甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题

‎2019-2020兰州一中高二下学期四月月考 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若复数的虚部小于0，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解 ‎【详解】由，得，因为，所以.‎ 又z的虚部小于0，所以，.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.‎ ‎2.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）‎ A 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.‎ ‎【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，‎ 由图得：导函数值先负后正的点只有一个，‎ 故函数在内极小值点的个数是1.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.‎ ‎3.下列事件A,B是独立事件的是(　　)‎ A. 一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”‎ B. 袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”‎ C. 掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”‎ D. A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.‎ ‎4.用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果.‎ ‎【详解】由题意有，假设时，成立，则 当时，‎ 左边 ‎ ‎ 右边 ‎∴由数学归纳法可知上式成立 ‎∴显然等式两边需同乘 故选：D.‎ ‎【点睛】本题仅仅是考查学生对数学归纳法的运用情况，要求学生会对复杂式子进行变形，以及运用数学归纳法时候能够根据所设条件得出相关类似结论，对学生数学运算能力要求较高，能具备相关推理思维，为中等难度题型.‎ ‎5.直线与曲线相切于点,则的值为（ ）.‎ A. B. C. 15 D. 45‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将点代入曲线中,解得,得出曲线方程,对曲线方程求导,代入切点的横坐标得斜率,又因为切点在切线上,最后将切点和斜率代入直线方程,即可求得的值.‎ ‎【详解】解:因为曲线过点,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以,‎ 所以曲线在点处的切线斜率.‎ 因此,曲线在点处的切线方程为,‎ 即,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关基础知识,属于基础题.‎ ‎6.已知函数，则值为（ ）‎ A. 10 B. ‎-10 ‎C. -20 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义，计算函数f（x）在x＝1处的导数即可．‎ ‎【详解】函数f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；‎ 所以 ‎＝-2‎ ‎＝‎-2f′（1）‎ ‎＝-2×(2+8）‎ ‎＝-20．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．‎ ‎7.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，‎ 将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，‎ 本题选择A选项.‎ ‎8.设随机变量的分布列为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，求解出的值，要求解的值，即求解，根据概率的定义可得.‎ ‎【详解】解：∵随机变量的分布列为， ‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了离散随机变量的概率性质，解题的关键是熟记性质，熟练运用性质.‎ ‎9.将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30‎ 至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=‎ ‎10.设复数（i是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再根据所求式子为，从而求得结果．‎ ‎【详解】解：复数是虚数单位），‎ 而，‎ 而，‎ 故，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．‎ ‎11.已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，结合函数在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，研究函数的单调性、极值，利用函数大致形状进行求解即可．‎ ‎【详解】,,‎ ‎,‎ 函数有且仅有一个极值点,‎ 上只有一个根，‎ 即只有一个正根，‎ 即只有一个正根，‎ 令，‎ 则由可得，‎ 当时，，当时，，‎ 故在上递增，在递减，‎ 当时，函数的极大值也是函数的最大值为1，‎ 时，，‎ 当时，‎ 所以当或时，‎ 与图象只有一个交点，‎ 即方程只有一个根，‎ 故或，‎ 当时，，可得，且，‎ 不是函数极值点，故舍去.‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，极值，利用函数图象的交点判断方程的根，属于中档题.‎ ‎12.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与大小不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件可知，需构造函数，求导，得出在上单调递减，经过运算变形，从而推得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，对于恒成立，且为定义在上的可导函数，‎ ‎∴可构造函数，在上可导 ‎∴对于恒成立 ‎∴在上单调递减 ‎∴‎ ‎∴经过运算化简可知选C 故选：C ‎【点睛】本题考查了导数的运用，以及函数的构造，处理函数值的大小比较，要求学生对函数以及导函数的相关性质与形式非常熟悉，才能形成构造函数的思维，对学生要求较高，为中等难度题型.小记，当，则可构造函数.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可按照二项式展开公式，求出，其次就是将其看作多项式函数，代入，则，代，得，从而可求出答案.‎ ‎【详解】由题意有，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 故将，代入上式可知 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查学生对二项式定理的掌握情况，会将二项式看做多项式函数，能分清展开式中每一项的系数，会求二项式系数，会赋值法处理相关问题，为容易题.中第 项为：.‎ ‎14.设随机变量，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的概率公式可得:‎ ‎【详解】因为随机变量,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布的概率公式,属基础题.‎ ‎15.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有______种 ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；‎ 第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；‎ 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1=12种 考点：排列、组合及简单计数问题 ‎16.已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于函数求导，可知或 时，， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.‎ ‎【详解】对于函数 ‎，‎ 当或 时，，当时，，‎ 所以 一定存在增区间，‎ 若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，‎ 则不能为增函数，‎ 所以 ，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，‎ ‎（），设对应的复数为z.‎ ‎（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；‎ ‎（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；‎ ‎（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.‎ ‎【详解】点A，B对应的复数分别为， ‎ 对应的复数为z，，‎ ‎（1）复数z是纯虚数，，‎ 解得，‎ ‎；‎ ‎（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，‎ 位于第四象限，，即，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.‎ ‎18.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.‎ ‎（1）求白球的个数；‎ ‎（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.‎ ‎【答案】（1）5个；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．‎ ‎【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.‎ ‎（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.‎ 于是可得其分布列为:‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎19.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由概率和为1可直接求出，从而可补全上述表格；‎ ‎（2）由题意可知，将该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次分为三种情况分别求其概率，最后求和，可得其概率.‎ ‎【详解】（1）由概率分布的性质有，解答，的概率分布为 ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）设事件表示“五个月内共被投诉3次”，事件表示“五个月内有三个月被投诉1次，另外两个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次，还有三个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉3次，另外四个月被投诉0次”，‎ 则由事件的独立性得 ，，‎ 所以．‎ 故该企业在这五个月内被消费者投诉3次的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查了概率和为“‎1”‎，以及随机事件的古典概型，要求学生会求相互独立事件的概率问题，考查了学生的逻辑思维，数据分析能力，为容易题.‎ ‎20.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）求展开式中含的项的系数.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；‎ ‎（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数．‎ ‎【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，‎ 所以，即，‎ 所以（舍去）或.‎ ‎（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，‎ 即.‎ ‎（3）通项公式：‎ 由，，‎ 可得含的项的系数为.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．‎ ‎21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）‎ ‎（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 ‎，此时的月生产量值为（万件）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据题设条件：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）先求函数的导数，再利用导数的符号判断函数在的单调性并进一步据此求出其最大值及最大值点.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得 ‎（Ⅱ）的定义域为，‎ 且 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ 增 ‎ 极大值 ‎ 减 ‎ ‎ ‎ 由上表得：在定义域上的最大值为.‎ 且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）.‎ 考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎22.已知函数在处有极值．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得函数的解析式；‎ ‎（2）构造函数，由题意可知，不等式对任意的恒成立，求出导数，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出其最大值，通过解不等式可求得实数的取值范围.‎ 详解】（1），，‎ 因为函数在处有极值，‎ 得，，解得，，‎ 所以；‎ ‎（2）不等式恒成立，‎ 即不等式恒成立，‎ 令，‎ 则不等式对任意的恒成立，则.‎ ‎． ‎ 又函数的定义域为.‎ ‎①当时，对任意的，，则函数在上单调递增．‎ 又，所以不等式不恒成立；‎ ‎②当时，．‎ 令，得，当时，；当时，．‎ 因此，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 故函数的最大值为，由题意得需.‎ 令，函数在上单调递减，‎ 又，由，得，，‎ 因此，实数的取值范围是；‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题. ‎