- 2021-06-11 发布 |
- 37.5 KB |
- 14页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版(理)5-1平面向量的概念及线性运算学案
§5.1 平面向量的概念及线性运算 考纲展示► 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 考点1 平面向量的有关概念 向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有________的量叫做向量,向量的大小叫做向量的________. (2)零向量:长度为________的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于________的向量. (4)平行向量:方向相同或________的非零向量,又叫共线向量.规定:0与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向________的向量. (6)相反向量:长度相等且方向________的向量. 答案:(1)方向 模 (2)0 (3)1个单位 (4)相反 (5)相同 (6)相反 向量有关概念的理解误区:相等向量;共线向量. (1)若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD的形状是__________. 答案:平行四边形 解析:=表示AD∥BC且AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形. (2)若四边形ABCD满足=k(k>0,k≠1),则四边形ABCD的形状是__________. 答案:梯形 解析:=k(k>0,k≠1)表示AD∥BC,但AD与BC不相等,所以四边形ABCD是梯形. [典题1] (1)给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④ [答案] A [解析] ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵=, ∴||=||且∥. 又A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形ABCD为平行四边形; 反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,∥且,方向相同.因此=. ③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同, 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当b=0时,a,c可能不平行. 综上所述,正确命题的序号是②③. (2)给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③若λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] ①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点;②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量. [点石成金] 1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. 2.共线向量即平行向量,它们均与起点无关. 3.向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. 4.非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量. 考点2 向量的线性运算 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=________; 结合律:(a+b)+c=a+(________) 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 a-b=a+(________) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向________; 当λ<0时,λa与a的方向______; 当λ=0时, λa=0 λ(μ a)= (______)a; (λ+μ)a= ________; λ(a+b)= ________ 答案:b+a b+c -b 相同 相反 λμ λa+μa λa+λb (1)[教材习题改编]向量和式(+)+(+)+化简后等于__________. 答案: 解析:原式=++++=. (2)[教材习题改编]已知三角形ABC,用与表示BC边上的中线向量,则=________. 答案:+ [典题2] (1)[2017·广东惠州高三二模]如图,在正方形ABCD中,点E是DC 的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=( ) A.- B.+ C.+ D.- [答案] D [解析] 在△CEF中,有=+. 因为点E为DC的中点,所以=. 因为点F为BC的一个三等分点, 所以=. 所以=+=+=-,故选D. (2)[2017·辽宁沈阳模拟]已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] B [解析] 由++=0知,点M为△ABC的重心, 设点D为底边BC的中点, 则==×(+)=(+),所以+=3,故m=3. [点石成金] 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. 考点3 共线向量定理的应用 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λ________. 答案:a 处理向量问题的常见错误:忽视零向量;滥用结论. (1)若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c的关系是__________. 答案:共线向量或不共线向量 解析:若b=0,则a与c未必是共线向量;若b是非零向量,则a与c是共线向量. 注意:在处理向量问题时不要忽略零向量. (2)已知两向量a,b,若|a|=1,|b|=2,则|a+b|的范围是________. 答案:[1,3] 解析:当a,b方向相同时,有|a+b|=3;当a,b方向相反时,有|a+b|=1;当a,b不共线时,1<|a+b|<3.所以|a+b|的范围是[1,3]. 注意:在一般情况下,|a+b|=|a|+|b|不成立. 有关向量的几个结论:三点共线;向量的中线公式;三角形重心的向量表示. (1)A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得=t+________. 答案:1-t 解析:根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得=t,即-=t(-),即=t+(1-t). (2)△ABC中,D是BC的中点,则=λ(+),则λ=________. 答案: 解析:由=+,=+,得 2=(+)+(+). ∵+=0,∴=(+). [典题3] 设两个非零向量a和b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线. (1)[证明]因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b), 所以=+=2a+8b+3(a-b) =5(a+b)=5, 所以,共线. 又与有公共点B, 所以A,B,D三点共线. (2)[解] 因为ka+b与a+kb共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即解得k=±1. 即当k=±1时,ka+b与a+kb共线. [题点发散1] 若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线? 解:=+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b, 若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b), 所以解得m=7. 故当m=7时,A,B,D三点共线. [题点发散2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解:因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0), 即解得k=±1. 又λ<0,k=λ,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线. [点石成金] 1.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线. 1.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ=________. 答案:1 解析:由于c与d同向,所以c=kd(k>0), 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于a,b不共线,所以有 整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=-. 又k>0,所以λ>0,故λ=1. 2.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,则t=________. 答案: 解析:∵a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,且a与b起点相同. ∴a-tb与a-(a+b)共线, 即a-tb与a-b共线, ∴存在实数λ,使a-tb=λ, ∴解得 即当t=时,a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上. [方法技巧] 1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1. [易错防范] 1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误. 真题演练集训 1.[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 答案:A 解析:=+=+=+(-)=-=-+.故选A. 2.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:+=(+)+(+)=(+)=,故选A. 3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________. 答案:90° 解析:∵=(+), ∴点O是△ABC边BC的中点, ∴BC为直径,根据圆的几何性质有〈,〉=90°. 课外拓展阅读 专题一 平面向量与三角形问题的综合 [典例1] 已知P是△ABC内一点,且=+,△PBC的面积是2 015,则△PAB的面积是________. [思路分析] △PBC,△PAB分别与△ABC共底边于BC,AB,由平面几何知识,将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比,即可得出面积关系,进而计算出△PAB的面积. [解析] 设S△ABC=S,S△PBC=S1=2 015,S△PAB=S2. 解法一:(恰当切入,从“三点共线”突破)如图所示, 延长AP交BC于D,由平面几何知识,得=. 由A,P,D三点共线,可得 =μ=μ+μ(μ∈R).① 由B,D,C三点共线,可得 =λ+(1-λ)(λ∈R).② 联立①和②,有解得 则=μ=,=-=, 那么=, 于是S=S1. 同理,延长CP交AB于E,计算可得=, 所以S2=S. 于是S2=S=×S1=S1=×2 015=2 821. 解法二:(巧妙构造,引出向量“投影”取胜)如图所示, 构造一个单位向量e(其中e⊥),那么,在单位向量e方向上的投影长度|e·|与|e·|分别是△PBC,△ABC的公共底边上的高, 则S=||·|e·| =|||e||||cos〈e,〉| =||·||sin∠ABC; 因为=+=++ =++(+) =+, 所以S1=|| =|| =|| =|||cos〈e,〉| = =S. 设i为与向量垂直的单位向量,同理,可以推出S2=S. 于是S2=S=×S1=S1=×2 015=2 821. 解法三:(划归转化,牵手三角形“重心”巧解) 由=+, 可得5+6+7=0. 令=5,=6,=7, 连接A′B′,B′C′,C′A′,如图所示, 于是++=0. 即P是△A′B′C′的重心, S△PA′B′=S△PB′C′,根据已知条件,得 S1=||||sin∠BPC =sin∠BPC = =S△PB′C′, 所以S△PB′C′=42S1, 同理可得S△PA′B′=30S2. 于是S2=S1=2 821.故填2 821. [答案] 2 821 温馨提示 在寻找三个三角形面积之间的关系时,可以从多方面思考: ①可以从“三点共线”突破,运用三点共线向量式求解,思维起点低,思路直接,如解法一; ②可以从向量“投影”得出关系,构造出一个中介性辅助元素单位向量e,i,如解法二; ③可以转化条件形式,将=+转化成5+6+7=0,利用三角形“重心”性质引出巧解,如解法三. 专题二 用几何法求解向量填空题 利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义,可以将一些向量问题转化为几何问题,利用数形结合的方法,快速得到答案,避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误. [典例2] 已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是________. [解析] 令=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 则OC=a+b,BA=a-b,又|a|=|b|=|a-b|, 所以△OAB是正三角形,由向量加法的几何意义, 可知OC是∠AOB的平分线,所以a与a+b的夹角是. [答案] [典例3] 已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是________. ①a∥b;②a⊥b;③|a|=|b|;④a+b=a-b. [解析] 根据向量加法、减法的几何意义可知,|a+b|与|a-b|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a-b|.所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b. [答案] ②查看更多