甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学（理）试题

甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学（理）试题

合作一中2019-2020学年第一学期月考高二理科试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.在△ABC中，若，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由条件知，三角形为直角三角形，根据勾股定理得 故 ‎ 故选C.‎ ‎2.等差数列中，，，则数列的公差为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设数列的公差为，则由题意可得，，由此解得的值．‎ ‎【详解】解：设数列的公差为，则由，，‎ 可得，，‎ 解得.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量．‎ ‎3.在中，，，，则·等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据利用余弦定理求出，通过向量数量积得：，求解即可．‎ ‎【详解】解：在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 即： .‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，向量的数量积，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎4.在中，（　　）‎ A. B. C. 或 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三角形中，根据正弦定理可知，，所以 ，再根据正弦定理即可求出c.‎ ‎【详解】在三角形中，由正弦定理知，，所以由内角和定理知，由正弦定理知， ，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形中正弦定理的应用，属于中档题.‎ ‎5.在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再由等比数列性质可求得。‎ ‎【详解】∵，是方程的两根，∴，，∴，‎ 又是等比数列，∴，而等比数列中所有偶数项同号，∴。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，掌握等比数列性质是解题基础。‎ ‎6.已知数列的通项公式是，则等于（ ）‎ A. 70 B. ‎28 ‎C. 20 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以=20.‎ 故选C.‎ ‎7.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是　　‎ A. B. ‎60 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由利用余弦定理可得，结合的范围即可得的值．‎ ‎【详解】中，，‎ 可得：，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎，‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎8.设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】设该等差数列的公差为，则由得，即，于是，，而，故该等差数列的前20项和最大. 选C.‎ ‎9.在等比数列中，，且，，则等于（ ）‎ A. 6 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和 为方程的两个根，求得和，则可求．‎ 详解】解：，而，‎ 和为方程的两个根，‎ 解得，或，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项作为方程的根来解，简便了解题过程．‎ ‎10.在锐角中，，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，角不是最大角，只需角和角为锐角，可得出，可得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】为锐角三角形，，则角不是最大角，从而可知角或角为锐角，‎ 由，得，．‎ 由，得，．‎ 综上，，因此，的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角形形状求边的取值范围，一般考查三角形中的最大角，结合余弦定理列不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎11.△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理分别求得和 ，最后三边相加整理即可得到答案．‎ ‎【详解】根据正弦定理 ，‎ ‎ ‎ 的周长为.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．‎ ‎12.数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8,‎ ‎=,所以,选B.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设顶角为，由余弦定理可得 的值，可得 的值，再由正弦定理求得它的外接圆半径．‎ ‎【详解】解：设顶角为，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎，‎ 再由正弦定理可得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎14.－1与＋1的等比中项是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的等比中项即可求解.‎ ‎【详解】＋1与－1的等比中项是±.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.‎ ‎15.已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎∵等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，∴a1=23，且a6=a1+5d≥0，a7=a1+6d＜0，∴23+5d≥0，且23+6d＜0， 解得：，又d为整数，∴d=-4 故答案为-4．‎ 点睛：本题题考查等差数列的通项公式，及不等式组的解法，由已知可得关于d的不等式组，解之可得到d的范围，找出取值范围中的整数，即可得到d的值．‎ ‎16. 某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进‎10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.‎ Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.‎ 在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.‎ 由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，‎ 即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，‎ ‎∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.在等差数列中，，，求.‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，由等差数列的性质可得，进而计算可得的值，由等差数列的前项和公式计算可得答案 ‎【详解】解：等差数列中，设其公差为，‎ 若，，则，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求法．‎ ‎18.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间. ‎ ‎【答案】2小时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出所需要的时间，用时间表示，求得的大小，然后在中利用余弦定理解方程，解方程可求得时间t的值.‎ ‎【详解】设我艇追上走私船所需时间为t小时，且我艇在C处追上走私船，则BC＝10t，AC＝14t，‎ 在△ABC中，∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，AB＝12，‎ 根据余弦定理得(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，‎ ‎∴t＝2小时(t＝－舍去).‎ 所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理求解实际应用的问题，属于基础题.解题的突破口在于两船所用的时间都是一样的.‎ ‎19.设等差数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和及使得最大的序号的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）等差数列满足，．‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ ‎（2）的前项和为：‎ ‎，‎ 即，‎ 当时，取得最大值25.‎ 点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，利用二次函数求最值，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎20.在△ABC中，角所对的边分别是，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，的面积，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）=‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎（2）‎ ‎21.在△ABC中，已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式把变为,利用两角和的余弦公式展开，合并化简得，结合的范围，得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，本问中涉及到三边与角的关系，应用余弦定理，把用表示，结合的范围求出的范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为中有，由已知得，‎ 即，∵∴；∴,‎ 又∵，∴，所以，,‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，有，因为，而由可得，‎ 代入整理得，又由得，所以，‎ 即.‎ 考点：（1）诱导公式；（2）两角和与差；（3）余弦定理.‎ ‎22.已知等差数列的前项和满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列求和公式列关于首项与公差的方程组，解得首项与公差代入等差数列通项公式即可；‎ ‎（2）直接根据裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）设公差为，则，‎ 由己知可得解得.‎ 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 从而数列的前项和为 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、求和公式以及裂项相消法求和，考查基本分析判断能力，属中档题.‎