数学理卷·2018届吉林省长春市十一高中、白城一中2016-2017学年高二上学期期末联考(2017-01)

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数学理卷·2018届吉林省长春市十一高中、白城一中2016-2017学年高二上学期期末联考(2017-01)

长春十一高 白城一中2016-2017学年度上学期期末考试 ‎ 高二数学试卷(理)‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共22小题,共150分,共4页,考试时间120分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。‎ 注意事项:‎ ‎1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上, ‎ ‎2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎3、保持卡面清洁,不折叠、不破损。‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 命题:“x∈R,”的否定是 (   ) ‎ A.x∈R, B.x∈R,‎ C.x∈R, D.x∈R,‎ ‎2.复数z=2-3i对应的点z在复数平面的 ( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.双曲线x2﹣4y2=1的焦距为 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ( )有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是 (   )‎ A.假设a,b,c不都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个是偶数 D.假设a,b,c至多有两个是偶数 ‎5. 等于 (   ) ‎ A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2 D.ln2‎ ‎6. 若,则的单调递增区间是 (   ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如下图是函数的大致图象,则= ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎8.命题甲:双曲线C的渐近线方程为y=±x;命题乙:双曲线C的方程为=1那么甲是乙的 ( )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 ‎9.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设是椭圆的两个焦点,点M在椭圆上,若△是直角三角形,则△的面积等于 ( ) ‎ A. B. C.16 D. 或16‎ ‎11. 若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动,经过点P的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 (   )‎ A.[0,) B.[0,)∪[,π)‎ C.[,π) D.[0,)∪(,]‎ ‎12.设函数,对任意,不等式恒成立,则正数的取值范围是 ( )‎ A B. C . D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分.共20分.‎ ‎13.i是虚数单位,则等于 。‎ ‎14.过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点M的横坐标为4,则|AB|=  .‎ ‎15.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=_________________________.‎ ‎16.定义在 的函数 满足 且,则 的取值范围是______________________________.‎ 三.解答题:本大题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (10分) 已知 ,求证: ‎ ‎18. (12分)‎ 已知函数在处的极小值为.‎ ‎(1)求的值,并求出的单调区间;‎ ‎(2)若关于的方程有三个不同的实根,求实数的取值范围。‎ ‎19.(12分)已知双曲线与椭圆+=1有公共焦点F1、F2,它们的离心率之和为2,‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点,求cos∠F1PF2的值.‎ ‎20. (12分) 已知直线 与抛物线 交于A、B两点.‎ ‎(1)若|AB|=10,求实数m的值.‎ ‎(2)若 ,求实数m的值.‎ ‎21. (12分) 是否存在常数 使等式 对一切 都成立?‎ 并证明的的结论.‎ ‎22.(12分)已知常数 ,函数 ‎ ‎(1)讨论在区间(0,+∞)上的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点 ,且 ,求的取值范围.‎ 高二理科数学答案 ‎(一)选择题 CDCBD CACDA BA ‎(二)填空 ‎13. 14. 12 15. 16. ‎ ‎(三)解答题 ‎17. 1分 ‎ 所以要证 只需证 5分 即证 ‎ 即证 ‎ 即证 10分 显然成立,所以原命题成立.‎ ‎18.. 解:(1)‎ ‎∵在处的极值为 ‎ 3分 当时,或 ∴增区间为 当时, ∴减区间为 6分 ‎(2)由(1)可知 当时,取极大值为,当时,取极大值为 10分 ‎∴当时,关于的方程有三个不同的实根. 12分 ‎19.[解析] (1) 在椭圆 +=1 中 ,a 2 =25, b 2 =9‎ ‎∴c = =4,焦点在y 轴上,离心率为e = 1分 由题意得:所求双曲线的半焦距c =4,‎ 离心率e′ = 2-=2, 2分 又∵e′ == =2‎ ‎∴双曲线的实半轴为a′=2,‎ 则b′2=c 2 - a′2 =16 -4 =12 5分 ,‎ ‎∴所求双曲线的标准方程为-=1. 6分 ‎(2) 由双曲线、椭圆的对称性可知,不论点P 在哪一个象限,cos∠F1PF2 的值是相同的,设点P 是双曲线的与椭圆在第一象限的交点,其中|PF1|>|PF2|‎ 由定义可知|PF1|+|PF2|=10 ①‎ ‎|PF1|-|PF2|=4 ②‎ 由①、② 得|PF1|=7,|PF2|=3 10分 又∵|F1F2|=8,在△F1PF2中,由余弦定理得 cos∠F1PF2= ‎= =-, ‎ ‎∴cos∠F1PF2 的值为- 12分 ‎ 20.解设 ‎ ‎(1)⇒ +(2m-8)x+ =0------------------------------(1分)‎ ‎-----------------------------------------------(3分)‎ ‎|AB|==10, m= ----(5分)‎ ‎∵m<2,∴m= ---------------------------------------------------------(6分)‎ ‎(2)∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0------------------------------------(7分) x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,2x1x2+m(x1+x2)+m2=0-----------------------------------------(9分) 2m2+m(8-2m)+m2=0,m2+8m=0,m=0或m=-8,---------------------------------(11分) 经检验m=-8------------------------------------------------------------(12分)‎ ‎21.解: 时 , 时 , 时 ‎ 解得 4分 证明(1)当n=1是左边=0,右边=0 左边=右边,等式成立。 5分 ‎(2)假设n=k时( )等式成立,即 ‎ 6分 则当n=k+1时 ‎ 7分 ‎= 8分 ‎ ‎= 9 分 ‎= ‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以当n=k+1时等式也成立。 11分 综上(1)(2)对于所有正整数都成立。 12分 ‎22‎ 解:(1)f′(x)=-=(*) 1分 当a≥1时,f′(x)>0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.2分 当00.‎ 故f(x)在区间(0,x2)上单调递减,‎ 在区间(x2,+∞)上单调递增. 4分 综上所述,当a≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.5分 ‎(2)由(*)式知,当a≥1时,f′(x)≥0,‎ 此时f(x)不存在极值点,因而要使得f(x)有两个极值点,必有0-且x≠-2,‎ 所以-2>-,-2≠-2,‎ 解得a≠.此时,由(*)式易知,x1,x2分别是f(x)的极大值点和极小值点.‎ 而f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)-+ln(1+ax2)- ‎=ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]- ‎=ln(2a-1)2-=ln(2a-1)2+-2. 8分 令2a-1=t由0g(1)=0.故当0.‎ 综上所述,满足条件的a的取值范围为 12分
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