【数学】2019届一轮复习人教A版 三角恒等变换与解三角形学案
专题二 三角函数、平面向量
第二讲 三角恒等变换与解三角形
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利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．
2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.
1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝( )
A. B. C．－ D．－
[解析] 解法一：∵cos＝，
∴sin2α＝cos＝cos2
＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选D.
解法二：∵cos＝(cosα＋sinα)＝，∴cosα＋sinα＝，∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选D.
[答案] D
2．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A
[解析] 解法一：因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，
所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，
即cosC(2sinB－sinA)＝0，
所以cosC＝0或2sinB＝sinA，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°
c2，故2b＝a，故选A.
[答案] A
3．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
[解析] 由余弦定理得cos∠ABC＝＝，
∴cos∠CBD＝－，sin∠CBD＝，
∴S△BDC＝BD·BC·sin∠CBD＝×2×2×＝.
又cos∠ABC＝cos2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝，
0<∠BDC<，
∴cos∠BDC＝.
[答案]
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解] (1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.
由正弦定理得sinCsinB＝.
故sinBsinC＝.
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsinA＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
考点一 三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα.
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan2α＝.
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).
[对点训练]
1．(2017·贵阳监测)已知sin＝，则cos的值是( )
A. B. C．－ D．－
[解析] ∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
[答案] D
2．(2017·福建省福州市高三综合质量检测)已知m＝，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m＝( )
A. B. C. D．2
[解析] 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcosB－cosAsinB)，即2cosA·sinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝＝2，故选D.
[答案] D
3．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．
[解析] 因为α∈，故2α∈，又sin2α＝，故2α∈，α∈，∴cos2α＝－，β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－× ＝，且α＋β∈，故α＋β＝.
[答案]
(1)三角恒等变换的三原则
①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．
②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)解决条件求值应关注的三点
①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．
考点二 解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
sinA＝，sinB＝，sinC＝.
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
推论：cosA＝，cosB＝，
cosC＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.
3．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
[解析] ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．
[答案] B角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算
[解析] 由bsinB－asinA＝asinC及正弦定理得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b＝a，∵cosB＝＝＝，∴sinB＝ ＝.故选A.
[答案] A角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算
[思维流程] (1)→→
(2)→→
[解] (1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.
(2)由cosB＝得sinB＝，
故S△ABC＝acsinB＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.
所以b＝2.
正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”
应采用余弦定理．
【特别提醒】 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
[对点训练]
1．[角度1](2017·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状一定是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 在△ABC中，∵cos2＝，∴＝＝·＋，∴1＋cosA＝＋1，
∴cosAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝0，sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选B.
[答案] B
2．[角度2](2017·辽宁师大附中模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足asinBcosC＋csinBcosA＝b，则B＝( )
A.或 B. C. D.
[解析] ∵asinBcosC＋csinBcosA＝b，
∴由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB.
又∵sinB≠0，∴sinAcosC＋sinCcosA＝，
解得sin(A＋C)＝sinB＝.
∵0
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