高中数学选修2-2课件1_3_2

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1.3.2 函数的极值与导数 问题 引航 1. 函数极值点、极值的定义是什么 ? 函数取得极值的必要条件是什么 ? 2. 求可导函数极值的步骤有哪些 ? 1. 极小值点与极小值 (1) 特征：函数 y=f(x) 在点 x=a 的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近其他点的函数值 _____ ， f′(a)=0. (2) 符号：在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 _________. (3) 结论：点 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点， _____ 叫做函数 y=f(x) 的极小值 . 都小 f′(x)>0 f(a) 2. 极大值点与极大值 (1) 特征：函数 y=f(x) 在点 x=b 的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近 其他点的函数值 _____ ， f′(b)=0. (2) 符号：在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 _________. (3) 结论：点 b 叫做函数 y=f(x) 的极大值点， _____ 叫做函数 y=f(x) 的极大值 . 3. 极值的定义 (1) 极小值点、极大值点统称为 _______. (2) 极大值与极小值统称为 _____. 都大 f′(x)<0 f(b) 极值点 极值 4. 可导函数在某点取得极值的必要条件 可导函数 y=f(x) 在点 x=x 0 处取得极值的必要条件是 _________. 5. 求函数 y=f(x) 的极值的方法 解方程 f′(x)=0 ，当 f′(x 0 )=0 时， (1) 如果在 x 0 附近的左侧 _________ ，右侧 _________ ，那么 f(x 0 ) 是极大值 . (2) 如果在 x 0 附近的左侧 _________ ，右侧 _________ ，那么 f(x 0 ) 是极小值 . f′(x)=0 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)<0 f′(x)>0 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” ，错误的打 “ × ” ) (1) 函数 f(x)=x 3 +ax 2 -x+1 必有 2 个极值 .( 　　 ) (2) 在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行或重合 .( 　　 ) (3) 函数 f(x)= 有极值 .( 　　 ) 【 解析 】 (1) 正确 .f′(x)=3x 2 +2ax-1 ，其 Δ=(2a) 2 -4×3× (-1)=4a 2 +12>0 ，所以 f′(x)=0 有两个不等实根，故 f(x) 必有两个极值 . 故正确 . (2) 正确 . 在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切线与 x 轴平行或重合 . (3) 错误 . 在定义域内 f′(x)=- ≠0 ，由极值的判断方法可知函数无极值 . 答案： (1)√ 　 (2)√ 　 (3)× 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 函数 f(x) 的定义域为开区间 (a ， b) ，导函数 f′(x) 在 (a ， b) 内的图象如图所示，则函数 f(x) 在开区间 (a ， b) 内极大值点的个数为 __________. (2) 函数 f(x)=ax 3 +x+1 有极值的充要条件是 ________. (3) 已知函数 f(x)=x 2 -2lnx ，则 f(x) 的极小值是 _______. 【 解析 】 (1) 根据导函数的图象，若左侧的导数值大于零，右侧的导数值小于零，那么此点就是极大值点 . 因而有 2 个极大值点 . 答案： 2 (2) 由题意知 f′(x)=3ax 2 +1=0 有两个不同的实数根，所以 a<0. 答案： a<0 (3) 因为 f(x)=x 2 -2ln x ，所以 f′(x)=2x- = (x>0) ，所以 x∈(0 ， 1) 时， f′(x)<0 ； x∈(1 ， +∞) 时， f′(x)>0 ， f(x) 的极小值是 f(1)=1. 答案： 1 【 要点探究 】 知识点 函数的极值点和极值 1. 对极值概念的两点说明 (1) 端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的 . 极值点是区间内部的点而不会是端点 . (2) 单调无极值：若 f(x) 在某区间内有极值，那么 f(x) 在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值 . 2. 极值点与导数为零的关系 (1) 可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即 “ 点 x 0 是可导函数 f(x) 的极值点 ” 是 “ f′(x 0 )=0 ” 的充分不必要条件 . (2) 可导函数 f(x) 在点 x 0 处取得极值的充要条件是 f′(x 0 )=0 ，且在 x 0 左侧和右侧 f′(x) 的符号不同 . (3) 如果在 x 0 的两侧 f′(x) 的符号相同，则 x 0 不是 f(x) 的极值点 . 3. 极值点的分布规律 (1) 函数 f(x) 在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 . (2) 当函数 f(x) 在某区间上连续且有有限个极值点时，函数 f(x) 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 . 4. 函数在极值点附近切线斜率的变化规律 从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为 0 ，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正 . 【 知识拓展 】 极值点与导数的关系 (1) 可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点 . (2) 不可导点可能是极值点，也可能不是极值点 . (3) 导数为 0 是极值点的情况： f(x)=x 2 ， f′(0)=0 ， x=0 是极值点 . (4) 导数为 0 但不是极值点的情况： f(x)=x 3 ， f′(0)=0 ， x=0 不是极值点 . (5) 不可导点是极值点的情况： y=|sinx| ， x=0 不可导，是极值点 . (6) 不可导点不是极值点的情况： y= ， x=0 不可导，不是极值点 . 【 微思考 】 (1) 函数的极值点与函数单调性有什么关系 ? 提示： 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点 . (2) 函数在某区间上若有多个极值点，则一定既有极大值点也有极小值点 ? 提示： 在一个给定的区间上，因为函数极值点左右两侧的单调性要发生变化，因此相邻的极值点也要发生变化，所以极大值点与极小值点一定同时出现 . 【 即时练 】 1. 下列函数中， x=0 是极值点的函数是 ( 　　 ) A.y=-x 3 B.y=cos 2 x C.y=sinx-x D.y= 2. 函数 f(x)=x(x-a) 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为 ________. 【 解析 】 1. 选 B. 因为 y=cos 2 x= ，所以 y′=-sin 2x ， 显然当 x=0 时， y′=0 ， x=0 左侧附近的值大于零，右侧附近的 值小于零，所以 x=0 是其极大值点 . 2.f(x)=x 2 -ax 是开口向上，对称轴为 x= 的抛物线，在对称轴 x= 处取得极值，所以 a=2. 答案： 2 【 题型示范 】 类型一 求函数的极值点或极值 【 典例 1】 (1)(2014 · 湛江高二检测 ) 函数 f(x) 的导函数为 f′(x) ，若 (x+1)f′(x)>0 ，则下列结论中正确的一项为 ( 　　 ) A.x=-1 一定是函数 f(x) 的极大值点 B.x=-1 一定是函数 f(x) 的极小值点 C.x=-1 不是函数 f(x) 的极值点 D.x=-1 不一定是函数 f(x) 的极值点 (2) 已知 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c 在 x=1 与 x= 时，都取得极值 . ① 求 a ， b 的值； ②若 f(-1)= ，求 f(x) 的单调区间和极值 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中如何根据 (x+1)f′(x)>0 确定 f(x) 的单调性？ 2. 题 (2) 中由 f(x) 在 x=1 与 x= 处取得极值能得出什么结论？ 【 探究提示 】 1. 根据积商符号法则，可分 x ＞ -1 ， x ＜ -1 进行讨论，确定 f′(x) ＞ 0 或 f′(x) ＜ 0 ，进而确定函数的单调性 . 2. 能得出 f′(1)=0 ， f′ （ ） =0. 【 自主解答 】 (1) 选 D. 因为 (x+1)f′(x) ＞ 0 ，所以 x ＞ -1 时， f′(x) ＞ 0 ，函数 f(x) 在区间 (-1 ， +∞) 上单调递增， x ＜ -1 时， f′(x) ＜ 0 ，函数 f(x) 在区间 (-∞ ， -1) 上单调递减，但是函数 f(x) 在 x=-1 处不一定有定义，如 f(x)= x=-1 不是函数 f(x) 的极值点 . 故选 D. (2)①f′(x)=3x 2 +2ax+b. 由题设知， x=1 ， x= 为 f′(x)=0 的解 . 所以 a= ， b=-2. ②f(x)=x 3 - x 2 -2x+c ，由 f(-1)=-1- +2+c= ，得 c=1. 所以 f(x)=x 3 - x 2 -2x+1 ， f′(x)=3x 2 -x-2. f′(x) 随 x 的变化情况如下表 x (1 ， +∞) f′(x) + - + 所以 f(x) 的递增区间为（ -∞ ， ）及 (1 ， +∞) ，递减区间为 （ ， 1 ） . 当 x= 时， f(x) 有极大值， f （ ） = 当 x=1 时， f(x) 有极小值， f(1)= 【 方法技巧 】 求可导函数 f(x) 的极值的步骤 (1) 确定函数的定义区间，求导数 f′(x). (2) 求 f(x) 的拐点，即求方程 f′(x)=0 的根 . (3) 利用 f′(x) 与 f(x) 随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 . 【 变式训练 】 已知函数 f(x)= +ln x ，求 f(x) 的极值 . 【 解析 】 因为 f′(x)= ，令 f′(x)=0 ，则 x=± ，注意函数定义域为 (0 ， +∞) ，所以驻点是 x= ，当 x∈(0 ， ) 时， f′(x)<0 ， f(x) 为减函数， 当 x∈( ， +∞) 时， f′(x)>0 ， f(x) 为增函数， 所以 x= 是极小值点， f(x) 的极小值为 f( )= (1+ln 2) ， 没有极大值 . 【 补偿训练 】 (2014· 西安高二检测 ) 已知函数 (c>0 且 c≠1 ， k∈R) 恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 x=-c. (1) 求函数 f(x) 的另一个极值点 . (2) 求函数 f(x) 的极大值 M 和极小值 m ，并求 M-m≥1 时 k 的取值范围 . 【 解析 】 (1)f′(x)= 由题意知 f′(-c)=0 ，即得 c 2 k-2c-ck=0 ， (*) 因为 c≠0 ， c≠1 所以 k≠0. 由 f′(x)=0 得 -kx 2 -2x+ck=0 ， 由根与系数的关系知另一个极值点为 x=1 或 (x=c- ). (2) 由 (*) 式得 k= ，即 当 c>1 时， k>0 ； 当 00 时， f(x) 在 (-∞ ， -c) 和 (1 ， +∞) 内是减函数，在 (-c ， 1) 内是增函数 . 所以 M=f(1)= m=f(-c)= 由 M-m= 及 k>0 ，解得 k≥ (ⅱ) 当 k<-2 时， f(x) 在 (-∞ ， -c) 和 (1 ， +∞) 内是增函数，在 (-c ， 1) 内是减函数 . 所以 M=f(-c)= >0 ， m=f(1)= <0 ， M-m= 恒成立 . 综上可知，所求 k 的取值范围为 (-∞ ， -2)∪ ［ ， +∞). 类型二 已知函数的极值求参数范围 【 典例 2】 (1) 函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx 在 x= 处有极值，则 ac+2b 的值为 ( 　　 ) A.-3 B.0 C.1 D.3 (2) 已知函数 f(x)=x 3 +ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值 范围是 ________. (3) 已知函数 f(x)=x 3 -bx 2 +2cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称 . ① 求 b 的值； ②若函数 f(x) 无极值，求 c 的取值范围 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中函数在 x= 处取得极值的必要条件是 什么 ? 2. 题 (2) 中函数在 R 上有两个极值点，导函数 f′(x) 满足什么条 件 ? 3. 题 (3) 中函数 f(x) 的导数是什么？其对称轴如何求 ? 【 探究提示 】 1. 函数在 x= 处取得极值的必要条件是 f′( )=0. 2. 函数在 R 上有两个极值点，导函数 f′(x)=0 有两个不等的根 . 3. 由题意知 f′(x)=3x 2 -2bx+2c ，其对称轴可由系数确定，即对 称轴为 【 自主解答 】 (1) 选 A.f′(x)=3ax 2 +2bx+c ，由题可知 f′( )=3a( ) 2 +2b× +c=0 ，所以 所以 ac+2b= -3 ，故选 A. (2)f′(x)=3x 2 +a ，由题可知 f′(x)=0 有两个不等的根，所以 a<0. 答案： (-∞ ， 0) (3)①f′(x)=3x 2 -2bx+2c ， 因为函数 f′(x) 的图象关于直线 x=2 对称， 所以 ，即 b=6. ② 由①知， f(x)=x 3 -6x 2 +2cx ， f′(x)=3x 2 -12x+2c=3(x-2) 2 +2c-12 ， 当 c≥6 时， f′(x)≥0 ，此时函数 f(x) 无极值 . 即 c 的取值范围为 c≥6. 【 延伸探究 】 若将题 (2) 中的 “ 有两个极值点 ” 改为 “ 没有极值点 ” ，结果如何 ? 【 解析 】 由于 f′(x)=3x 2 +a ，由题可知 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥0. 答案： [0 ， +∞) 【 方法技巧 】 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1) 列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 . (2) 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 . 【 变式训练 】 (2014· 太原高二检测 ) 已知函数 f(x)= 若函数在区间 (a ， a+ )( 其中 a>0) 上存在极值，求实数 a 的取值范围 . 【 解析 】 因为 f(x)= ， x>0 ， 则 f′(x)= 当 00 ，当 x>1 时， f′(x)<0. 所以 f(x) 在 (0 ， 1) 上单调递增，在 (1 ， +∞) 上单调递减， 所以函数 f(x) 在 x=1 处取得极大值 . 因为函数 f(x) 在区间 (a ， a+ )( 其中 a>0) 上存在极值， 所以 解得 0. 故当 x=0 时， f(x) 取得极小值 f(0)=b ， 所以 b=-1. 所以 a=6 ， b=-1. 类型三 函数极值的综合应用 【 典例 3】 (1) 函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx 的图象如图所示，且 f(x) 在 x=x 0 与 x=2 处取得极值，则 f(1)+f(-1) 的值一定 ( 　　 ) A. 等于 0 B. 大于 0 C. 小于 0 D. 小于或等于 0 (2) 已知 f(x)=x 3 +bx 2 +cx+2. ① 若 f(x) 在 x=1 时有极值 -1 ，求 b ， c 的值 . ② 在①的条件下，若函数 y=f(x) 的图象与函数 y=k 的图象恰有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中结合图象，方程 f′(x)=0 的根的情况是怎样的 ? 2. 题 (2) 中函数 y=f(x) 的图象与函数 y=k 的图象恰有三个不同的交点的实质是什么 ? 【 探究提示 】 1. 方程 f′(x)=0 有一正一负根，且两根之和小于零 . 2. 函数 y=f(x) 的图象与函数 y=k 的图象恰有三个不同的交点的实质是 k 的值介于极大值和极小值之间 . 【 自主解答 】 (1) 选 B. 由函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx ，方程 f′(x)=3ax 2 +2bx+c=0 有一正一负根，且两根之和小于零， 即 且 ，所以 ac<0 ， ab>0. 函数 f(x) 在 (x 0 ， 2) 上为减函数， 所以不等式 f′(x)=3ax 2 +2bx+c<0 的解集为 (x 0 ， 2) ， 所以 a>0 ，所以 b>0 ， 因为 f(1)+f(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)=2b>0 ， 所以 f(1)+f(-1) 的值一定大于 0. (2)① 因为 f(x)=x 3 +bx 2 +cx+2 ， 所以 f′(x)=3x 2 +2bx+c. 由已知得 f′(1)=0 ， f(1)=-1 ， 所以 解得 b=1 ， c=-5. 经验证， b=1 ， c=-5 符合题意 . ② 由①知 f(x)=x 3 +x 2 -5x+2 ， f′(x)=3x 2 +2x-5. 由 f′(x)=0 得 x 1 = ， x 2 =1. 当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如表： x 1 (1 ， +∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 根据表格，当 x= 时函数取得极大值且极大值为 f( ) = 当 x=1 时函数取得极小值且极小值为 f(1)=-1. 根据题意结合上图可知 k 的取值范围为 (-1 ， ). 【 方法技巧 】 1. 三次函数有极值的充要条件 三次函数 y=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0) 有极值 ⇔ 导函数 f′(x)=3ax 2 +2bx+c=0 的判别式 Δ=4b 2 -12ac>0. 2. 三次函数单调性与极值 ( 设 x 1 0 ，则 f(x) 在 R 上是增函数； ②若 a<0 ，则 f(x) 在 R 上是减函数 . (2) 当 Δ>0 时，①若 a>0 ，则 f(x) 的增区间为 (-∞ ， x 1 ) 和 (x 2 ， +∞) ，减区间为 (x 1 ， x 2 ) ， f(x 1 ) 为极大值， f(x 2 ) 为极小值；②若 a<0 ，则 f(x) 的减区间为 (-∞ ， x 1 ) 和 (x 2 ， +∞) ， 增区间为 (x 1 ， x 2 ) ， f(x 1 ) 为极小值， f(x 2 ) 为极大值 .( 如图所示 ) Δ>0 Δ≤0 a>0 a<0 【 变式训练 】 （ 2014· 陕西高考）如图，某飞行器在 4 千米高 空水平飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降，已知下 降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为 （ ） 【 解析 】 选 A. 由函数图象可得函数的极值点为 ±5 ，对四个选 项中函数解析式进行求导，只有选项 A 的函数解析式求导得 y′=3× ，令 y′=0 得 x=±5 ，所以只有选项 A 的解析 式与图象相统一，故选 A. 【 补偿训练 】 若 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，且函数 f(x)=4x 3 -ax 2 -2bx+2 在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值为 ______. 【 解析 】 因为 f′(x)=12x 2 -2ax-2b ， 又因为在 x=1 处有极值，所以 a+b=6 ， 因为 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 所以 当且仅当 a=b=3 时取等号， 所以 ab 的最大值等于 9. 答案： 9 【 规范解答 】 用极值求解含有参数的函数问题 【 典例 】 (12 分 ) 已知 f(x)=2ln(x+a)-x 2 -x 在 x=0 处取得极值 ( ［ ln(x+a) ］ ′= ). (1) 求实数 a 的值 . (2) 若关于 x 的方程 f(x)+b=0 在区间［ -1 ， 1 ］上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围 . 【 审题 】 抓信息，找思路 【 解题 】 明步骤，得高分 【 点题 】 警误区，促提升 失分点 1 ：若在①处不能正确利用函数取得极值的必要条件，列不出关于 a 的方程，从而导致本例不得分 . 失分点 2 ：若在②处，不能合理利用已知条件，根据函数导数的变化情况，判断函数的单调性并求出函数的极值，则最多给 6 分 . 失分点 3 ：若在③处不会结合函数图象 . 利用函数的单调性和函数的极值列出关于 b 的不等式，则最多得 8 分 . 【 悟题 】 提措施，导方向 1. 牢记常用的结论 对于利用导数求函数的极值问题，要牢固掌握函数取得极值的必要条件和求极值的一般方法，要对求得的导数为零的值进行检验，如本例要对 a=2 进行检验，否则会产生错误 . 2. 定义域优先原则 讨论函数问题，首先要考虑函数的定义域，在本例 (2) 中含有对数式，故求解时先求函数的定义域 . 3. 数形结合思想的应用 解决函数问题，特别是在已知函数单调性的情况下，可画出函数的大致图象，如在本例③处，利用数形结合会使问题变得直观、明了 . 【 类题试解 】 已知函数 f(x)=e -x +ax ， (1) 已知 x=-1 是函数 f(x) 的极值点，求实数 a 的值 . (2) 若 a=1 ，求函数 f(x) 的极值 . 【 解析 】 (1) 由 f(x)=e -x +ax ，得： f′(x)=-e -x +a ，因为 x=-1 是函数 f(x) 的极值点， 所以 f′(-1)=-e+a=0 ，解得： a=e ，经检验 a=e 符合条件 . (2) 令 f′(x)=-e -x +1=0 ，得： x=0 ，列表如下， 当 x=0 时， f(x) 的极小值为 1 ； f(x) 无极大值 . x (-∞ ， 0) 0 (0 ， +∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗