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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第7节 函数的图象教案
第七节 函数的图象 [考纲传真] (教师用书独具)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. (对应学生用书第24页) [基础知识填充] 1.利用描点法作函数的图象 方法步骤:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等); (4)描点连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象y=-f(x)的图象; ②y=f(x)的图象y=f(-x)的图象; ③y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象; ④y=ax(a>0且a≠1)的图象y=logax(a>0且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y=f(x)的图象 y=f(ax)的图象; ②y=f(x)的图象 y=af(x)的图象. (4)翻转变换 ①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象; ②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象. [知识拓展] 函数对称的重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 其中(1)(2)为两函数间的对称,(3)为函数自身的对称. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.( ) (2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( ) (3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)函数f(x)=-x的图象关于( ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 C [∵f(x)=-x是奇函数,∴图象关于原点对称.] 3.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1 D [依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.] 4.已知函数f(x)=则f(x)的图象为( ) A [由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x=1时,f(x)=1,当x=0时,f(x)=0,故选A.] 5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________. (0,+∞) [在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.] (对应学生用书第25页) 作函数的图象 作出下列函数的图象: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|; (3)y=;(4)y=x2-2|x|-1. [解] (1)先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图①实线部分. ① ② (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. (3)∵y=2+,故函数图象可由y=图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③. ③ ④ (4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④. [规律方法] 函数图象的常用画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出. 易错警示:注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. [跟踪训练] 作出下列函数的图象: (1)y=eln x;(2)y=log2|x-1|. 【导学号:97190055】 [解] (1)因为函数的定义域为{x|x>0}, 且y=eln x=x,所以其图象如图所示. (2)作y=log2|x|的图象,再将图象向右平移一个单位,如图,即得到y=log2|x-1|的图象. 识图与辨图 (1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y=1+x+的部分图象大致为( ) (2)函数f(x)=的图象如图271所示,则下列结论成立的是( ) 图271 A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0 (1)D (2)C [(1)当x→+∞时,→0,1+x→+∞,y=1+x+→+∞,故排除选项B. 当0<x<时,y=1+x+>0,故排除选项A,C. 故选D. (2)函数定义域为{x|x≠-c}, 结合图象知-c>0,∴c<0. 令x=0,得f(0)=,又由图象知f(0)>0,∴b>0. 令f(x)=0,得x=-,结合图象知->0,∴a<0. 故选C.] [规律方法] 已知函数解析式选图,从函数的下列性质考虑 [跟踪训练] (1)(2016·全国卷Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( ) (2)(2017·北京海淀区期末)函数y=f(x)的图象如图272所示,则f(x)的解析式可以为( ) 图272 A.f(x)=-x2 B.f(x)=-x3 C.f(x)=-ex D.f(x)=-ln x (1)D (2)C [(1)∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g′(x)=4x-ex.又g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D. (2)由函数图象知,函数f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,A中,∵f(-1)=-2,f(-2)=-<f(-1),不满足题意;B中,f(-1)=0,不满足题意;C中,易知函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;D中函数的定义域为(0,+∞),不满足题意,故选C.] 函数图象的应用 ◎角度1 研究函数的性质 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) C [将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.] ◎角度2 求参数的值或取值范围 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞) B [f(x)=如图,作出f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=. 要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知,<k<1.] ◎角度3 求不等式的解集 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( ) 【导学号:97190056】 A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) (2)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( ) A. B. C.(1,) D.(,2) (1)D (2)B [(1)因为f(x)为奇函数,所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1). (2)构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在上的图象,可知f<g,即2<loga ,则a>,所以a的取值范围为.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质: ①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值. ②从图象的对称性,分析函数的奇偶性. ③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性. ④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解. (3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. [跟踪训练] (1)如图273,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ) 图273 A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} (2)(2017·武汉六中模拟)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________. (1)C (2)[-1,+∞) [ (1)作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示: 其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),由图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1},故选C. (2)如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1. ]查看更多