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文档介绍
数学理卷·2017届湖南师大附中高三上学期第四次月考(2016
炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)复数=(D) (A)1-2i (B)1+2i (C)-1+2i (D)-1-2i (2)执行如图所示的程序框图,则输出的i值为(B) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (3)设向量a,b均为单位向量,且|a+b|=1,则a与b夹角为(C) (A) (B) (C) (D) (4)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若m∥n,n∥α,则m∥α;③若m∥n,n⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β. 其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)已知函数y=ax,y=xb,y=logcx的图象如图所示,则(C) (A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)c>b>a (6)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等,侧视图中的两条半径互相垂直,若该几何体的体积是π,则它的表面积是(D) (A) π (B) (C) 3π (D) 4π (7)已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1方程x2-bnx+2n=0的两根,则b10等于(D) (A)24 (B)32 (C)48 (D)64 (8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有(B) (A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种 (9)已知F1、F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上(O为原点),则双曲线C的离心率为(D) (A) (B)3 (C) (D)2 (10)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数. 例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的(A) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (11)设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x-2)2+y2=2,若在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则a的取值范围是(C) (A)[-18,6] (B)[6-5,6+5] (C)[-16,4] (D)[-6-5,-6+5] (12)若函数f(x)=则当k>0时,函数y=f[f(x)]+1的零点个数为(D) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】结合图象分析.当k>0时,f[f(x)]=-1,则f(x)=t1∈或f(x)=t2∈(0,1).对于f(x)=t1,存在两个零点x1、x2;对于f(x)=t2,存在两个零点x3、x4,共存在4个零点,故选D. 选择题答题卡 题 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答 案 D B C C C D D B D A C D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分. (13)在二项式的展开式中,x的一次项系数为__-80__.(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堢瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堢瑽(圆柱体)的体积V=×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为__3__. 【解析】由题意,圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺,高11尺,体积为2 112(立方)尺,设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r,则 ,解得π=3, r=8,故答案为:3. (15)若x,y满足 ,则2x+y的取值范围是__[0,3]__. (16)函数f(x)=sin (ωx+φ)的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为____. 【解析】由f′(x)=ωcos(ωx+φ)知|AC|=,|yB|=ω,所以S△ABC=·|AC|·|yB|= , 设A(x0,0) ,则ωx0+φ=,C, 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S,则 S=|∫x0+x0f′(x)dx|=-∫x0+x0f′(x)dx=-f(x)|x0+x0=f(x0)-f =sin(ωx0+φ)-sin=sin-sin=2. 所以该点在△ABC内的概率P===. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)(x∈R),f(x)的图象关于点对称. (Ⅰ)当x∈时,求f(x)的值域; (Ⅱ)若a=7且sin B+sin C=,求△ABC的面积. 【解析】(Ⅰ)f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C) =2(sin xcos A-cos xsin A)cos x+sin A =2sin xcos xcos A-2cos2xsin A+sin A =sin 2xcos A-cos2xsin A=sin(2x-A), 由函数f(x)的图象关于点对称,知f=0, 即sin =0,又0<A<π,故A=,所以f(x)=sin, 当x∈时,2x-∈, 所以- <sin≤1.即f(x)的值域为; (Ⅱ)由正弦定理得===,则sin B=b,sin C=c, 所以sin B+sin C=(b+c)=,即b+c=13, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,从而bc=40, 则△ABC的面积为S=bcsin A=×40×=10. (18)(本小题满分12分) 某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表): 网购金额 (单位:千元) 频数 频率 (0,0.5] 3 0.05 (0.5,1] x p (1,1.5] 9 0.15 (1.5,2] 15 0.25 (2,2.5] 18 0.30 (2.5,3] y q 合计 60 1.00 若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2. (Ⅰ)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图). (Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数,求ξ的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)根据题意,有, 解得. ∴p=0.15,q=0.10. 补全频率分布直方图如图所示. (Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取10人, 则其中“网购达人”有10×=4人, “非网购达人”有10×=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3;P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. (19)(本小题满分12分) 如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点.将正方形ABCD沿着线段EF折起,使得∠DFA=60°. 设G为AF的中点. (Ⅰ)求证:DG⊥EF; (Ⅱ)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值; (Ⅲ)设P,Q分别为线段DG,CF上一点,且PQ∥平面ABEF,求线段PQ长度的最小值. 【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,所以EF⊥FD,EF⊥FA,将正方形ABCD沿着线段EF折起后,仍有EF⊥FD,EF⊥FA,而FD∩FA=F, 所以EF⊥平面DFA.又因为DG平面DFA,所以DG⊥EF. (Ⅱ)因为∠DFA=60°,DF=FA,所以△DFA为等边三角形,又AG=GF,故DG⊥FA. 由(Ⅰ),DG⊥EF,又EF∩FA=F,所以DG⊥平面ABEF. 设BE的中点为H,连接GH,则GA,GH,GD两两垂直,故以GA,GH,GD分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系如图, 则G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0),C(0,4,),F(-1,0,0), 所以=(1,0,0),=(-1,0,),=(-2,-4,0). 设平面BCF的一个法向量为m=(x,y,z), 由m·=0,m·=0,得 令z=2,得m=(2,-,2). 设直线GA与平面BCF所成角为α, 则sin α=|cos〈m,〉|==. 即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为. (Ⅲ)由题意,可设P(0,0,k)(0≤k≤),=λ(0≤λ≤1), 由=(1,4,),得=(λ,4λ,λ), 所以Q(λ-1,4λ,λ),=(λ-1,4λ,λ-k). 由(Ⅱ),得=(0,0,)为平面ABEF的法向量. 因为PQ∥平面ABEF,所以·=0,即λ-k=0. 所以||===, 又因为17λ2-2λ+1=17+,所以当λ=时,||min=. 所以当λ=,k=时,线段PQ长度有最小值. (20)(本小题满分12分) 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论. 【解析】(Ⅰ)依题意得=,·2a·2b=4,又a2=b2+c2,由此解得a=2,b=.所以椭圆E的方程为 +=1. (Ⅱ)点B在以MN为直径的圆内.证明如下: 方法1:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0). ∵M点在椭圆上,∴y02=(4-x02). ① 又点M异于顶点A、B,∴-2查看更多