【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第39讲数学归纳法学案
第39讲 数 归纳法
考试说明 了解数 归纳法的原理,能用数 归纳法证明一些简单的数 命题.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
数 归纳法
证明等式
★☆☆
证明不等式
★☆☆
真题再现
■ [2017-2016 其他省份类似高考真题
[2017·浙江卷 已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N ).
证明:当n∈N 时,
(1)0
0.
当n=1时,x1=1>0.
假设当n= 时,x >0,
那么当n= +1时,若x +1≤0,
则00.
因此xn>0(n∈N ).
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此00(x>0),
函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,
因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤(n∈N ).
(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
所以xn≥.
由≥2xn+1-xn得-≥2-,
所以-≥2-≥…≥2n-1-=2n-2,
故xn≤.
综上,≤xn≤(n∈N ).
【课前双基巩固】
知识聚焦
2.(1)n0(n0∈N ) (2)n= ( ≥n0, ∈N ) n= +1
对点演练
1.假设n= ( ≥5)时,命题成立 [解析 因为命题中的条件是n≥5,所以假设n= ( ≥5)时,命题成立.
2.f+n-1 [解析 增加一个顶点,增加n-2条对角线,原来的一条边变成对角线,因此共增加(n-1)条对角线,故凸n+1边形的对角线数f(n+1)=f+n-1.
3.( +1)2+ 2 [解析 当n= 时,等式左端=12+22+…+( -1)2+ 2+( -1)2+…+22+12;当n= +1时,等式左端=12+22+…+( -1)2+ 2+( +1)2+ 2+( -1)2+…+22+12.所以左边添加的式子是( +1)2+ 2.
4.1++ [解析 根据命题可知,不等式左边共2n-1项,且n>1,所以第一步验证当n=2时,左边应取3项为1++.
5.8 [解析 由等比数列求和公式可得>,整理得2n>128⇒n>7,所以起始值应取n=8.
6.从n= 到n= +1的推理不正确 [解析 在(2)中假设n= 时有< +1 成立,但在证明“当n= +1时,<( +1)+1成立”时没有用归纳假设,故从n= 到n= +1的推理不正确.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨 等式是关于正整数n的一个式子,所以可以用数 归纳法证明.
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n= ( ∈N )时,等式成立,即13+23+…+ 3=(1+2+…+ )2,
那么,当n= +1时,13+23+…+ 3+( +1)3=(1+2+…+ )2+( +1)3.
下证:(1+2+…+ )2+( +1)3=[1+2+…+ +( +1) 2.
事实上,[1+2+…+ +( +1) 2=(1+2+…+ )2+2(1+2+…+ )( +1)+( +1)2=(1+2+…+ )2+2×( +1)+( +1)2=(1+2+…+ )2+ ( +1)2+( +1)2=(1+2+…+ )2+( +1)3.
∴当n= +1时,等式成立.
由(1)(2)可知,对任意正整数n,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.
变式题 证明:①当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,所以等式成立.
②假设当n= ( ∈N )时,等式成立,即1×2×3+2×3×4+…+ ( +1)( +2)=,
则当n= +1时,1×2×3+2×3×4+…+ ( +1)( +2)+( +1)( +2)( +3)=+( +1)( +2)( +3)=( +1)( +2)( +3)==,
所以n= +1时等式成立.
根据①②知原等式对于任意n∈N 成立.
例2 [思路点拨 利用数 归纳法证明时,先验证n=1时成立,再假设当n= ( ∈N )时不等式1+++…+≥成立,再分析推证n= +1时也成立.
证明:①当n=1时,左边=1,右边==1,不等式成立.
②假设当n= ( ∈N )时,不等式成立,
即1+++…+≥,
则当n= +1时,1+++…++≥+,
因为+-=>0,
所以+>,
所以当n= +1时,1+++…++>成立.
由①②知,不等式1+++…+≥对一切n∈N 都成立.
变式题 证明:①当n=1时,左边==>=右边,不等式成立.
②假设当n= ( ∈N )时不等式成立,即+++…+>,
则当n= +1时,
左边=+++…+++=+++…+++->+>,
即当n= +1时,不等式成立.
综上所述,对于任意的n∈N ,+++…+>.
例3 [思路点拨 (1)根据等差数列的前n 项和公式即可求出结果;(2)首先利用bn与数列的前n项和Sn的关系分别求出b1,b2,b3,b4,然后再利用数 归纳法证明,即可证明出结果.
解:(1)∵an=2n-1,∴数列是公差为2的等差数列,且a1=2×1-1=1,
于是Sn==n2.
(2)∵bn=1-1-…1-,
∴b1=,b2==,b3=,b4==,
于是猜想bn=.
以下证明猜想:
①当n=1时,b1=,猜想成立.
②假设当n= ( ∈N )时,猜想成立,即b =1-1-…1-=,
那么,当n= +1时,b +1=1-1-…1-1-=·1-=·1-=·==.
∴,n= +1时,猜想成立.
由①②可知,bn=对任意n∈N 都成立.
变式题 解:(1) S1=a1=-,S2++2=S2-S1⇒S2=-,
S3++2=S3-S2⇒S3=-,S4++2=S4-S3⇒S4=-.
由此猜想: Sn=-(n∈N+).
(2)证明:①当n=1时,左边=S1=a1=-,右边=-=-.
∵左边=右边,∴原等式成立.
②当n= ( ∈N+)时,假设S =-成立,则当n= +1时,S +1++2=S +1-S ,得
=-S -2=-2===-,
∴S +1=-=-,∴当n= +1时,原等式也成立.
综合①②得对一切n∈N+,Sn=-成立.
【备选理由】例1是与探索性问题相结合,利用数 归纳法进行证明等式的问题;例2是一道与不等式相关的猜想、归纳、证明问题.
1 [配合例3使用 是否存在常数a,b,c使等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立?若存在,用数 归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.
解:把n=1,2,3代入得方程组解得
猜想:等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10)对一切n∈N 都成立.
下面用数 归纳法证明:
①当n=1时,由上面的探求可知等式成立.
②假设n= ( ∈N )时等式成立,即1×22+2×32+…+ ( +1)2=(3 2+11 +10),
则当n= +1时,
1×22+2×32+…+ ( +1)2+( +1)( +2)2=(3 2+11 +10)+( +1)( +2)2=(3 +5)( +2)+( +1)( +2)2=[ (3 +5)+12( +2) =[3( +1)2+11( +1)+10 ,
所以当n= +1时,等式也成立.
由①②知猜想成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式对一切正整数n都成立.
2 [配合例3使用 已知xi>0(i=1,2,3,…,n),我们知道(x1+x2)+≥4成立.
(1)求证:(x1+x2+x3)++≥9.
(2)同理我们也可以证明出(x1+x2+x3+x4)+++≥16.由上述几个不等式,请你猜测一个与x1+x2+…+xn和++…+(n≥2,n∈N )有关的不等式,并用数 归纳法证明.
解:(1)证明:方法一,(x1+x2+x3)++≥3·3=9.
方法二,(x1+x2+x3)++=3++++++≥3+2+2+2=9.
(2)猜想:(x1+x2+…+xn)++…+≥n2(n≥2,n∈N ).
证明如下:
①当n=2时,由已知得猜想成立;
②假设当n= ( ∈N )时,猜想成立,即(x1+x2+…+x )++…+≥ 2,
则当n= +1时,(x1+x2+…+x +x +1)++…++=(x1+x2+…+x )++…++(x1+x2+…+x )+x +1++…++1≥ 2+(x1+x2+…+x )+x +1++…++1= 2+++++…+++1≥ 2++1= 2+2 +1=( +1)2,
所以当n= +1时不等式成立.
综合①②可知,猜想成立.