2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(六)立体几何中的计算

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2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(六)立体几何中的计算

课时达标训练(六) 立体几何中的计算 A组 ‎1. 若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 ________.‎ 解析:由题意,得圆锥的母线长l==,所以S圆锥侧=πrl=π×1×=π.‎ 答案:π ‎2.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2,高为6 cm,那么它的体积为________cm3.‎ 解析:设正六棱柱的底面边长为x cm,由题意得6x×6=72,所以x=2,于是其体积V=×22×6×6=36(cm3).‎ 答案:36 ‎3.(2019·扬州中学模拟)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为________.‎ 解析:如图,连接OA,OB.‎ 由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC.‎ 由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB.‎ 设球O的半径为r,则OA=OB=r,SC=2r,‎ ‎∴三棱锥S ABC的体积 V=×·OA=,‎ 即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.‎ 答案:36π ‎4.(2019·南京四校联考)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=3,点E是棱BB1上一点(异于端点),则三棱锥A1AEC的体积为________.‎ 解析:由题意知,在正三角形ABC中,AB=2,所以S△ABC=×22=.连接BA1,由等体积法知,VA1AEC=VEAA1C=VBA1AC=VA1ABC=×AA1×S△ABC=.‎ 答案: ‎5.(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为________.‎ 解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,则由··l2=3π,得l=3,又由·l=2πr,得r=1,从而有h==2,所以V=·πr2·h=π.‎ 答案:π ‎6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6 cm时,该容器的容积为________cm3.‎ 解析:由题意知,这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形,侧面高为5 cm,则正四棱锥的高为 =4(cm),所以所求容积V=×62×4=48(cm3). ‎ 答案:48‎ ‎7.(2019·苏锡常镇四市一模)已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积的最大值为________.‎ 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由圆柱的轴截面的对角线长为2知,4r2+h2=4.圆柱的侧面积S=2πrh≤π×=2π,当且仅当2r=h时取等号,所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.‎ 答案:2π ‎8.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为________.‎ 解析:由题意知,V1=a3,S1=6a2,V2=πr3,S2=πr2,由=,即=,得a=r,从而===.‎ 答案: ‎9.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体,使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为________.‎ 解析:设B,C,D三点重合于点P,得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE,AP⊥PF,PE∩PF=P,所以AP⊥平面PEF,所以V四面体PAEF=V四面体APEF=·S△PEF·AP=××1×1×2=.‎ 答案: ‎10.(2018·常州期末)已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为________.‎ 答案:3‎ ‎11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________.‎ 解析:连结A1B,沿BC1将△CBC1展开,与△A1BC1在同一个平面内,如图所示,连结A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.‎ 因为A1C1=6,A1B=2,BC1=2,所以A1C+BC=A1B2,所以∠A1C1B=90°.‎ 又∠BC1C=45°,所以∠A1C1C=135°,由余弦定理,得A1C2=A1C+CC-2A1C1·CC1·cos∠A1C1C=36+2-2×6××=50,所以A1C=5,即CP+PA1的最小值是5.‎ 答案:5 ‎12.(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体,它的长、宽、高依次为a,b,1.现将它的长增加1,宽增加2,且体积不变,则所得新长方体高的最大值为________.‎ 解析:设所得新长方体的高为h,根据题意,得所以h===≤=,当且仅当2a=b,即a=1,b=2时取等号,故所得新长方体高的最大值为.‎ 答案: ‎13.已知圆锥的底面半径和高相等,侧面积为4π,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则圆锥底面中心到截面的距离为________.‎ 解析:如图,设底面半径为r,由题意可得:母线长为r.又侧面展开图面积为×r×2πr=4π,所以r=2.又截面三角形ABD为等边三角形,故BD=AB=r,又OB=OD=r,故△BOD为等腰直角三角形.设圆锥底面中心到截面的距离为d,又VOABD=VABOD,所以d×S△ABD=AO×S△OBD.又S△ABD=AB2=×8=2,S△OBD=2,AO=r=2,故d==.‎ 答案: ‎14. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm3.‎ 解析:设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中O1,O2为下层两球的球心,O1O2O3O4为正四面体,棱O1O2到棱O3O4的距离为,所以注水高为1+.故应注水体积为π-4×π×=π(cm3).‎ 答案:π B组 ‎1.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.‎ 解析:由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,对角线长分别为6 cm和4 cm,‎ 故V挖去的四棱锥=××4×6×3=12(cm3).‎ 又V长方体=6×6×4=144(cm3),‎ 所以模型的体积为 V长方体-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3),‎ 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).‎ 答案:118.8‎ ‎2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π).‎ 解析:设球形容器的最小半径为R,则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上,所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上.球的直径就是长方体的体对角线的长度,所以2R==,得4R2=30.从而S球面=4πR2=30π.‎ 答案:30π ‎3.(2019·启东中学模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为________cm.‎ 解析:法一:如图,过点S作SM⊥平面ABCD,垂足为M,连接AM,由题意,可知SM=10 cm,AM=10 cm,易发现点M到每条棱的距离均为10 cm,所以点M即球心,球半径为10 cm.‎ 法二:在四棱锥SABCD中,所有棱长均为20 cm,‎ 连接AC,BD交于点O,连接SO,‎ 则SO=AO=BO=CO=DO=10 cm,‎ 易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,‎ 在等腰三角形OAS中,AO=SO=10 cm,SA=20 cm,‎ 所以O到SA的距离d=10 cm,‎ 同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,‎ 所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O,‎ 所以皮球的半径r=10 cm.‎ 答案:10‎ ‎4.(2019·河南模拟)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,过点A,P,C1的平面截正方体所得的截面为M,则截面M的面积为________.‎ 解析:如图,取A1D1,AD的中点分别为F,G.‎ 连接AF,AP,PC1,C1F,PG,D1G,AC1,PF.‎ ‎∵F为A1D1的中点,P为BC的中点,G为AD的中点,‎ ‎∴AF=FC1=AP=PC1=,‎ PG∥CD,AF∥D1G.‎ 由题意易知CD∥C1D1,‎ ‎∴PG∥C1D1,‎ ‎∴四边形C1D1GP为平行四边形,‎ ‎∴PC1∥D1G,‎ ‎∴PC1∥AF,‎ ‎∴A,P,C1,F四点共面,‎ ‎∴四边形APC1F为菱形.‎ ‎∵AC1=,PF=,‎ ‎∴截面M的面积S=AC1·PF=× =.‎ 答案: ‎5.如图所示,在直三棱柱中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC1=2,若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则长方体表面积的最小值为________.‎ 解析:用过AB,AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱,可以拼接成一个边长为2的正方体,其表面积为24;‎ 用过AB,BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱,可以拼接成一个长、宽、高分别为4,1,2的长方体,其表面积为28;‎ 用过AA1,BB1,CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱,可以拼接成一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体,其表面积为28,‎ 因此所求的长方体表面积的最小值为24.‎ 答案:24‎ ‎6.如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,D1C1上的动点,点G为正方形B1BCC1的中心.则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积的最大值为________.‎ 解析:四边形AEFG在前、后面的正投影如图①,当E与A1重合,F与B1重合时,四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12;‎ 四边形AEFG在左、右面的正投影如图②,当E与A1重合,四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8;‎ 四边形AEFG在上、下面的正投影如图③,当F与D重合时,四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述,所求面积的最大值为12.‎ 答案:12‎
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