北京市东城区2020届高三下学期线上检测（一）数学试题

北京市东城区2020届高三下学期线上检测（一）数学试题

东城区2019-2020 学年第二学期线上检测(一)‎ 数学 第一部分（选择题 共 40 分）‎ 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，集合，则AB=（ ）‎ A. B. C. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解一元二次不等式解得集合，由集合的并运算，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题.‎ ‎2.已知复数（其中i是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模长的性质即可求解.‎ ‎【详解】复数，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：准线方程为：，与轴的交点为，故选B.‎ 考点：抛物线的性质.‎ ‎4.设函数，则（ ）‎ A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，由对勾函数的图象知在没有单调性，从而得出正确的选项.‎ ‎【详解】，，当且仅当，即 时取等号，有最大值，又由对勾函数的图象可知在上不具 单调性.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查对勾型函数性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.‎ ‎5.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，‎ 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，‎ 即，，满足，即必要性成立，‎ 即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）‎ A. 12 B. ‎36 ‎C. 72 D. 720‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况，‎ 再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况，‎ 则有种不同的坐法.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎7.已知圆C与直线及的相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心在直线上，设出圆心坐标为，利用圆C与直线及都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.‎ ‎【详解】圆心在上，设圆心为，‎ 圆C与直线及都相切，‎ 圆心到两直线及的距离相等，‎ 即，‎ 圆心坐标为，，‎ 圆C的标准方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则（ ）‎ A. 729 B. ‎332 ‎C. 181 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正项等比数列的公比设为q，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值.‎ ‎【详解】设正项等比数列的公比为q，则，‎ 由，可得，即，即，①‎ 与的等差中项为9，可得，即，②‎ 由①②可得，解得或（舍），‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）‎ A. 10天 B. 15天 C. 19天 D. 2天 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可.‎ ‎【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，‎ 根据题意，令，解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（　　）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.‎ ‎【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，‎ 则有：‎ ‎，‎ 即，‎ 即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，‎ 即三天都开车上班的职工人数至多是6.‎ ‎【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第二部分 二、填空题共5题，每题5分，共 5分.‎ ‎11.设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为向量与平行，所以，则所以．‎ 考点：向量共线．‎ ‎12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值.‎ ‎【详解】角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，‎ 将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，‎ ‎，，‎ 所以，.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.‎ ‎13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.‎ ‎【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.‎ ‎【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；‎ 设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.‎ 给出下列四种说法:‎ ‎①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;‎ ‎②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;‎ ‎③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;‎ ‎④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.‎ 其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.‎ ‎【详解】解:由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为,‎ ‎,即为票价,‎ 当时,,则为固定成本,‎ 由图象(2)知,直线向上平移,‎ 不变,即票价不变,‎ 变大,则变小,成本减小.‎ 故①错误,②正确;‎ 由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,‎ 变大,即提高票价,‎ 不变,则不变,成本不变.‎ 故③正确,④错误;‎ 故答案为:②③‎ ‎【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.‎ 三、解答题共 6 题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎16.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1OBD；‎ ‎（Ⅱ）求直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值；‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先证，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直；‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，分别为中点，‎ 故可得，故为等腰三角形，又为中点，‎ 故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，‎ 又平面，故平面，又平面，‎ 故.即证.‎ ‎（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，‎ 又平面，故可得，‎ 又因为//，故可得.‎ 综上所述：两两垂直，‎ 故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 如下图所示：‎ 故可得，‎ 则 设平面的法向量为，‎ 故可得，即，‎ 取，可得.故.‎ 又，‎ 故可得.‎ 设直线A‎1C和平面A1BD所成角为，‎ 故可得.‎ 则直线A‎1C和平面A1BD所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及用向量法求线面夹角，属综合中档题.‎ ‎17.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.‎ 已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积.‎ ‎【答案】答案不唯一,具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选①,先用余弦定理求出角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.‎ ‎（2）选②,先用正弦定理推论将边化角,整理得角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.‎ ‎【详解】解：（1）若选择①,‎ 由余弦定理,‎ 因为,所以;‎ 由正弦定理,‎ 得,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎（2）若选择②,‎ 则,‎ 因为,所以,‎ 因为,所以;‎ 由正弦定理 得,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎（3）若选择③,‎ 则,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以;‎ 由正弦定理 得,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.‎ ‎18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：‎ 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.‎ ‎（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；‎ ‎（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；‎ ‎（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.‎ ‎【答案】（1）平均数为，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.‎ ‎（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.‎ ‎（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.‎ ‎【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：‎ ‎，‎ 众数为33.‎ ‎（2）设a为乙公司员工B投递件数，则 当时，元，‎ 当时，元，‎ X的可能取值为136，147，154，189，203，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ X的分布列为：‎ X ‎136‎ ‎147‎ ‎154‎ ‎189‎ ‎203‎ P ‎（元）.‎ ‎（3）根据图中数据，由（2）可估算：‎ 甲公司被抽取员工该月收入元，‎ 乙公司被抽取员工该月收入元.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.‎ ‎【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得.‎ 由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，‎ 即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，‎ 所以实数a的取值范围.‎ ‎（2）由可得 当时， ，所以函数的增区间为；‎ 当时，若， ，若， ，‎ 所以此时函数的增区间为，减区间为.‎ ‎（3）由及题设得，‎ 由可得，由（2）可知函数在上递增，‎ 所以，取，显然，‎ ‎，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ － 0 +‎ ‎ ↘ 极小 ↗‎ 所以当-1

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