焦点的距离等于________.‎ ‎【答案】3或15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线方程求出,再由已知条件,利用双曲线的定义能求出结果.‎ ‎【详解】解:双曲线的标准方程是,‎ ‎,‎ 设点到另一个焦点的距离为,‎ 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9,‎ 由双曲线定义知:,‎ 解得,或.‎ 点到另一个焦点的距离是15或3.‎ 故答案为:3或15.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法,解题时要熟练掌握双曲线性质,属于基础题.‎ ‎15.一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个圆的圆心与半径,设出动圆的圆心与半径,判断动圆的圆心轨迹,推出结果即可.‎ ‎【详解】圆x2+y2+6x+5=0的圆心为A(﹣3,0),半径为2;‎ 圆x2+y2﹣6x﹣91=0的圆心为B(3,0),半径为10;‎ 设动圆圆心为M(x,y),半径为x;‎ 则MA=2+r,MB=10﹣r;‎ 于是MA+MB=12>AB=6‎ 所以,动圆圆心M的轨迹是以A(﹣3,0),B(3,0)为焦点,长轴长为12的椭圆.‎ a=6,c=3,b2=a2﹣c2=27;‎ 所以M的轨迹方程为 故答案为 ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法,考查椭圆定义的应用,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用.‎ ‎16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则____________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.‎ 三、解答题 ‎17.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.‎ ‎(1)当时,若为真,求的取值范围;‎ ‎(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入,由为真可判断真且真,分别求解出命题对应的实数的取值范围,再求交集即可;‎ ‎(2)先将是的必要不充分条件转化为是的必要不充分条件,再结合端点值建立不等关系求解即可 ‎【详解】(1)当时,真,则,解得;‎ 真,则解得.‎ ‎∵为真,则真且真,‎ 故的取值范围为.‎ ‎(2)是的必要不充分条件,则是的必要不充分条件,‎ ‎∵真,有,‎ ‎∴故.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题,根据包含关系求解参数取值范围,属于基础题 ‎18.(1)求过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程;‎ ‎(2)求双曲线的焦点到其渐近线的距离.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设共渐近线的双曲线方程为,代点计算可得.‎ ‎(2)根据双曲线方程求出焦点坐标以及渐近线方程,再根据点到线的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】解:(1)因为所求双曲线与双曲线有公共渐近线,‎ 所以可设所求双曲线的方程为.‎ 因为所求双曲线过点,‎ 所以,得,‎ 所以所求双曲线的方程为.‎ ‎(2)因为双曲线的方程为,‎ 所以双曲线的一条渐近线方程为,‎ 即.‎ 因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等,‎ 且为双曲线的一个焦点,‎ 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程的计算问题,以及点到线的距离公式,属于基础题.‎ ‎19.如图所示,分别为椭圆的左、右两个焦点,A、B为两个顶点.已知椭圆C上的点到两点的距离之和为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;‎ ‎(2)过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦PQ的长.‎ ‎【答案】(1),;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由椭圆定义,又点在椭圆上,‎ 椭圆方程为,焦点为 ‎(2)方程为.代入椭圆方程 得,‎ 设则 ‎20.已知双曲线以为焦点,且过点 ‎(1)求双曲线与其渐近线方程 ‎(2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点),求直线的方程 ‎【答案】(1)双曲线C的方程为; 渐近线方程为.(2)l方程为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出双曲线C方程,利用已知条件求出c,a,解得b,即可求出双曲线方程与渐近线的方程;‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程,通过△>0,求出t的范围,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理,通过x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直线方程.‎ ‎【详解】(1)设双曲线C的方程为,半焦距为c,‎ 则c=2,,a=1, ‎ 所以b2=c2﹣a2=3,‎ 故双曲线C的方程为.          ‎ 双曲线C的渐近线方程为.        ‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程,‎ 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0(*) ‎ ‎△=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是方程(*)的两个根,所以,‎ 又由,可知x1x2+y1y2=0, ‎ 即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得,‎ 故﹣(t2+3)+t2+t2=0,解得,‎ 所以直线l方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程的求法,双曲线的简单性质的应用,直线与双曲线的位置关系的综合应用,考查计算能力.‎ ‎21.已知点到点的距离与点到直线的距离相等. ‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率为1的直线与曲线相交于不同的两点,‎ ‎,为坐标原点,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点的抛物线,即可求解.‎ ‎(2)由点斜式求出直线方程,联立直线与抛物线方程,消元,利用韦达定理即可求得三角形的面积.‎ ‎【详解】解:(1)设,‎ ‎∵动点到点的距离与到定直线的距离相等,‎ ‎∴点到点的距离等于到直线的距离,‎ 由抛物线定义得:点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.‎ 设抛物线方程为,可得:‎ ‎,.‎ ‎∴抛物线的方程为,即为点的轨迹方程.‎ ‎(2)由直线的斜率为1,‎ 可得直线的方程为,即.‎ 与联立,消去,整理得.‎ 设,,则,,‎ ‎∴,‎ 因此的面积:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义,以及直线与抛物线的综合应用,属于中档题.‎ ‎22.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为.‎ ‎(1)已知椭圆的离心率为,线段中点的横坐标为,求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知△外接圆的圆心在直线上,求椭圆的离心率的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a,b即可得到椭圆方程.‎ ‎(2)A(a,0),F(﹣c,0),求出线段AF的中垂线方程为:.推出,求出线段AB的中垂线方程,推出b=c,然后求解椭圆的离心率即可.‎ ‎【详解】(1)因为椭圆 的离心率为,‎ 所以,则.‎ 因为线段中点的横坐标为,‎ 所以.‎ 所以,则,.‎ 所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2)因为,‎ 所以线段的中垂线方程为:.‎ 又因为△外接圆的圆心C在直线上,‎ 所以.因为,‎ 所以线段的中垂线方程为:.‎ 由C在线段的中垂线上,得,‎ 整理得,, ‎ 即. ‎ 因为,所以.‎ 所以椭圆的离心率.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的离心率以及椭圆方程的求法,考查计算能力.‎
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