黑龙江省鹤岗市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

‎2017级高三第一次月考理科数学试题 一、单选题 ‎1.已知集合，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，，再根据集合的交集运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 所以，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2.设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.‎ ‎【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；‎ 但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，‎ 因此是充分不必要条件,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题.‎ ‎ 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎3.已知向量满足，，，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方，化简求解即可得到结果.‎ 详解】由，，即，‎ 又，，则.‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和模的基本知识，熟记模的计算公式是关键，属基础题.‎ ‎4.若关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的解集可利用韦达定理构造关于的方程求得；代入所求不等式，解一元二次不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】由解集为可得：‎ 解得： 所求不等式为：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数、一元二次不等式的求解问题；关键是能够明确不等式解集的端点值与一元二次方程根之间的关系.‎ ‎5.已知点在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补体法把三棱锥补成一个长方体，原三棱锥的外接球就是长方体的外接球，故可求外接球的直径，从而求得球的表面积．‎ ‎【详解】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是原三棱锥的外接球，它的直径为，故球的表面积为，故选B．‎ ‎【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．‎ ‎6.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值 ‎【详解】如图可知x，y均为正，设，‎ 共线， ，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 则的最小值为，故选D.‎ ‎【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题 ‎7.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）‎ A. 48 B. 63 C. 99 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.‎ ‎【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1‎ 所以 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.‎ ‎8.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎．故选C．‎ ‎【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ ‎（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎9.设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）‎ A. 290 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可 ‎【详解】由得，‎ 当时，，整理得，‎ 所以是公差为4的等差数列，又，‎ 所以，从而，‎ 所以，‎ 数列的前10项的和.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题 ‎10.定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。‎ ‎【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，‎ 由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，‎ 由图象可知，，当时，，‎ 则函数与函数在上没有交点，‎ 结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。‎ ‎11.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．‎ ‎【详解】‎ 为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．‎ ‎【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．‎ ‎12.定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,‎ 结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.‎ ‎【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故 可以转换为 对应于恒成立,即 即对恒成立 即对恒成立 令,则上递增,在上递减,‎ 所以 令,在上递减 所以.故,故选B.‎ ‎【点睛】本道题考查了函数基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.‎ 二、填空题 ‎13.已知实数满足，则最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得,作出不等式对应的可行域(阴影部分)，‎ 平移直线由平移可知当直，‎ 经过点B(1,1)时,直线的截距最大，此时z取得最小值，‎ 将B的坐标代入，‎ 即目标函数y的最小值为−1.‎ 故答案为：−1.‎ ‎14.已知向量，，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直的性质可得，由同角三角函数的基本关系，二倍角公式结合诱导公式可得解．‎ ‎【详解】解：向量，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数值的求法，考查向量垂直的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15.设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求，利用递推公式可得数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可求，即可求和.‎ ‎【详解】∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，，‎ 两式相减可得，，（）‎ 即时，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 则数列，则的前10项和为 ‎ ‎ 故答案为：200‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.‎ ‎16.已知的外接圆半径为1，，点在线段上，且，则面积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所以可知为直径，设，‎ 求导得到面积的最大值.‎ ‎【详解】由所以可知为直径，所以，设，‎ 则，在中，有，，‎ 所以的面积，.‎ 方法一：（导数法）‎ ‎，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，的面积的最大值为.‎ 方法二：（均值不等式）‎ ‎，‎ 因为.‎ 当且仅当，即时等号成立，即.‎ ‎【点睛】本题考查了面积的最大值问题，引入参数是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列的首项为1，公差，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意求出等差数列的公差，即可求出结果；‎ ‎(2)用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为，‎ ‎ 是与的等比中项.‎ ‎ 即 ‎ 或；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)由（1）知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列，以及数列的求和，属于基础题型.‎ ‎18.已知向量.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）在中，，若，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再根据条件求解b，c，从而可得三角形的周长.‎ ‎【详解】（1） ，‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（2）由题意可得，又，‎ 则，所以，故 设角的对边分别为，则.‎ 所以，又，所以，‎ 故，解得，则，‎ 所以周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的计算化简和性质，也考查了余弦定理的应用，注意熟记公式，认真计算，属中档题.‎ ‎19.已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且 ‎（I）求数列，的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和。‎ ‎【答案】（I），；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用求得；根据求得，从而可知是等差数列，从而利用等差数列通项公式求得结果；利用可证得，可知数列的奇数项成等比、偶数项成等比，分别求解出为奇数和为偶数两种情况下的通项公式即可；（II）由（I）可得，采用分组求和的方式；对采用错位相减法求和；对分为为奇数和为偶数两种情况来讨论；从而可对两个部分加和得到结果.‎ ‎【详解】（I）当时，，即 ‎ ‎ 由可得 即： ‎ 又 是公差为，首项为的等差数列 由题意得： ‎ 由两式相除得：‎ 是奇数时，是公比是，首项的等比数列 ‎ 同理是偶数时是公比是，首项的等比数列 ‎ 综上：‎ ‎（II），即 令的前项和为，则 两式相减得：‎ 令的前项和为 ‎ 综上：‎ ‎【点睛】本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、等差和等比数列通项公式的求解、分组求和法和错位相减法求解数列的前项和的问题.本题的关键是能够通过递推关系证得数列为等差或等比数列，从而得到数列的通项公式，再根据通项公式的形式确定数列求和的方法.‎ ‎20.如图，直三棱柱中，，，分别为、‎ 的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；‎ ‎（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.‎ 解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得平面 ‎（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.‎ 解法3：（1）同解法2‎ ‎（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.‎ ‎【详解】解法1：‎ ‎（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．‎ 设，，则，，， ，，，，，．‎ 因为，，‎ 所以，，面，面，‎ 于是平面．‎ ‎（2）设平面的法向量，‎ 则，，‎ 又，，‎ 故，取，得．‎ 因为与平面所成的角为，，‎ 所以， ，‎ 解得，．‎ 由（1）知平面的法向量，‎ ‎ ，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ 解法2：‎ ‎（1）取中点，连接、,‎ ‎ ，‎ ‎ 平面，平面 ‎ ，‎ 而平面,平面,‎ ‎ 平面．‎ 为中点， ，，‎ ‎ ，，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎ ．‎ ‎ 平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．‎ 设，，，则，，．‎ 设平面的法向量，‎ 则，，‎ 又，，‎ 故，‎ 取，得．‎ 因为与平面所成的角为，，‎ 所以， ，‎ 解得，．‎ 由（1）知平面的法向量，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ 解法3：‎ ‎（1）同解法2．‎ ‎（2）设，，则，,，‎ ‎，，‎ 到平面距离，设到面距离为，‎ 由 得，即 ‎．‎ 因为与平面所成的角为，‎ 所以，‎ 而在直角三角形中，‎ 所以，‎ 解得．‎ 因为平面，平面,所以，‎ 平面，平面所以，所以平面，‎ 平面,平面 所以为二面角的平面角，‎ 而,可得四边形是正方形，所以，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；‎ ‎（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。‎ ‎【详解】（1）解：因为，‎ ‎①当时，总有，‎ 所以在上单调递减.，无增区间；‎ ‎②当时，令，解得.‎ 故时，，所以在上单调递增.，‎ 同理时，有，所以在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知当时，，‎ 若，则，此时，，‎ 因为，所以，‎ 当时，取，有,‎ 所以 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．‎ ‎【详解】详解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设集合满足：当且仅当时，，若，求证：.‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式得出M，即a，b的范围，再得出（a+1）2和（b﹣1）2的范围，利用不等式的性质即可得出结论．‎ ‎【详解】（1） ‎ 当 时， ，得 ，故； ‎ 当 时， ，得 ，故；‎ 当 时， ，得 ，故；‎ 综上，不等式的解集为 ‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质可知 等价于，当且仅当，‎ 即 时等号成立，故 所以，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，不等式的性质，属于中档题．‎ ‎ ‎