2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-1-3不等式及线性规划
一、选择题
1．[2016·青海西宁二模]已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；对于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以>成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．
2．[2016·北京平谷统考]已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 对于①，∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正确；对于③，
∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．故选D.
3．[2015·浙江金华期中]若对任意的x∈[0,1]，不等式1－kx≤≤1－lx恒成立，则一定有( )
A．k≤0，l≥ B．k≤0，l≤
C．k≥，l≤ D．k≥，l≤
答案 D
解析 当k＝－1且x∈[0,1]时，1－kx＝1＋x∈[1,2]，∈，不等式1－kx≤不恒成立，可排除A、B；当k＝且x∈[0,1]时，1－kx＝1－x∈，∈，不等式1－kx≤不恒成立，排除C，故选D.
4．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 D
解析
由题意作出y＝|f(x)|的图象：
当a>0时，y＝ax与y＝ln (x＋1)的图象在x>0时必有交点，所以
a≤0.当x≥0时，|f(x)|≥ax显然成立；当x<0时，|f(x)|＝x2－2x，|f(x)|≥ax恒成立⇒a≥x－2恒成立，又x－2<－2，∴a≥－2.∴－2≤a≤0，故选D.
5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
答案 A
解析 解法一：当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0，①
当x>0时，－x＋2≥x2，∴0
0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
答案 B
解析 画出可行域，如图所示，
由得A(1，－2a)，则直线y＝z－2x过点A(1，－2a)时，z＝2x＋y取最小值1，
故2×1－2a＝1，解得a＝.
7．[2015·陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足：不等式组表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2,3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．
8．[2016·山东潍坊模拟]一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈
(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得3a＋2b＝2，
＋＝×＝
≥3＋ ＋＝3＋2＋＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号．故选D.
9．[2016·兰州双基过关]已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
答案 A
解析
如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则OP2＋OQ2＝OM2＝3，∴AC2＋BD2＝4(4－OP2)＋4(4－OQ2)＝20.又AC2＋BD2≥2AC·BD，则AC·BD≤10，∴S四边形ABCD＝AC·BD≤×10＝5，当且仅当AC＝BD
＝时等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为5.
10．[2016·山东菏泽一模]已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得
x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因为b，c>0，
所以＋≥2 ＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
二、填空题
11．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
答案 (－7,3)
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
又x≥0时，f(x)＝x2－4x，
∴不等式f(x＋2)<5⇒f(|x＋2|)<5
⇒|x＋2|2－4|x＋2|<5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0⇒|x＋2|－5<0⇒|x
＋2|<5⇒－50，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
答案
解析 因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数z＝ax＋by 过点(4,6)时取最大值，则4a＋6b＝10.a2＋b2的几何意义是直线4a＋6b＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么最小值是点(0,0)到直线4a＋6b＝10距离的平方，即a2＋b2的最小值是.
13．[2015·辽宁沈阳质检]若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．
答案 3＋2
解析 直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值．由直线l经过点(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2 ＝2，所以a＋b≥3＋2.
14．[2016·广东实验中学模拟]已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 对于函数f(x)＝
当x≤1时，f(x)＝－2＋≤；
当x>1时，f(x)＝logx<0.
则函数f(x)的最大值为.
则要使不等式f(x)≤m2－m恒成立，则m2－m≥恒成立，即m≤－或m≥1.
