【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第46讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第46讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

第八章　解析几何 第46讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．‎ ‎2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎2016·四川卷，9‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，20(1)‎ 直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.‎ 分值：3～5分 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴__平行或重合__时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是__[0，π)__.‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__tan_θ__.‎ ‎(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝____.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x0，y0)‎ ‎__y－y0＝k(x－x0)__‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 斜率k与截距b ‎__y＝kx＋b__‎ 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2)‎ ‎__＝__‎ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)‎ 截距式 截距a与b ‎__＋＝1__‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ‎—‎ ‎__Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)__‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)‎ ‎(3)当直线l1和l2斜率都存在时，若k1＝k2，则l1∥l2.(　×　)‎ ‎(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．(　×　)‎ ‎(5)任何直线方程都能写成一般形式．(　√　)‎ 解析 (1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置．‎ ‎(2)错误．当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在．‎ ‎(3)错误．当k1＝k2时，两直线可能平行，也可能重合．‎ ‎(4)错误．当直线与x轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示．‎ ‎(5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式．‎ ‎2．直线x＋y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为(　C　)‎ A．30°　　 B．60°　　‎ C．150°　　 D．120°‎ 解析 由k＝tan α＝－，α∈[0°，180°)得α＝150°.‎ ‎3．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　A　)‎ A．3x＋4y－14＝0　　　　 B．3x－4y＋14＝0‎ C．4x＋3y－14＝0　　　　 D．4x－3y＋14＝0‎ 解析 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.‎ ‎4．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　A　)‎ A．1　　 B．‎4　‎　‎ C．1或3　　 D．1或4‎ 解析 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.‎ ‎5．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__4__.‎ 解析 kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.‎ 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.‎ 一　直线的倾斜角与斜率 由斜率求倾斜角的范围的注意点 直线的倾斜角范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分k≥0与k<0两种情况讨论．当斜率k∈[0，＋∞)时，α∈；当斜率k∈(－∞，0)时，α∈；当斜率不存在时，α＝.‎ ‎【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)‎ A．　B．　C．　D． ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__(－∞，－]∪[1，＋∞)__.‎ 解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，‎ 因为α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．‎ 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．‎ 又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是.‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．‎ 二　直线方程的求法 求直线方程的注意点 ‎(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．‎ ‎(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，‎ 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．‎ ‎【例2】 根据所给条件求直线的方程．‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.‎ 解析 (1)设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0；‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点线距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 三　直线方程的综合应用 ‎(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．‎ ‎(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎【例3】 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．‎ 解析 依题意设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，‎ 且有A，B(0,2－3k)，‎ ‎∴S△ABO＝(2－3k)＝ ‎≥＝×(12＋12) ＝12.‎ 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，‎ 即△ABO的面积的最小值为12.‎ 此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.‎ ‎1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)‎ A．　　 B． C．∪　　 D．∪ 解析 直线的斜截式方程为y＝－x－，‎ 所以斜率tan α＝－，所以－1≤tan α<0，解得≤α<π，‎ 即倾斜角的取值范围是.故选B．‎ ‎2．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为____.‎ 解析 直线x＋y－1＝0的斜率为－，‎ 所以与其垂直的直线的斜率k＝，故所求直线的倾斜角为.‎ ‎3．当k＞0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为____.‎ 解析 因为2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1,0)，由解得y＝，‎ 所以两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积为×1×＝.‎ 又因为k>0，所以k＋≥2＝2，‎ 故三角形面积的最大值为.‎ ‎4．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为____.‎ 解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)．‎ 由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.‎ 由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.‎ 易错点　忽略直线方程的适用范围 错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与x轴垂直，则需要讨论．‎ ‎【例1】 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线a过点C(2,3)且与圆M交于A，B两点，且＝2，求直线a的方程．‎ 解析 ∵圆M的半径r＝2，＝2，‎ ‎∴圆心M(1,1)到直线a的距离为1.‎ 当直线a垂直于x轴时，符合题意．‎ 当直线a不垂直于x轴时，‎ 设其方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋(3－2k)＝0，‎ ‎∴＝1，∴k＝，‎ ‎∴y－3＝(x－2)，即3x－4y＋6＝0.‎ 综上可知，直线a的方程为x＝2或3x－4y＋6＝0.‎ ‎【跟踪训练1】 过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__5x＋3y＝0或x－y＋8＝0__.‎ 解析 当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；‎ 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.‎ 课时达标　第46讲 ‎[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．‎ 一、选择题 ‎1．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是(　C　)‎ A．[0，π)　　　　 B． C．　　　　 D．∪ 解析 当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；‎ 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.‎ ‎∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，‎ ‎∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 又α∈[0，π)，∴α∈∪.‎ 由上知，倾斜角的范围是，故选C．‎ ‎2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　)‎ A．k10)个单位，再沿y轴正方向平移a＋1个单位得直线l′，此时直线l′与l重合，则直线l′的斜率为(　D　)‎ A．　　 B．－ C．　　 D．－ 解析 设P(x，y)是l上任意一点，由题意知Q(x－a，y＋a＋1)也在直线l上，所以l的斜率为kPQ＝，故选D．‎ ‎6．设点 A(－2,3)，B(3,2)，若直线 ax＋y＋2 ＝ 0 与线段 AB没有交点，则a的取值范围是(　B　)‎ A．∪ B． C． D．∪ 解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，‎ ‎∵kMA＝＝－，kMB＝＝－，‎ 由图可知－a＞－且－a＜，∴a∈.‎ 二、填空题 ‎7．(2018·黑龙江哈尔滨模拟)一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0__.‎ 解析 设所求直线的方程为＋＝1，‎ ‎∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1，①‎ 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，‎ ‎∴|a|·|b|＝1.②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．‎ 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．‎ ‎8．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是__3__.‎ 解析 ∵直线AB的方程为＋＝1，‎ 易知x＞0，y＞0时xy才能取最大值，‎ ‎∴1＝＋≥2，∴|xy|≤3，∴(xy)max＝3，‎ 当且仅当＝＝，即当P点的坐标为时，xy取最大值3.‎ ‎9．若 ab>0，且 A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.‎ 解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，‎ 又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，‎ 所以－2(a＋b)＝ab.‎ 又ab＞0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，‎ 当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.‎ 三、解答题 ‎10．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．‎ 解析 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．‎ 由题意知则点B(6－x，－y)，‎ 解方程组 得则k＝＝8.‎ 故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.‎ ‎11．已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．‎ ‎(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；‎ ‎(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ 解析 (1)设直线在x，y轴上的截距均为a.‎ ‎①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．‎ ‎∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.‎ ‎②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1，‎ 又点(3,4)在直线上，∴＋＝1，∴a＝7.‎ ‎∴直线的方程为x＋y－7＝0.‎ 综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.‎ ‎(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ ‎12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 解析 (1)证明：直线l的方程是 k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 故无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.即k的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．‎ 依题意得解得k＞0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ 等号成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎